Дифференциальные уравнения турбулентного движения сжимаемой жидкости (1124010), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Происходящие здесь явления противоположны тому, что наблюдается в нормальной области вертикальных температурных градиентов. Следует заметить, что величины т', и т," лишь ничтожно мало отличаются от т,; при Т= 273" К величина 4~и,' = 0,0022, для ср, =- 10 это соответствует при р = 100 Значениям е, меньшим10 'е, и при р = 10— меньшим 10 '"; т,' и Т," в этом случае отличаются от т, меньше, чем на одну тЫСЯЧНУСО '~'а.
2. Обратимся к формуле (3) $4. Считая, что а и 3 — малые величины и предполагая, что горизонтальные течения отсутстиуют, мы можем формулу (3) ааменить приближенной формулой (6) с той лишь рааницей, что в формуле (6) величина Ч теперь будет ее11 ( р дс Ап дс) дТ др Ч= а т Это выражение может быть написано так: Сс Таа Ч= — — — ~ арта Р где /ер дТ дР~ е =ее — ( — — — -4 —— а (О дс дс/ Все наши рассуждения применимы и к раэбираемому случаю, с той только раэницей, что величина ее должна быть заменена величиной е'; О ББРтикАльных ткчвниях В АтмосФБРБ 133 эта величина может быть больше или меньше еа. Не останавливаясь на детальном исследовании вертикальных течений, эаметнм, что на больших высотах, где Я весьма велико, будем иметь приближенно е;= со+ -4 —,.
да дс ' Эта формула указывает, что прн повышении давления (надвигаю- щемся антициклоне) величина е' будет больше еа; наоборот, при пониже- нии давления е' меньше еа. Это должно отразиться на положении верхней инверсии, нижняя граница ее, по-видимому, должна опуститься при надвигающемся антициклоне и подняться при уходящем. Заключение это, однако, высказано лишь в общих чертах и недостаточно строго обосно- вано; я не имею возможности проверить его ив-за полного отсутствия мате- риала. Можно отметить, что исследование случая, отмеченного в настоя- щем пункте, по моему мнению, достаточно раэъясняет вопросы свяэи анти- цнклонов с явлениями в стратосфере и вообще вопросы о влиянии движе- ния барометрических максимумов и минимумов на вертикальные течения атмосферы.
3. Мы уже говорили выше, что реэультаты наши не иэменятся суще- ственно, если вместо формулы (6) мы будем научать формулу (4). Легко, кроме того, видеть, что основные формулы (9), (13) и (14) могут быть приме- нены и к решению уравнения (4) относительно ю, если только мы в этих формулах эаменим Т и Ч на Т, и Ч, определяемые соотношениями Т„= Та(~ — —" ~Ч'), т, — т 2аат Ч+ 3 Ч 27 'Ч Ч— 1 — — —,а И 3 т и, кроме того, к левым частям этих формул прибавим величины и Та — — — Ч. 3 т Предыдущие формулы можно будет, принимая во внимание малость ~а переписать приближенно так: Та Та' — ( хТа — т) ~ЗА ДИНАМИЧЕСКАЯ МЕТЕОРОЛОГИЯ И ФИЗИКА АТМОСФЕРЫ Принимая во внимание это последнее упрощение, найдем, что формулы (9) и (14) для случая полного уравнения (4) не изменяются, что же касается формул (13), соответствующих аномальной области вертикальных температурных градиентов, то они перепишутся так: Чта ХЧ Та 2(т — Та) 2 Т Чта ЗЧ та + 2(т — та) 2 т Чта шо =- —— Т вЂ” т,' — д — а — =о, др до да —: — -О, дО ра=лт, зо1а= со — — АП— дт др о Р до интегрируя зги уравнения, найдем — =О дО до Й = й(г), ео = зо(1) †' = О, Гдо Р Ро д + о — )з а, о д)ай Т=Т вЂ” — „, Т, ь где ть =4/В, как и Ранее,.а ео(1) и Й (з) — пРоизвольные фУнкции.
Следовательно, 1о (г) может быть как возрастающей, так и убывающей функцией высоты г. при тех величинах притока энергии, температуры и т. д., какие имеют место в действительности, этифармулы мало отличаются отформул(13). 4. Е1ам остается рассмотреть случай равновесия атмосферы в предположении, что все величины, ее характеризующие, зависят только от 1 и высоты ю Уравнения гидродинамики в этом частном случае будут иметь вид О РАспРкделепии темпеРАтуРы с ВысОтОЙ 138 Последнее из предыдущих равенств дает 1 Ги ть — Г К2 ~Ел 1' или ~ее р следовательно, когда градиент меньше предельного, то при равновесии в атмосфере удельный объем возрастает (плотность убывает) с высотой; когда же градиент больше предельного, то при наличии равновесия в атмосфере удельный объем убывает (плотность возрастает) с высотой.
Таким образом, приходится признать неправильным общепринятое мнение о том, что градиент не может быть больше предельного. Это мнение, основанное на невоаможности такого положения, когда более тяжелая несжимаемая жидкость находится наверху, а более легкая внизу, совершенно неприменимо к случаго идеального газа и к случаю равновесия атмосферы. По-видимому, при градиентах, больших предельного, мы будем иметь неустойчивое равновесие атмосферы, впрочем, вопрос устойчивости равновесия атмосферы требует в свою очередь более или менее строгого с точки зрения аналитической механики решения. Принимая во внимание, что давление никогда не будет величиной отрицательной, мы можем утверждать, что плотность в атмосфере не может все время возрастать с высотой.
Доказательства этого положения мы здесь приводить не будем. О РАСПРЕДЕЛЕНИИ ТЕМПЕРАТУРЫ С ВЫСОТОЙ ПРИ НАЛИ*1ИИ ЛУЧИСТОГО ТЕПЛООЬМЕНА «ЗЕМЛИ И СОЛНЦА" в. Пермь, 11 февраля 1Р1Р г« В статье «Яег 1а г(1зьг1Ъиь!Оп де 1а 1ешрега1пге апх «11чегэез Ьаи1еегз» (Геофизический сборник, 1914, 1, вып. 1, стр. 35) * я рассмотрел задачу распределения температуры по высоте в атмосфере при наличии лучистого теплообмена Земли и Солнца и при весьма слабых вертикальных токах воздуха.
Указанное в атой статье решение при помощи разложения искомых функций в ряды по степеням некоторого малого параметра приводило к чрезвычайно сложному методу определения коэффициентов этого разложения (при помощи уравнений тина Фукса); кроме того, ввиду невоаможности приложить иавестную теорему РО1псаге к нашей задаче, самая сходимость полученного при решении задачи ряда оставалась недоказанной. В настоящей заметке я укажу в краткой форме иное решение поставленной "' См. стр. 81 настоящей книги. 136 динАмическАя метеОРОлогия и жизикА АтмосФеры в упомянутой выше статье задачи, дающее значительно более простое рааложение в ряды искомых величин и предоставляющее возможность доказать сходимость этих рядов. Более подробное изложение решения, приводимого в настоящей заметке, будет изложено в моей статье «Айб(Иоп 1о 1Ье по$е: Бпг 1а б(зйг)ЪНМоп бе 1а Фешрбга1оге аих Мтегзеэ Ьап1еогз», напечатанной в Геофизическом сборнике.
Уравнения аадачи распределения температуры с высотой приводятся, как это было показано в моей вышеупомянутой статье, к следующему виду: Рю =- р~ р=нрт, йЕ =с„— + Нт —, йТ Н~ Е = сТ', оЭо 1 ар ю — = — К вЂ” —— ,~,— ~ р при атом р, р, Т, и означают давление, плотность, температуру и скорость вертикального течения воздуха на высоте з над земной поверхностью, в — ускорение силы тяжести, с„— теплоемкость при постоянном объеме,' Н вЂ” газовая постоянная, с — коэффициент в законе Стефана — Больцмана, й — коэффициент поглощения воздуха, величины Р и Е определяются третьим и четвертым уравнениями системы (1). Вводя новую переменную и условием о т = ~рог, (2) о мы приведем систему (1) к такому виду: рш =Нрт, ЫT дю йЕ=с„р — + р —, ат йт' Е = СТ', Р— Р+ (Аюо — зт — Рю — — ЬЧ' = — 2— з ото Ыто О РАспРеделении темпеРАтугы с ВысОтОЙ 137' где Р и ш — давление и скорость вертикального течения близ земной поверхности; отметим, что и~, не равно нулю, так как, с одной стороны, земная поверхность может быть и не гориаонтальной, а с другой стороны, более правильно относить граничную скорость вертикальных течений не и самой земной поверхности, а к слою на несколько сантиметров выше.
Из уравнений (3) мы можем последовательно определить р и и в зависимости от Т и т (а также от Р и юз) и получить для Т дифференциальное уравнение третьего порядка. Для полного решения задачи необходимо определить значения пяти постоянных, трех получающихся при интеграции уравнения третьего порядка для Т и двух, введенных ранее (Р и юз). Постоянные эти мы определим из условий (4): юо Р, Т=т, (4) дгайТ =  — (огай Т) = — Г, — Гз на поверхности земли, т.
е. при т = О, и„, Р, ч, Г„Г, — заданные зна- чения; т (5) При соблюдении этих условий мы получим параметрическое изображение наших элементов и высоты г через посредство величины т, отсюда, придав т ряд значений, найдем зависимость между указанными элементами и высотой, т. е. решим нашу задачу. Приближенное решение ее дается в конце настоящей заметки. Мй Задача наша будет решена, коль скоро мы будем иметь возможность разложить искомые функции (р, и, Т) в ряды по степеням параметра р, причем докажем сходимость этих рядов и укажем метод вычисления их коэффициентов.
йТ дгайТ = — —. ВЗ Решая систему уравнений (3) при добавочных условиях (4), мы получим р, и, Т как функции т„чтобы получить значения этих элементов в зависимости от высоты з, нам достаточно выразить г в зависимости от вь при помощи уравнения (5): $38 ДИНАМИЧЕСКАЯ МЕТЕОРОЛОГИЯ И ФИЗИКА АТМОСФЕРЫ Полагая и = ри, т = рх и вводя постоянную а при условии юа = ра, без труда выразим р и Т через и: р = Р— арх — рз (и — а), и Т = — (Р— арх — рз(и — а)), (б) Остальные наши уравнения дадут нам по исключении из них р и Тдифференциальное уравнение третьего порядка относительно и; заменяя и функцией и при условии 2 +) а()) 2 +р где (? (р) = —;:„-..—— а(НГ,+а) (? а, 1 (1, П а+ (НГ1+ а) (НГ1+ 2д) + 2аа (НГ1+ а)~ Р раа ( Р— рва (Р— раа)а найдем, что и будет удовлетворять уравнению третьего порядка где ф = аР— агхр — (2а — 1) раи+ арта, а =- 1+ — — ', 'причем Ф (р, х, и', и") — голоморфная функция своих переменных вблизи р=О,х=О, и=а, и'=О, и"=О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
