Дифференциальные уравнения турбулентного движения сжимаемой жидкости (1124010), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Вертикальная составляющая вихрей для нашего двиягенпя постоянна и будет равна удвоенной угловой скорости вращения. Само собой разумеется, что в условиях атмосферной действительности редко встретится движение, в точности воспроизводящее рассматриваемое данн<ение вращающейся жидкости; конечно, вертикальная составляющая вихря не будет постоянна, а будет меняться в зависимости от координат, как она меняется в проносящемся шторме. Как мы увидим ниже, при динамическом изучении рассматриваемого движения величина горизонтальных вихрей совершает два гармонических колебания с разными периодами около некоторого среднего значе- 148 ДИНАМИЧЕСКАЯ МЕТЕОРОЛОГИЯ И ФИЗИКА АТМОСФЕРЫ ния. Это среднее значение зависит от угловой скорости вращающейся жидкости и от широты места, где мы изучаем наше движение; от этих же параметров зависят и оба периода колебания величины горизонтальных вихрей.
Следует заметить, что колеблющиеся вихри подобного рода представляют, по-видимому, частое явление в атмосфере. Перейдем к рассмотрению вихревых линий; эти линии определяются дифференциальными уравнениями вида йо Чо йо Интегрирование этих уравнений дает нам следуюшие уравнения для вихревой линии: дЬ 2~а+ — — ~а = с, (Ь), до 2~у — — — ~б = со (Ь), да где сг и со — произвольные функции времени ~. Рассматривая на данной высоте горизонтальные вихревые линии, получим семейство прямых, определяемых уравнением о)ох 5оУ = сопз" т.
е. к данному моменту на данной высоте вихревые линии будут параллельными прямыми, наклоненными к меридиану под углом, тангенс которого равен отношению — . Чо Со 1. Переходя от кинематического рассмотрения движения к динамическому его научению, установим прежде всего те силы, которые действуют на частицы жидкости с единичной массой.
Прежде всего мы должны принять во внимание силу тяжести с учетом центробежного ускорения вращения Земли. Подобного рода сила будет действовать по отвесу вниз и по величине она равна ускорению силы тяжести у, исправленному на влияние центробежного ускорения вращения Земли вокруг оси. Обозначая вектор этой силы череа Х и составляющие его по осям координат через К„К„, К„будем иметь К„= О, Ко — Ь' Второй силой, действующей на частицу единичной массы, является отклоняющая сила вращения Земли, проистекающая из ускорения Кориолиса. Эта сила имеет, как известно, не только горизонтальную, но и вертикаль- идея ВРАщАющеися жидкОсти В АтмОсФЖРных дВижениях 149 ную составляющую.
Обозначим вектор этой силы через Ь'1 на основании теоремы Кориолиса мы можем получить выражение для ЕТ в зависимости от скорости Р частицы и от вектора вращения Земли; обозначим этот последний вектор через Ю. Принимая во внимание выбранную нами систему координат, мы можем Ю определить как вектор, направленный к южному почюсу Земли и по величине равный и, где ю — угловая скорость вращения Земли вокруг оси. Обозначая составляющие вектора Ю по выбранным нами координатным осям через юм юю юз и полагая, что рассматриваемое нами движение происходит в северном полушарии, в местности с широтой у, будем иметь следующие равенства: ю1 = — юсов~у, ю, = — ювш~у.
Нетрудно получить аналогичные формулы и для южного полушария. Заметим, что, предполагая в дальнейшем широту постоянной, мы вводим известного рода ограничение, а именно рассматриваем атмосферное явление мало меняющим свою широту. От этого ограничивающего нас предположения следует освободиться, ибо при движении циклона от Исландии к нам широта меняется в весьма существенных пределах. Однако освободиться от укааанного ограничения можно, лишь изучая движение в сферических координатах; это изучение является одной из текущих задач математического бюро Главной физической обсерватории.
На основании теоремы Кориолиса мы можем получить следующее выражение для отклоняющей силы вращения Земли Гг: Уг= — 2[Ю, г[, где символ [Ю, Р! означает векторное произведение векторов Ю и Р . Учитывая, что ю, =- О, и = О„получим следующие выражения для составляющих по координатным осям силы Ь": У,= — 2ю, Р. б'„= — 2юзи, 7У„= 2Юзэ Установив силы, действующие на нашу частицу единичной массы, нашппем уравнения гидромеханики в следующем виде: ЫУ" — = — в дгаб р + Х', а (А) где в и р — удельный объем и давление; й' — сила, действующая на единвцу массы жидкости; эта сила определяется равенством .й'=.К вЂ” 2 [Ю, Р[; 150 динАмическАя метеОРОлогия и ФизикА АтмОсФИРы операция ог/г71 есть обычное сокращенное обозначение следующей операции: и д д д, д — = — — +и- — +Р- — +ю —, Щ дГ дз ду ' дг ' а символы йгаб и 81ч обозначают вектор-градиент скаляра и скаляр, равный расхождению вектора.
2. Как известно, не всякое кияематически мыслимое движение воз- можно динамически, иначе говоря, не при всяком распределении скоро- стей частиц жидкости можно подобрать удельный объем и давление, удовлетворягощие уравнениям гидромеханики (А). Оказывается, что со- ставляющие скорости должны удовлетворять некоторым условиям, назы- ваемым условиями динамической возможности движения. Не останавливаясь на выводе этих условий, что сделано в моей работе, упомянутой выше, а также в моей ааметке, помещенной в Сошруез Вепг)пз в 1916 г., ограничусь лишь их перечислением. Введем два вспомогательные вектора, нужные нам для дальнейшего: дУ" 1 =Х' — - —,- = юягаг) р, дг (8) Н = — го$ Я = [дгаб р, дгаг)го), вектор Я называется ди н а и и ч е с к и м г р а д и е н т о м, вектор Нв т у р б у л и з и р у ю щ им в е к т о р о м.
Если Ы равен нулю, то под действием консервативных сил при движении жидкости обе основных теоремы Гельмгольца имеют место, иначе говоря, вихревые пгнуры не могут ни возникать, ня разрушаться; таким образом„отличие Н' от нуля характеризует степень возникновения кли разрушения вихрей в соответствии с известной теоремой Бьеркнеса *. Очевидно, что Ы обращается в нуль, когда изобарические и изостерические поверхности совпадают, в противном случае Н отлично от нуля; в условиях атмосфернойдействительности Н большей частью отлично от нуля.
Движения сжимаемой жидкости распадаются на два класса. К первому ОтНОСЯтСЯ Дзнжсина, В КОТОРЫХ ВЕЛИЧИНа )А = (Гг, Гу) ОтЛИЧНа От НУЛЯ; зти движения называются нормальными движениями. Ко второму классу относятся движения, у коих р обращается в нуль; такие движения называются п о л у к о н с е р в а т и в н ы м и. Обратимся к нормальным движениям и введем еще несколько вспомогательных векторов: 1Ы, Р)+ 0О а=.— ' * В 1 е г 1г о е з г.
— Мегеого!. Х. 1900, 17, 5. 97, 145. ИДЕЯ ВРАЩАЮЩЕЙСЯ ЖИДКОСТИ В АТМОСФКРНЫХ ДВИЖЕНИЯХ 151 "(= ° =-ф, ~~, 6 =. го1 р+ ~Я (9) здесь 0 означает б1ч г'. Вектора к и р назовем т у р б о и о и е н т о м и п р и в е д е н н ы м г р а д и е н т о м, вектора у и д ввиду близкой связи их с величиной притока энергии — первым н вторым тепловыми в е к т ор а м и. Нормальное движение называется о б щ и м, когда второй тепловой вектор отличен от нуля, и с п е ц и а л ь н ы м, когда он равен нулю; так как в дальнейшем нам понадобится только общее нормальное движение, то ограничимся установлением условий динамической возможности только для атого вида нормальных двия~ений. Введем величину Л, которую назовем с т е р е о с к а л я р о м„при помощи одного нз скалярных уравнений, заключенных в следующем векторном уравненни: (+ Лд = О.
и назовем его с т е р е о в е к т о р о и. Необходимые и достаточные условия динамической возможности общего нормального движения ся1имаемой жидкости заключаются в выполнении следующих требований: 1) динамический градиент должен быть ортогоналеп турбулизнрующему вектору (условие н е з а к р у ч и в а е м о с т и); 2) оба тепловых вектора должны быть параллельны (тепловое условие); 3)частная производнаяпо времени стереовек тора должна быть градиентом стереоскал яра (объемные условия). Эти условия могут быть написаны в виде равенств (и, а) =о, ((,ц =о, —, = дгаб Л. ду д~ (В) (в) (Г) Как мы сейчас увидим, условия динамической возможности для общего нормального движения поаволят нам утверждать, что Л будет одной и той хе величиной, безразлично яз какого скалярного уравнения (10) мы ее будем определять.
Наконец введем при помощи равенства (11) вектор а 152 ДИНАМИЧЕСКАЯ МЕТЕОРОЛОГИЯ И ФИЗИК А АТМОСФЕРЫ Если указанные условия соблюдаются, то удельный объем се и давление р определяются равенствами сэ = соес ахсСхаа дю хзхаЛ Ж (Д) Сх да + Ст сСу + С, сСх + (с) (Е) пРичем еле и Ре(С) — соответственно пРоизвольнаЯ постоЯннаЯ и пРоизвольная функция времени, е — основание неперовых логарифмов, а выражения, стоящие под знаком интегралов, являются полными дифференциалами в силу условий динамической возможности движения сжемаемой жидкости. 3.
Обращаясь к изучению полуконсерватнвных движений, заметим, что они распадаются так же, как и нормальные движения, на два класса; к общим полуконсервативным движениям относятся те движения, для которых вектор [сР, с(Я/й! отличен от нуля; к с п ециалькым полуконсервативным движенеям относятся такие полуконсервативные движения, для которых [1Р, с(С/с(С! обращается в нуль. В дальнейшем нам нужны будут только специальные полуконсервативкые движения, поэтому мы только для этих движений установим условия их динамической возможности. Предположим, что С не обращается в нуль и введем две скалярные величины т и г, определяемые с помощью двух скалярных соотношений, вытекающих из векториальных равенств [Ы, сх! =- Тя, (12) ды — = ЗО. дс Необходимые и достаточные условия динамической возможности специального полуконсервативного движения сжимаемой жидкости заключаются в выполнении следующих равенств: д + [О Огас[ (т + б) ! = 0 дхх где О = с[[у ах.
Коль скоро условия (сс() выполняются, удельный объем се определяется следующим образом. Находим общее решение ссл нормальной (в силу ИДЕЯ ВРАЩАЮЩЕЙСЯ ЖИДКОСТИ В АТМОСФЕРНЫХ ДВИЖЕНИЯХ 15В условий (Ж)) системы линейных уравнений с частными производными первого порядка *: аФ С аФ Р, аФ х +АЗ дх С„дз С, йр дФ Со дФ Ох дФ ду Сз дз С, др дФ ~аФ вЂ” + (ч+ О)— дз дф =О, =О, =О и определяем у = 1В ю из уравнения ФОр, 1, х, у, з) = О. Давление будет определено по формуле (Е), причем выражение, стоящее под знаком интеграла, будет полным дифференциалом в силу условий (Ж).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
