Главная » Просмотр файлов » Дифференциальные уравнения турбулентного движения сжимаемой жидкости

Дифференциальные уравнения турбулентного движения сжимаемой жидкости (1124010), страница 25

Файл №1124010 Дифференциальные уравнения турбулентного движения сжимаемой жидкости (Дифференциальные уравнения турбулентного движения сжимаемой жидкости) 25 страницаДифференциальные уравнения турбулентного движения сжимаемой жидкости (1124010) страница 252019-05-10СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 25)

Вертикальная составляющая вихрей для нашего двиягенпя постоянна и будет равна удвоенной угловой скорости вращения. Само собой разумеется, что в условиях атмосферной действительности редко встретится движение, в точности воспроизводящее рассматриваемое данн<ение вращающейся жидкости; конечно, вертикальная составляющая вихря не будет постоянна, а будет меняться в зависимости от координат, как она меняется в проносящемся шторме. Как мы увидим ниже, при динамическом изучении рассматриваемого движения величина горизонтальных вихрей совершает два гармонических колебания с разными периодами около некоторого среднего значе- 148 ДИНАМИЧЕСКАЯ МЕТЕОРОЛОГИЯ И ФИЗИКА АТМОСФЕРЫ ния. Это среднее значение зависит от угловой скорости вращающейся жидкости и от широты места, где мы изучаем наше движение; от этих же параметров зависят и оба периода колебания величины горизонтальных вихрей.

Следует заметить, что колеблющиеся вихри подобного рода представляют, по-видимому, частое явление в атмосфере. Перейдем к рассмотрению вихревых линий; эти линии определяются дифференциальными уравнениями вида йо Чо йо Интегрирование этих уравнений дает нам следуюшие уравнения для вихревой линии: дЬ 2~а+ — — ~а = с, (Ь), до 2~у — — — ~б = со (Ь), да где сг и со — произвольные функции времени ~. Рассматривая на данной высоте горизонтальные вихревые линии, получим семейство прямых, определяемых уравнением о)ох 5оУ = сопз" т.

е. к данному моменту на данной высоте вихревые линии будут параллельными прямыми, наклоненными к меридиану под углом, тангенс которого равен отношению — . Чо Со 1. Переходя от кинематического рассмотрения движения к динамическому его научению, установим прежде всего те силы, которые действуют на частицы жидкости с единичной массой.

Прежде всего мы должны принять во внимание силу тяжести с учетом центробежного ускорения вращения Земли. Подобного рода сила будет действовать по отвесу вниз и по величине она равна ускорению силы тяжести у, исправленному на влияние центробежного ускорения вращения Земли вокруг оси. Обозначая вектор этой силы череа Х и составляющие его по осям координат через К„К„, К„будем иметь К„= О, Ко — Ь' Второй силой, действующей на частицу единичной массы, является отклоняющая сила вращения Земли, проистекающая из ускорения Кориолиса. Эта сила имеет, как известно, не только горизонтальную, но и вертикаль- идея ВРАщАющеися жидкОсти В АтмОсФЖРных дВижениях 149 ную составляющую.

Обозначим вектор этой силы через Ь'1 на основании теоремы Кориолиса мы можем получить выражение для ЕТ в зависимости от скорости Р частицы и от вектора вращения Земли; обозначим этот последний вектор через Ю. Принимая во внимание выбранную нами систему координат, мы можем Ю определить как вектор, направленный к южному почюсу Земли и по величине равный и, где ю — угловая скорость вращения Земли вокруг оси. Обозначая составляющие вектора Ю по выбранным нами координатным осям через юм юю юз и полагая, что рассматриваемое нами движение происходит в северном полушарии, в местности с широтой у, будем иметь следующие равенства: ю1 = — юсов~у, ю, = — ювш~у.

Нетрудно получить аналогичные формулы и для южного полушария. Заметим, что, предполагая в дальнейшем широту постоянной, мы вводим известного рода ограничение, а именно рассматриваем атмосферное явление мало меняющим свою широту. От этого ограничивающего нас предположения следует освободиться, ибо при движении циклона от Исландии к нам широта меняется в весьма существенных пределах. Однако освободиться от укааанного ограничения можно, лишь изучая движение в сферических координатах; это изучение является одной из текущих задач математического бюро Главной физической обсерватории.

На основании теоремы Кориолиса мы можем получить следующее выражение для отклоняющей силы вращения Земли Гг: Уг= — 2[Ю, г[, где символ [Ю, Р! означает векторное произведение векторов Ю и Р . Учитывая, что ю, =- О, и = О„получим следующие выражения для составляющих по координатным осям силы Ь": У,= — 2ю, Р. б'„= — 2юзи, 7У„= 2Юзэ Установив силы, действующие на нашу частицу единичной массы, нашппем уравнения гидромеханики в следующем виде: ЫУ" — = — в дгаб р + Х', а (А) где в и р — удельный объем и давление; й' — сила, действующая на единвцу массы жидкости; эта сила определяется равенством .й'=.К вЂ” 2 [Ю, Р[; 150 динАмическАя метеОРОлогия и ФизикА АтмОсФИРы операция ог/г71 есть обычное сокращенное обозначение следующей операции: и д д д, д — = — — +и- — +Р- — +ю —, Щ дГ дз ду ' дг ' а символы йгаб и 81ч обозначают вектор-градиент скаляра и скаляр, равный расхождению вектора.

2. Как известно, не всякое кияематически мыслимое движение воз- можно динамически, иначе говоря, не при всяком распределении скоро- стей частиц жидкости можно подобрать удельный объем и давление, удовлетворягощие уравнениям гидромеханики (А). Оказывается, что со- ставляющие скорости должны удовлетворять некоторым условиям, назы- ваемым условиями динамической возможности движения. Не останавливаясь на выводе этих условий, что сделано в моей работе, упомянутой выше, а также в моей ааметке, помещенной в Сошруез Вепг)пз в 1916 г., ограничусь лишь их перечислением. Введем два вспомогательные вектора, нужные нам для дальнейшего: дУ" 1 =Х' — - —,- = юягаг) р, дг (8) Н = — го$ Я = [дгаб р, дгаг)го), вектор Я называется ди н а и и ч е с к и м г р а д и е н т о м, вектор Нв т у р б у л и з и р у ю щ им в е к т о р о м.

Если Ы равен нулю, то под действием консервативных сил при движении жидкости обе основных теоремы Гельмгольца имеют место, иначе говоря, вихревые пгнуры не могут ни возникать, ня разрушаться; таким образом„отличие Н' от нуля характеризует степень возникновения кли разрушения вихрей в соответствии с известной теоремой Бьеркнеса *. Очевидно, что Ы обращается в нуль, когда изобарические и изостерические поверхности совпадают, в противном случае Н отлично от нуля; в условиях атмосфернойдействительности Н большей частью отлично от нуля.

Движения сжимаемой жидкости распадаются на два класса. К первому ОтНОСЯтСЯ Дзнжсина, В КОТОРЫХ ВЕЛИЧИНа )А = (Гг, Гу) ОтЛИЧНа От НУЛЯ; зти движения называются нормальными движениями. Ко второму классу относятся движения, у коих р обращается в нуль; такие движения называются п о л у к о н с е р в а т и в н ы м и. Обратимся к нормальным движениям и введем еще несколько вспомогательных векторов: 1Ы, Р)+ 0О а=.— ' * В 1 е г 1г о е з г.

— Мегеого!. Х. 1900, 17, 5. 97, 145. ИДЕЯ ВРАЩАЮЩЕЙСЯ ЖИДКОСТИ В АТМОСФКРНЫХ ДВИЖЕНИЯХ 151 "(= ° =-ф, ~~, 6 =. го1 р+ ~Я (9) здесь 0 означает б1ч г'. Вектора к и р назовем т у р б о и о и е н т о м и п р и в е д е н н ы м г р а д и е н т о м, вектора у и д ввиду близкой связи их с величиной притока энергии — первым н вторым тепловыми в е к т ор а м и. Нормальное движение называется о б щ и м, когда второй тепловой вектор отличен от нуля, и с п е ц и а л ь н ы м, когда он равен нулю; так как в дальнейшем нам понадобится только общее нормальное движение, то ограничимся установлением условий динамической возможности только для атого вида нормальных двия~ений. Введем величину Л, которую назовем с т е р е о с к а л я р о м„при помощи одного нз скалярных уравнений, заключенных в следующем векторном уравненни: (+ Лд = О.

и назовем его с т е р е о в е к т о р о и. Необходимые и достаточные условия динамической возможности общего нормального движения ся1имаемой жидкости заключаются в выполнении следующих требований: 1) динамический градиент должен быть ортогоналеп турбулизнрующему вектору (условие н е з а к р у ч и в а е м о с т и); 2) оба тепловых вектора должны быть параллельны (тепловое условие); 3)частная производнаяпо времени стереовек тора должна быть градиентом стереоскал яра (объемные условия). Эти условия могут быть написаны в виде равенств (и, а) =о, ((,ц =о, —, = дгаб Л. ду д~ (В) (в) (Г) Как мы сейчас увидим, условия динамической возможности для общего нормального движения поаволят нам утверждать, что Л будет одной и той хе величиной, безразлично яз какого скалярного уравнения (10) мы ее будем определять.

Наконец введем при помощи равенства (11) вектор а 152 ДИНАМИЧЕСКАЯ МЕТЕОРОЛОГИЯ И ФИЗИК А АТМОСФЕРЫ Если указанные условия соблюдаются, то удельный объем се и давление р определяются равенствами сэ = соес ахсСхаа дю хзхаЛ Ж (Д) Сх да + Ст сСу + С, сСх + (с) (Е) пРичем еле и Ре(С) — соответственно пРоизвольнаЯ постоЯннаЯ и пРоизвольная функция времени, е — основание неперовых логарифмов, а выражения, стоящие под знаком интегралов, являются полными дифференциалами в силу условий динамической возможности движения сжемаемой жидкости. 3.

Обращаясь к изучению полуконсерватнвных движений, заметим, что они распадаются так же, как и нормальные движения, на два класса; к общим полуконсервативным движениям относятся те движения, для которых вектор [сР, с(Я/й! отличен от нуля; к с п ециалькым полуконсервативным движенеям относятся такие полуконсервативные движения, для которых [1Р, с(С/с(С! обращается в нуль. В дальнейшем нам нужны будут только специальные полуконсервативкые движения, поэтому мы только для этих движений установим условия их динамической возможности. Предположим, что С не обращается в нуль и введем две скалярные величины т и г, определяемые с помощью двух скалярных соотношений, вытекающих из векториальных равенств [Ы, сх! =- Тя, (12) ды — = ЗО. дс Необходимые и достаточные условия динамической возможности специального полуконсервативного движения сжимаемой жидкости заключаются в выполнении следующих равенств: д + [О Огас[ (т + б) ! = 0 дхх где О = с[[у ах.

Коль скоро условия (сс() выполняются, удельный объем се определяется следующим образом. Находим общее решение ссл нормальной (в силу ИДЕЯ ВРАЩАЮЩЕЙСЯ ЖИДКОСТИ В АТМОСФЕРНЫХ ДВИЖЕНИЯХ 15В условий (Ж)) системы линейных уравнений с частными производными первого порядка *: аФ С аФ Р, аФ х +АЗ дх С„дз С, йр дФ Со дФ Ох дФ ду Сз дз С, др дФ ~аФ вЂ” + (ч+ О)— дз дф =О, =О, =О и определяем у = 1В ю из уравнения ФОр, 1, х, у, з) = О. Давление будет определено по формуле (Е), причем выражение, стоящее под знаком интеграла, будет полным дифференциалом в силу условий (Ж).

Характеристики

Тип файла
DJVU-файл
Размер
4,94 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов учебной работы

Свежие статьи
Популярно сейчас
Зачем заказывать выполнение своего задания, если оно уже было выполнено много много раз? Его можно просто купить или даже скачать бесплатно на СтудИзбе. Найдите нужный учебный материал у нас!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6374
Авторов
на СтудИзбе
309
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее