Дифференциальные уравнения турбулентного движения сжимаемой жидкости (1124010), страница 10
Текст из файла (страница 10)
В осредненном движении жидкость в данном случае ведет себя как нес>кимаемая, с плотностью, равной единице. Среднее движение представляется при этом как равномерный перенос жидкости, или как перемещение твердого тела. Как отмечено, полученные уравнения не образуют для характеристик В, полной системы. Недостающие соотношения между характеристиками турбулентности должны определяться экспериментально. ГИДРОМЕХАНИКА СЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСтн О ДВЮКВНИИ АВСОЛАОТНО СЖИМАВМОИ ЖИДКОСТИ а 1.
Уравнения движения жидкости в форме Лагранжа (вообще говоря, более сложные, чем в форме Эйлера) при решении частных задач в некоторых случаях оказываются более удобными. Их преимущества обнаруживаются, в частности, при изучении движения жидкости, частицы которой обладают некоторыми особыми свойствами, например, когда частицы движутся без ускорения (случай, часто исследуемый в динамической метеорологии) нли когда не изменяется энтропия каждой частицы, или плотность частиц (случай, который встречается в исследованиях Ляпунова о фигурах равновесия вращающейся жидкости) и т. д.
С помо|цью переменных Лагранжа легко записать уравнения Гельмгольца, которые вместе с уравнениями несжимаемости составляют условия динамической возможности движения абсолютно несжимаемой жидкости. Условия динамической возможности движения абсолютно сжимаемой я<идкости в форме Эйлера, полученные А. Фридманом, оказались очень полезными при решении различных задач гидродинамикн абсолютно сжимаемой жидкости.
Поэтому в настоящей работе мы устанавливаем эти условия и в форме Лагранжа; в то я<е время мы показываем, как можно приложить эти условия к решению частных задач гидродинамики абсолютно сжимаемой жидкости, задач, для которых форма Лагранжа представляет особые преимущества.
2. Пусть а, Ь, с и х, у, г — три координаты частицы соответственно в начальный момент времени и в момент т; х, у, г представляют собой, очевидно, функции а, Ь, с и г, которые мы и хотим отыскать. Обозначим частные производные функции / (а, Ь, с, ~) по переменной а символом /а, . а именно: д//да = /„ производную / по ~ обозначим через /~ — — д//д~ и условимся, кроме того, обозначать величину д'//д~а через //. При этих обозначениях уравнения гидродинамики (три уравнения гидромеханики и уравнение неразрывности) выражаются в переменных Лагранжа следующим образом: хФа+ у~уа + в~за =- ' юра + Рай+ Рура+ Раза хать + У~рь + зать = — арь + Р ль + РРЧь + Рхаю е~х, + У~У, + з~з, =- — вР, + Р,.т, + Рар, + Рай„ а> =.. МаП, о движкнии АБсОлютнО сжимАИИОЙ жидкОсти Ь9 где с» и р обозначают удельный объем и давление в момент ь; е"„, Р„, г",— пРоекЦии силыхс на оси кооРДинат; сэь (зависЯЩее только от а, Ь, с) — УДельный объем в начальный момент и 0(ю у, с) З(а,ь, с) представляет якобиан функций х, у, г по переменным а, Ь, с.
Задача гидродннамики состоит в том, чтобы из уравнений (1) найти х, у, г, р и сэ как функции переменных а, Ь, е и времени т; при этом г'„, ею Р, рассматриваются как заданные функции переменных х, у, г и их производных по времени и по переменным а, Ь, е,. Система уравнений (1), очевидно, будет эквивалентна следующей системе уравнений, содержащих неизвестные функции х, у, г, р и <р: огай р = е-аГ, ~~ =О, (2) где составляющие Га, Гь, Г, вектора Г определяются уравнениями РГа = (Ьа хс) ха + (Ру — Уг) Уа + (~ с гс) гас РГЬ = (Є— хс) хь + (й'ь — ус) ус + (Ь'с — гс) гь, Р1с = (Ла ХС)Хс+ (йу уС)ус + (Рс г~)гс а атас) р означает вектор с компонентами р„рь, р,.
Что касается удельного объема сэ, то он определяется соотношением со = Реа. Определим условия, которым должны удовлетворять функции х, у, г, для того чтобы можно было найти функции р и у, удовлетворяющие уравнениям (2). Зги условия полностью аналогичны условиям динамической возможности движения абсолютно сжимаемой жидкости; они будут представлять собой соответствующее обобщение уравнений Гельмгольца. 3.
Применяя к обеим частям первого уравнения (2) операцию той, получим следующий вывод: для того чтобы определить р и ~р, удовлетворяющие системе (2), необходимо, чтобы выполнялись уравнения (Г, бгас) ~р) = .ЬГ, д(р — = О. дь гидгомнхАникА с1кимАкмои жидкости В этих уравнениях Ы = гМ Г, так что аг, аг, гоь Г =- — ' —— х да дс —,=О. де д1 Дифференцируя первое уравнение (7) по г и принимая во внимание второе уравнение (7), получим новое соотношение, умножая которое векторно на Г найдем равенство ус+ п(Г,дг/д(] = О, (8) где дл" (и, дг/до Г (г, дг) дО (О) дв (г, г) (г, Г) Равенство (8), которое определяет и, показывает, что,'векторы Ф и !Г, дг/дг] параллельны, т.
е. ~7, ] г, —",, 11 = о. (а) ит. д. Если ~р удовлетворяет требованиям (5), то р получается из соотноше- ния р = рз (~) + ~ е-т (ГхЫа + Гы(Ь + Г,Ыс), (6) х где рз (г) — произвольная функция своего аргумента. Таким образом, мы удовлетворим системе уравнений (2), иначе гоьоря, системе уравне- ний гидродинамики. Система (5) возмол<на, если выполняется условие (г,.н) = О. (а) Для того чтобы установить другие условия динамической возможно- сти движения жидкости, нужно рассмотреть три случая 1) ~г,— 1+О, 2) ~Г,—,1=0, Г+О, 3) Г=О. В первом случае разрешим первое уравнение (5) относительно ягай ~р; обозначая через и не определенную пока что функцию переменных а, Ь, с и ц запишем систему уравнений (5) следующим образом: ягаб(~ =- — — '+ пг, ]ту, г] (г, Г) (7) О ДВИЖЕНИИ АБСОЛЮТНО СЯ<ИМАЕМОИ ЖИДКОСТИ Е1 После незначительных упрощений, принимая во внимание (а), приходим к соотношению, которое представляет одно из условий динамической возмоя<ности движения: (Ь) Если имеют место равенства (а) и (Ь), то можно определить скалярную величину Х такую, что п =- Х удовлетворяет (8), а первое уравнение (7) позволяет определить у при условии, что выполняется равенство гоь ( —,-' — + ).Г) =-О, (с) которое и будет третьим условием динамической возможности движения.
Обозначая через А вектор (гГ Г) + (г, г) будем иметь следующие равенства для определения <р и оп ~р =)п С+ ~(1„<(а+ Се<(д + Е,<(с), (10) (<ь аа+ььаь<ьеам <з= Се 1г,—,д"~ =О, а Г отлично от нуля. В этом случае также будут иметь место и условие (а) и равенство (8). Так как Г и дГ/д< параллельны и Г отлично от нуля, то существует величина г, удовлетворяющая равенству дà — = гГ.
д< Принимая во внимание (11), видим, что равенство (8) в рассматриваемом случае превратится в — =- гН'. дН д< (е) где С вЂ” произвольная постоянная. Таким образом, в рассматриваемом случае условия (а), (Ь), (с) будут условиями динамической возмол<ности двия<ения жидкости, и когда они выполняются, давление и удельный объем определяются с помощью формул (6) и (10).
4. Исследуем теперь второй случай, когда ГНДРОмихАникА сжимАвмОИ жидкост Так как Г отлично от нуля, то по крайней мере одна компонента вектора à — не нуль; не умаляя общности рассуждений, можно положить, что Г,+ О, и тогда система уравнений (5) (из которой определяется ~р) может быть записана так: д1> Га дд ~Гь О да Г да Г д~р Г д~р УХ дф — = — ~ — + — '= О, — = О. (12) дЬ Г, дс Г„' дФ Легко:проверить, что при выполнении условий (а), (С) и (е) система (12) будет системой нормальных уравнений первого порядка в частных производных. Таким образом, во втором случае условиями динамической возможности движения будут соотношения (а), (6) и (е). Удельный объем будет определяться равенством где >р будет получено интегрированием нормальной системы (12); как и раньше, давление определяется формулой (6).
Переходим, наконец, к последнему случаю, когда Г = О. В рассматриваемом случае это равенство является единственным условием динамической возможности движения. Удельный объем и давление в этом случае будут определяться формулами о> = о>, (а, Ь, с)1), Р = Ро О) (14) где «> и р, — произвольные функции своих аргументов. 1. В качестве примера применения общих методов, изложенных в предыдущем параграфе, изучим движение, при котором ускорение каждой частицы жидкости равно нулю (инерциальное движение). В динамической метеорологии очень часто рассматривается такое движение, тем не менее еще не установлено, возможно ли такое движение, и если оно возмо>кно, то какие ограничения оно налагает на распределение давления и плотности в атмосфере. Как мы увидим в дальнейшем, частный случай такого двин>ения действительно возможен, но при очень жестких ограничениях, состоящих в том, что изобарами доля<им быть прямые.
Поместим начало координат на поверхности Земли и направим ось ОЯ вертикально вверх, ось ОХ вдоль параллелей на восток и асыку вдоль О двигквнии АБсОлютнО сгкимаемой жидкОстп меридианов на север. Предположим, что на частицу воздуха действуют две силы: сила тян<ести и сила отклонения, возникающая вследствие вращения Земли (сила Кориолиса). Сила та»нести имеет направление, обратное полозкительному направлению оси Я; обозначим через у ускорение силы тяжести. Для того чтобы определить силу Кориолиса, заметим, что в рассматриваемой системе координат Л-вектор вращения Земли будет направлен по оси вращения Земли с юга па север. Проекции Л„ЛЮ Ла этого вектора на оси координат будут Л, = О, Лз = Лсоз »р, Лз = Л ып »р, где ~г )з, »з — функции, которые нужно определить(такжекакидавление и удельный объем) с помощью условий динамической возможности движения, которые мы только что установили.
Однако в настоящей работе мы не будем изучать общий вид инерциального движения, а ограничимся случаем, когда частицы двия<утся в горизонтальных плоскостях и скорость этого движения не зависит от высоты. Имеем для определения движения в этом частном случае формулы х=а+Рг(а, Ь,)(, У=Ь+)з (а, Ь)(, з=с. (15) Составляя выражение а), а также записывая компоненты вектора Г (с помощью формул (3)) и Н = гоФ Г, найдем .О = А(з + В( — ' 1 77 Ргя+ Ы + гг О Ран+ Ч»Ф+ гз Н 2) Рз'+ Р»В+ а»$+ гз а= 12» з=. )2» и= з )2» где для сокращения положено дггг дг»з дгг д/г Р((г,гз) да дЬ дЬ ди»2(а,Ь) ' д(г д(з )г=- — + —, да дЬ ' дгг д)з Ьз 2» 2» дЬ дЬ ' г»2» дгг да да' (з = — у+ 2Л,/г, (г 2» (1 г ) где Л = 0,73.10 з — угловая скорость вращения Земли. Инерциальное движение в общем случае, очевидно, определяется уравнениями х = а + (г (а, Ь, с)Ц У = Ь+ )з(а, Ь, с)(, з = с + Рз (а, Ь, с) (, ГИДРОМЕХАНИКА СЖИМАГЯОЙ ЖИДКОСТИ ~л = О, ~з = ф (а).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
