Дифференциальные уравнения турбулентного движения сжимаемой жидкости (1124010), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Запишем эти соотношения сокращенно следующим образом: (ФВ< <Р») = (<Р», ТА)- (25) диФФИ РенциАльные уРАВнения туРБулентного дВижения дэ йареобразованме н обеуаеденне полученных уравненвй Чтобы выяснить связь между уравнениями (21) — (25), напишем сначала гидродинамические уравнения (19) в форме (20), после этого уравнения (21) — (23) примут вид (26) (22а) (23а) Обе скобки в левых частях могут быть развернуты при помощи дифференциальной формулы (14), и тогда сложением и вычитанием полу- чаем д д, (<д<, Ра) = ( Рь Гз) + (У« Рн), — (<Р« Р«) = (<Р< гз) — (г« д«) д (27) (28) Так как выражения г< и другие не содержат никаких производных по <, то на основании обобщенных дифференциальных формул (18) следует, что вырая<ения, стоящие в правых частях (27) и (28), не могут содержать производных по < и по т, а только по х, у, г, $, <), ~.
Система (27) является, таким образом, результатом исключения всех производных по т из уравнений (22) — (23), система (28) получается исключением производных по <. Из этого мы заключаем, что начальные значения моментов связи (<ро <рт), соответствующие моменту времени < = О, ни в коем случае нельзя рассматривать как произвольные функции переменных х, у, з, т, З, <), ~, так как эти значения должны обязательно удовлетворять также уравнениям (28). Система уравнений (26), (27), (28) эквивалентна системе (21) — (23).
Итак, для определения искомых функций можно исходить из уравнений (26) — (28) и дополнительных условий (24) — (25). В дальнейшем окая<ется, что достаточно ввести уравнения (24) — (25) как условия, налоя<енные только на начальные значения неизвестных функций. Пусть теперь даны значения <р< в начальный момент <' = 0 (или, вообще говоря, в любой момент времени) как функции х, у, г и пусть даны (ф<,<рт) для того же самого момента времени, а именно для определенного значения т (например, т=О) как функции х, у, з, з, ц, ~. Для этих началь- гидгомкхАникА сжимАвмой жидкости ных значений выполнены условия (24). Кроме того, онн доллзны также удовлетворять условиям (25). При втих предположениях система 25 уравнений (28) представляет собой нормальную систему, для которой решается проблема Коши.
Это значит, что с помощью этих уравнений можно найти 25 неизвестных функций (ф>, >ра) как функции семи аргументов х, у, х, й, т)„>", и т. Назовем такое определение функции операцией А. С другой стороны (исходя из тех же самых начальных значений), с помощью 25 уравнений системы (27) и 5 уравнений (26) представим 30 неизвестных величин (ц>е, >ра), >р> как функции семи аргументов х, у, г, 6, т), Ь и т, что мы обозначим как операцию В е.
На основании предыдущего рассуиедения можно выдвинуть утверждение: если вообще существует система искомых 30 функций восьми аргументов (, х, у„з, т, 6, т), Ь, которая удовлетворяет уравнениям (24) — (28) н прн г = О, т = 0 принимает заданные начальные значения, то она однозначно будет получаться последовательным применением операций А и В (в любой последовательности)**. Если мы далее не интересуемся определением характеристик турбулентности самих по себе и говорим о них в первую очередь только для того, чтобы найти величины (>в>), то от операции А можно отказаться совсем. С этой точки зрения мы и ограничимся определением моментов связи для специального значения т = 0 (при произвольно изменяющихся 6, т), ь).
Мы получим полную систему характеристик, которые кроме ко- е От нормальной системы дифференциальных уравнений в обычном смысле слова система ЗО уравнений (26) — (27) отличается тем, что в правые части входят значения неизвестных функций и их производных по Е, гь Ь как при об>цей системе значений Е„ >), Ь, так и при специальной системе значений 8 = >) = ь = О. Это обстоятельство, одвайо, не иыеет существенного значения при постановкеи решении проблем, аналогичных аадаче Коши. ** Этим ви в коем случае не утверждается, что вачальвые значения 28 моментов свяаи действвтельно могут считаться произвольными независимыми друг от друга функциями.
Противополоя<ное утверждение может быль доказано следующим образом. Если существует система этих величин, являющихся функциями 8 аргумеатов е и с, удовлетворяющих уравнениям (27) и (28), то должны иметь место следующие 28 уравнений: дт ('Р> ~з +(~> Ч'ап — д, (% ~а~ (У* >Уаи. д д Если развернуть эти выражения и все встречающиеся производные по > и т заменить их выражениями пз уравнений (26) — (28), то получим систему уравнений второго порядка, которые содержат только производные по 6 аргументам — х, у,:, с, ть ь.
Каждое такое уравнение дает, очевидно, одно услогие, наложенное на начальные вначепия (при с = О, т = О). Только, если действительно выполнены так поставленные услсввя, применение операций АВ и ВА дает один и тот же результат во всей области значений восьми аргументов. диФФВРенциАльные уРАВнения туРБулентного дВижения 55 ординат и времени зависят еще только от трех аргументов з, ц, ~. За- метим еще, что, принимая во внимание соотношения (25), эта система сводится к 15 существенно различным функциям. Мы должны еще доказать, что если для начальных значений (~ = т = О) выполняются условия (24) и (25), то эти начальные условия остаются глраведливыми для области, расширенной с помощью операции А или соответственно операции В. Для уравнений (24) имеют место следующие соображения.
С одной стороны, вспомним замечание, что ф при операции А вообще остаются неизменными. С другой стороны, вырая1ения У», которые стоят в правых частях уравнений (26), не зависят от аргументов а. Отсюда следует спра- ведливость нашего утверждения относительно операции В. Докажем соответствующее утверждение для соотношений (25). Для этого достаточно показать, что поскольку эти соотношения выполняются одновременно с уравнениями (24) в области, ограниченной определенной парой значений (~, т), то в этой области существуют уравнения — „Ир, рз) — (р., р,) ) = 0, д Л) — ((В.
р) — (Ч,В) ) =0 благодаря которым гарантируется распространение соотношений (25) на названную область. К этим уравнениям мы придем следующим образом. Прежде всего продифференцируем уравнения (25): ( аз (Р' Р)) ат (Р' ф) дг ('Р' Р)' (й) ( ас (Р' т)) дз (™ до (ф' Р)' Здесь г означает одну из т р е х переменных х, у, з и о — одну из тр е х переменных С, ть ~. С помощью этих уравнений из формул (18) следует (р,~~) =Я, р), (» а. р) =(р'~ а.) ' (Ь) Вводя снова функции рь получаем далее (~, Вз) — = (Вю %) (г' 'рг) — = ('рю г') У () С помощью этих формул из уравнений (27) и (28) получаются приве- денные соотношения (1).
ГидгомвхАннкА сжимАвмои жидкости Э'нроихение изложенного методе Вышеприведенные формулы, которые составляют полную сисзему уравнений для определения характеристик турбулентности, еще довольно сложны, с одной стороны, вследствие большого числа неизвестных функций, а с другой,— из-за двойного числа независимых переменных. Некоторое упрощение в этих рассуждениях можно сделать благодаря введению момента связи для бесконечно близких точек четырехмерного мира: (ал,,< Л.
(ф. ф) = < д", ) (29) Из полученных ранее формул следует (30) Если рассматривать ради простоты линейное адиабатическое движение идеальной сх<имаемой жидкости при отсутствии внешних сил, то имеем следующую систему уравнений: ди др ди — =- — <з — — и —, д< дх дх (31) др ди др — = — хр — — и — . д< Рдх дх. Применим теперь к зтим трем уравнениям операции построения среднего значения и образования моментов корреляции. В окончательных уравненилх появляются, вообще говоря, характеристики Л< и Л .
Если известно начальное состояние турбулентного движения, то мох<но непосредственно определить Л„, ио не Л<. Поэтому х<елательно так преобразовать уравнения (31), чтобы величины Л, не встречались в них. Имея в виду это замечание, мы получим из системы (31) с помощью Л.(ф, ф) Л*(ф ф) Л.(ф, ф< + ф.) ф дх дф Л(ф,1 — д,) Лв(ф ф) =О, =- Л. (ф, ф ) + Л. (ф, 'Ф ), — дф+ 1 дЛ(<р,ф) 1 1 ал(р,ф) а, +2Л(ф 4') — -„— Л(ф 1) + — ~ + ~ Ж(ф ф). дф 1 -дЛ(<р, ф) 1 дифвкгкициАльныи тглвнвния тгввглкнтного двлжвния бт формул (30) систему девяти уравнений для производных —, — Р би бв бз' бю ' И ЬЛ (и, и) ЬЛ (в, ) ЬЗЦРа М би (и, в) бя (в, Р) ЬИ (Р Р) Ь1 ' бс ' бв' ' а ' ' а б~ (32) ( б д д ~ где для сокращения — = — + й — ) .
Эти уравнения, кроме величин бС дС дх) ' и, в,... Л (р, р), содержат еще три переменные Л„(в, и), В,(р, и), Л„(в, р). Итак, имеем 9 уравнений для 12 неизвестных, и позтому таким способом не получаем полной системы. Однако по сравнению с результатами простого метода построения среднего значения (т. е. метода Рейнольдса) число функций, остающихся неопределенными, значительно понижено. Из названнои системы уравнений (32) можно получить полную нормальную систему, если произвольно распорядиться тремя функциями: Л„„(в, и), В„(р, и), Л„(в, р), Тогда ннтегрированиемнайдемкак частное решение следующий случай турбулентного движения: и=-Ь, р= — 2 — + 2 + +с, в=(; Л(и, и) = аР+ ()~+ Т, В (в, в) = ф(х — И); Л (р, р) = ах' — (2а5) + 2а — Ьр) х + аб'Р + (2аб — Ьз()) б + С; Л(р, и) = --(ыг+ — )а+ аЫ~+ а1; Л„(р, и) = сЫ+ —; Л(в,р) =Л(в, и) =Л„(в, р) =Л„(в, и) =О, (33) где С, а, Ь, с, а, Р, Т вЂ” произвольные константы; ф — произвольная функция своего аргумента.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
