Дифференциальные уравнения турбулентного движения сжимаемой жидкости (1124010), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Порядок величин Сх и С„определяется совершенно одинаковым образом. Рассмотрим поэтому только С„(х, у, г, «). С„(х, у, г, «) = ХХв — [С-, дгас[ ср)в —.— ХՄ— 6, — + Сх — = дф дср ас, ас„ ар ау = — -' — —" — 6, — + Сх— дх дг ' дх дг В указанной выше работе порядок дср/дх дан в виде (10 ' — 10 '), порядок дср/дг есть 10 а. Оценим порядок сг, и дСг„/дг. Мы имеем х= х дс порядок с[и/с««есть (10 4 — 10 г), следовательно, порядок сх„можно счи- тать таким же.
Это согласуется с тем, что С =ш— асс х ах посв порядка 1000, др/дх порядка (10 ' — 10 в), следовательно, действительно б„порядка (10 а — 10 г). Чтобы оценить порядок дб,/дг, мл вычислим "' Невве!Ьегз ТЬ. цш1 Угсес) шап А. 1)(е Сгошепогс)пцпдс)егшеФеого1оз(всЬег Е1ешепсе цпс) 1Ьгег гацшйоЬеп цпс) ге1«йсЬеп АЫе(сцпвеп.— гегоП. СеорЬув. 1п.1. БпЬ. (,е1рг(в, 1914, вене 9, Н. 6.
О ПРИБЛИЖЕННЫХ УСЛОВИЯХ ДИНАМИЧЕСКОЙ ВОЗМО>КНОСТИ ДВИЖЕНИЯ 77 и оценим порядок каждого члена; в результате получится, что порядок — —, а следовательно, д6„/дг можно принять не вьппе 10 д ди -о дг Ш.' Точно так же найдем, что порядок 6, есть 10', порядок д6,/дх не выше 10 '. Сопоставляя все эти результаты, получим„что Си есть величина порядка не выше 10 '. Принимая во внимание еще, что ю имеет порядок 10', получим, что делаемая нами ошибка з, не превосходит величины порядка 10 о о«, где А— расстояние рассматриваемой точки до выбранной точки (а, Ь, с).
А тан как др/дз есть величина порядка 10 ', то делаемая относительная ошибка будет не более 10 "' о«, так что даже при расстоянии в 1000 ем она не превзойдет 10ойо. Таким образом, нам нужно, чтобы получить приближенно динамически возможное движение, проинтегрировать систему (17), из которой мы можем, например, задаваясь по произволу распределением и и х„ получить и> и <р.
Если же условие 5, = 0 выполняется (точно или приближенно) само собой, то остается проинтегрировать только последнее уравнение системы (17), которое при заданных и, и, ~р решается относительно ис и: = — о>~ — о«з+ >)>(х, у, «), о где ди до /дз, дх д~р ~ >> =' — + — ( — +и — + Р— /. дх ду ( Ш дх ду/' Здесь >)> (х, у, «) — произвольная функция своих аргументов, которую обычно надо полагать равной нулю, чтобы удовлетворить граничному условию — равенству нулю вертикальной составля>ощей скорости на поверхности земли.
Разберем в качестве примера случай плоского коллинеарного движе- ния, в котором горизонтальные проекции скорости являются линейными функциями горизонтальных координат х и у: и = ао (з, «) + а, (г, «) х + ао (г, «)у, и = Ь (з, «) + Ь> (з, «) х + Ьо (г, «) у.
и>= О. Будем считать, что действует только сила тяжести и пренебрежем отклоняющей силой вращения земли. Тогда легко составить вектор С: йи ди ди ди 6„= — —, = — —, — и — — и — = Ао(г, «)+ А>(з, «) х+ А,(з, «) у, ««д«дх дк = ди до й» дх 6„=- — — = — — — и — — Р— = Во (з, «) + В> (г, «) х + Во (з, «) у, Ш д«дх дк = 6, = — у.
ГИДРОМЕХАНИКА СЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ 78 Здесь функции Ао, Аю А„Во, Вы В, выражаются простыми формулами через ао, аы ао, Ь„Ь„Ь, и через их производные по 1. Составив далее дС„ дС„ Нг = —" — —." = А о (г, 1) — В, (г, 1), дх мы легко удовлетворим первому уравнению системы (т7), выбирая ор как функцию от г и 1 и связывая функции а и Ь соотношением Ао(г 1) — Вг(г, 1) =О, Остается удовлетворить последнему уравнению, которое требует де да дх — = — + — = а1+ Ь,. дг дх ду Теперь можем определить давление р: С (х,у,г,г) г ('Со(о,у,г,г) ( ~ С» х о о о 1 = — — А,х + Аоху+' — Воу + Аох+ Вод~ — ~ дг+ ро(1). о Г ы 2 д в(г, г) й так что изобарами в любой горизонтальной плоскости являются подобные кривые второго порядка с общим центром.
Как частный случай мы можем получить прямолинейные, или круговые, или эллиптические изобары. 199д г, О РАСПРЕДЕЛЕНИИ ТЕМПЕРАТУРЫ ВОЗДУХА С ВЫСОТОЙ з Вопрос о распределении температуры с высотой может быть разрешен при некоторых предположениях относительно солнечного и земного излучения и поглощающей способности атмосферы. Возможны две существенно различные гипотезы: с одной стороны, можно предположить, что атмосфера находится в покое и рассматривать так называемое лучистое равновесие атмосферы, с другой, можно допустить наличие атмосферного движения и рассматривать наряду с уравнениями гидродинамики уравнение приведенной энергии. К первому направлению относятся исследования Гзмфри (НпшрЬгеуэ)*, Голда (Со1й) **, Шэарцшильда (ЯсЬхвагхзсЫ1й)«««и совсем недавние Эмдена (Ешйеп) ****.
Во втором направлении в нашей науке ничего не было сделано. Цель настоящей работы изучить распределение температуры воздуха с высотой под влиянием солнечного и земного излучения при предположении, что в атмосфере имеют место специфические движения — так называемые стационарные вертикальные тони. Задача приводится к достаточно сложному дифференциальному уравнению, устанавливающему аависимость между температурой и высотой. Нахождение интегралов этого уравнения, выраженных в конечном виде, представляет, вероятно, значительную трудность. Но в данном случае можно легко получить первые приближения, разложив интеграл этого уравнения в ряд по степеням некоторого параметра.
Эти первые приближения в одном случае очень просто найти, испольауя легко интегрируемое с «Н и ш р Ь г в у в Ъ7. 1. Чвг$$сз! хвшрвшхагв-Этзй$взвв в$0>в ввшоврьвгв.— Авхр>РЬуз. Д. 1909, 29, р. 14, ««6 о ! й Е. ТЬв шс>Ьвгшз1 1вувг о1 $Ь« вхшозрЬвгв.— Ргсс. Еоу. Яос. Ьоайоа, $909, 82.
««* 8 с Ь>за г х в сЬ 11й К. 0Ьвг йвв 01в$сЬввчйсЬ$ йвг 8овававхшоврЬвгв. 0оыймег $хзсЬ.— МвхЬ.-РЬуз. К1аззв, 1908; Е ш й в в Е. ОазЬавв1а. Ь«$рх$я — Ввг1ш, 1911. ««««Е ш й в а Е. $$«Ь«г 8$гвЫавзч91«$сЬЕ>вв$сЬ$ иай ахшоврЬаг$зсЬ« 8$гвЫсвя. ЗмхЬ«г. Мв>Ь.-РЬув. К!азвв АЬай. $4>!вввэвсЬа!$ МйасЬвс, $913. 6 А.
А. Фриз««в динАиическАя иетеОРОлогия и шизикА АтмосшеРы 82 помощью простых рядов дифференциальное уравнение типа Фукса, а в другом — с помощью очень простых формул, содержащих экспоненты. Итак, в задаче получаются ряды, расположенные по степеням некоторого параметра. Хотя коэффициенты в разложении без труда можно определить, вопрос о сходимости этих рядов остается открытым (см. $4). В конце настоящей работы приведено сравнение результатов аэрологических наблюдений с полученной теоретически формулой. Для того чтобы разрешить данную задачу, необходимо вывести уравнение термодинамики в предположении, что в единипу времени единица объема газа получает некоторое определенное количество энергии (~'.)).
Это количество энергии можно определить, рассматривая атмосферное излучение и поглощение. Повторим кратко вывод уравнений гидродинамики при изложенных выше предположениях *. Выберем оси координат таким образом, чтобы ось х была вертикальной. Введем следующие обозначения: х, у, х, 1 — координаты точки (г— высота) и время; и, и, 1р — составляющие скорости частицы в точке (х, у, х) в момент 1; р, р, Т вЂ” давление, плотность, температура; ср, с„— удельная теплоемкость воздуха при постоянных давлении и объеме; Х, У, 2— составляющие сил, действующих на единицу объема; Х„, г'„, 2„— составляющие сил, действующих на единицу поверхности (и — внутренняя нормаль этой поверхности).
Мы условимся выражать количество энергии в механических единицах. Уравнения гидродинамики вместе с уравнением неразрывности и уравнением состояния воздуха можно записать так: ди ди ди + ри — + рг — + ри>— дх ду дх дх дх дх + ри — + рх — + рш— дх ду дг дх дх дх +ри — + рв — +рш— дх . ду дх др дри дрх дрх — + — + — += дГ дх ду дх р = ОрТ. ди дг,) дх р др =рХ вЂ”вЂ” дх др ду др дх (2) дх дг =-.
О, (4) (б) * См., ваврвмер, К 1г сЬ Ь о 11 6. Чог1еаивхев ОЬег МаАЬешайвсЬе Р11уа1Ь. 'Пгеог1е бег гуагше. 1,е1рх1я, 1894, 4, 8. 116. О РАСПРЕДЕЛЕНИИ ТЕМПЕРАТУРЫ ВОЗДУХА С ВЫСОТОЙ 83' Рассмотрим малый объем (т) с элементом поверхности (о) и внутренней нормалью (и). Пусть (') — количество энергии, поступаюп(ее в единицу объема в единицу времени, тогда соотношение между количеством подведенной энергии и работой внешних сил в объеме (т) можно выразить формулой А =()( ~ (С))ра)т+ ((г ~ р(Хи+ гр+ Тю)с)т+ (ю (е) + а)Г ~ (Х„и+ У„р+ Я„ш)((о. (а) (о) Количество энергии, необходимое для того чтобы повысить температуру единицы массы на а)Т, а плотность ее на а)р будет, следующим Е) (()') = — Ма'р+ с,((Т, где М=-(с — с ) —:— ар ар " ар ат Работа давления на единичную массу равна —,М вЂ” = —., Ир. ( р Р Ре Применяя принцип сохранения энергии к объему газа (т), найдем следую)цую формулу: А = ~ (()') рс)т + ~ — ", ((р с(т + а ~ р((т " + ' + (с) (О (е) где последний член дает приращение кинетической энергии объема Примем во внимание, что т М = (с„— с„)— Р— — М = — — (с„— с,— Н) = О, р Ре Р так как Н = ср — с„ * К! ге())) о 11 О.
См. выше. *е Н вЂ” энергия, выраженная в мехавичесввх единицах. ДИНАМИЧВСКАЯ МВТВОРОЛОГИЯ И ФИЗИКА АТИОСФВРЫ Из уравнения (а') легко вывести следующую фундаментальную формулу: ~ ((>) р)(т + ~ р (Хи + ус + 2)с) с)т + ~ (Х„и + уха + 2)д) с)о = ы) со Ф) =~р ~,( + + ))( +~рс,~~ с(~.
(Ь) (х) м) Можно преобразовать уравнение (Ь) с помощью интеграла живой силы, который получается из уравнений (1) — (4). Умножая уравнения (1), (2), (3) соответственно на ис(т, Ыс, и)от, складывая их я интегрируя полученное равенство по всему объему (т), имеем р — „(, ) с(т — ~ р(Хи+ уг -)- 2)с) с(т = (х> (.) Г ) др др др =. — д> ) — и + — у + — я)) с(т. дх ду дх О~ Преобразование Грина дает ( — и+ — ) + — к)) с)т = — — ~ (Х„и+ 1'„у+ 7„)д)с)о— l др др, др )дх ' ду ' дх (х) (о) (о Благодаря этим равенствам формула (Ь) принимает ввд ~ р ф) Нт = ~ рс„— ))т -';- ~ р — + — + — ) )))т. со (х) Откуда, рассматривая объем (т) как бесконечно малый, получаем р()',)) = р.— „+р( —,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
