Дифференциальные уравнения турбулентного движения сжимаемой жидкости (1124010), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Если продифференцировать по г обе части уравнений (7) и принять д р во внимание, что согласно третьему и первому уравнекию (7) — „;,— =-- О то после простых вычислений найдем уравнение ро" — +., = О, 2до" ео'з (8) где о"' — производная о третьего порядка по ш В ходе дальнейшего исследования задачи нужно различать два случая: 1) в"'+ О, тогда р, согласно уравнению (8), не зависит от 1, и 2) в"' =- О. " Коэффициент внутренней теплопроводности атмосферного воздуха, как и коэффициект виутреииеготреппя, в тысячу раз бовьпю, челг коэффициент, определепиый в лаборатории. См.
об этом мою статью, цкткровакиую выше. ** См., накриэгер, К ! г с Ь Ь о ! ! 6. рог!еаппдеп бьег МагЬеша1!зсЬе РЬуэйс ТЬеог!е бег 1тагше. !,е!рад, 4, 1894. 11' 4. В настоящих рассуждениях зависимость удельного объема от высоты остается произвольной; это следует иэ того, что не делалось никакого предполоя<ения о характере притока тепла.
Исследуем теперь, каким образом могут измениться результаты предыдущего параграфа, если предположить определенный характер изменения температуры. Рассмотрим случай изменения температуры вследствие теплопроводности. Обозначим через 7г коэффициент внутренней теплопроводности атмосферы воздуха ", тогда 164 динАмическАя ме теогология и ФизикА АтмосФеРы Рассмотрим каждый случай в отдельности. 5. Если в" + О, то, как показывает уравнение (8), р не зависит от г и е = 0; зто значит, что дзТ/дгг = О.
Из уравнения Клапейрона следует, что Т не зависит от времени. Итак, мы имеем (9) где а и Ь вЂ” константы. Принимая во внимание (9), с помощью простых вычислений получим следующие выражения для в и р: р = рь(а+ Ьг) "ь, в = — (а+ Ьг)оь""и'. (10) Ро Из уравнений (9) и (10), которьге решают нашу задачу для данного случая, легко видеть„что вертикальный температурный градиент (который в нашем случае равен — Ь) может иметь любое значение; это значит, иначе говоря, что он может превысить граничное значение.
Однако какое бы положите.гьное значение градиент ни принял, на всей высоте атмосферы такой градиент не может существовать, так как давление и удельный объем положитечьны. Следовательно, формулы (9) и (10) с необходимостью приводят к верхней инверсии, которую аналитически можно рассматривать как следствие процесса подвода теплоты посредством теплопроводности. Исследуем теперь случай в'" = О.
Уравнение (8) дает соотношение 2в"в = в". (11) Так как в" = О, то в = а + Ьг + сгз, где а, Ь, с — константы. Уравнение (11) дает 4 ос =: Ьз. Это означает, что трехчлен а +Ьг + сгз является точным квадратом. Учитывая, что в положительная величина, получаем (12) в =. (а + Ьг)г, где а и Ь вЂ” константы, причем можно принять, что Ь ) О. Случай Ь = 0 простой, позтому исследуем далее только случай Ь ) О. Определим р из второго и третьего уравнений (7), а температуру— из уравнения Клапейрона; получаем, таким образом, гм г Р = Рье +,(„, ь,) тс(с+ Ь ) Р, Т = + — „" (а+ Ьг)'с О ВЕРТИКАЛЬНЫХ ТЕМПЕРАТУРНЫХ ГРАДИЕНТАХ В АТМОСФЕРЕ (З5 Подсчитав вертикальный градиент 7, найдем дт р — ( оо' 7 = — -,- = — тс — 2Ь (а+ Ьг) — е " до Зта формула после простых преобразований приводит к уравнению т, — 7 = 2Ь (а+ Ьг) + (14) Прежде чем исследовать возможность существования вертикальных температурных градиентов, превыша>ощих граничное значение, рассмотрим, как определяются из наблюдений входящие в наши вычисления постоянные величины р„а, Ь.
Для получения этих констант мы предположим, что в начальный момент (( = 0) и на поверхноств Земли (з =-- 0) плотность, удельный объем (илн, что то же, температура) и вертикальный температурный градиент заданы. Тогда при ( = 0 и з =: 0: р = р(о> о> = о>(о> Т = ТЕЗ 7 = 7(о> где р(м и т. д.— величины, полученные из наблюдений, причем по уравнению Кланейрона р(о> ,(о> >>Т(о> С этими данными нетрудно определить а, т — тоз а = о ф ыю>, Ь = а )('(о(о>, 2Т(о> Ь и р из уравнений т(, + т р з(о> т.— т (о> ' а+ Ьз(0. (15) Уравнения (15) показывают, что а должно быть отрицательным, но тогда приведенное неравенство будет иметь место только для критиче- причем о = +.1 и выбирается так, чтобы Ь было положительным, следовательно, а = -!.1, если 7(о> ( 7, и о = — 1, если 7(о> ) 7 . Из уравнений (15) непосредственно следует, что при 0 ( 7('> ( 7, р, будет отрицательным, а при 7(о> ) 7 — положительным. Это значит, что в случае равновесия атмосферы при положительном вертикальном температурном градиенте, который меньше граничного значения, давление со временем падает, а если вертикальный температурный градиент больше граничного значения, то давление со временем возрастает.
Исследуем случай; когда вертикальный температурный градиент нревышает граничное значение. Тогда уравнение (14) (при предположении, что Ь ) 0) приводит к неравенству динАмическАя мвтвОРОлогия и ФизикА АтмосФИРы ской высоты ь. Начиная с этой высоты, градиент 1' будет меньше граничного значения. Эту критическую высоту можно определять уравнением ~ = — а/Ь и выражать через начальные наблюдения метеорологических элементов следующим образом: 2тчю (16) Т вЂ” Ть Итак, чтобы стало возможным появление в атмосфере вертикального температурного градиента, который больше граничного значения, необходимо, чтобы вертикальный температурный градиент иа земной поверхности превышал это граничное значение.
В таком счучае градиент остается болыпе, чем граничное значение, до определенной высоты ~, которая определяется уравнением (16). 11ачиная с этой высоты, вертикальный температурный градиент будет меньше граничного значения. Если 1~Ф больше, чем ть, на 1,0 10 з, то критическая высота ~ достигает 54600 Ае, т. е.
она будет очень большой. 11рактически это означает, что если вертикальный температурный градиент па поверхности Земли больше граничного значения, то он таков же и во всем атмосферном слое. С помощью приведенных в этой работе уравнений нетрудно установить возможность появления инверсии в исследуемом случае, если равновесие в атмосфере установится вследствие притока тепла при тепчопроводности. Пм~раерад, 9922 ОН АТМОСззеБРНЫХ НИХРЯХ И О АЭ'РЬУЛБНТНОСТИ ВБТРА 'з Как известно, исследование так называемой структуры ветра показывает, что скорость и направление ветра колеблются около некоторых средних величин, причем периоды и амплитуды этих колебаний могут аначительно отличаться друг от друга.
Это характерное для структуры ветра явление известно под названием турбулентности ветра. Если рассмотреть кривые пульсаций ветра, то само собой напрашивается предиоложение,что турбулентность возникает благодаря вихревым нитям, которые пронизывают атмосферу во всех направлениях. Если это объяснение верно, то возникает возможность определять интенсивность, форму и скорость поступательного движения вихревых нитей, движущихся выше или ниже места набтюдения, па основании наблюдений турбулентности ветра на поверхности Земли или на произвольной высоте п свободной атмосфере.
Итак, наблюдения турбулентности ветра могут доставить нам весьма ценный материал для заключения о величине и характере атмо- ОБ АТМОСФЕРНЫХ ВИХРЯХ И О ТУРБУЛЕНТНОСТИ ВЕТРА 1б7 сферных вихревых нитей, столь важных для всех атмосферных явлений и столь мало исследованных.
Наблюдаемая периодичность турбулентности ветра наводит на мысль, что распределение вихревых нитей не может быть беспорядочным, наоборот, через равные периоды времени в определенном месте наблюдения должна быть одинаковая конфигурация вихревых нйтей. С другой стороны, вертикальная компонента вихря значительно меньше, чем горизонтальные компоненты его, так что можно ограничиться рассмотрением вихрей с горизонтальной осью.
Рпс. Итак, мы пришли к проблеме исследования некоторой системы беско нечко болыпого числа горизонтальных параллельных вихревых нитей, которые обладают определенной периодичностью. Такие системы мы будем называть «периодическими системамив вихревых нитей. Периодическую систему вихрей можно определить следующим образом. Выберем некоторую конфигурацию и параллельных вихревых нитей и назовем эту совокупность о с н о в н о й к о н ф и г у р а ц и е й. Затем сдвинем зту основную конфигурацию в направлении, перпендикулярном вихревым нитям на отрезки г', 2(, Зг...; полученную таким образом бесконечную систему вихревых нитей мы и назовем периодической системой, а число 1 — модулем этой системы вихрей (рис.
1). Периодические системы вихрей можно разделить на две категории. К первой категории относятся те системы, которые в силу взаимного влияния вихрей движутся как жесткая система точек; ко второй категории — все остальные системы вихрей. Назовем систему вихрей первой категории жесткой системой. Нетрудно показать, что движение жестких систем может быть только поступательным и что скорость их вращения равна нулю. Ясно, что, проходя над местом наблюдения, жесткая периодическая система вихрей обусловливает периодически изменяющуюся турбулентность ветра, В настоящей заметке мы рассмотрим вопрос о турбулентности ветра, вызываемой жесткой периодической системой вихрей, которая ранее рассматривалась Карманом (Катаган) в. * К а г пг а и Т, ц.
И ц Ь а с Ь. 7)Ьвг двп МвсЬап$вшцв бвв Ицыгзйвгвв цпд Ьцйв ийвгвгапйвв. — РЬув. Х, 1912, 3. 4Я. (зе ДИНАМИЧЕСКАЯ МЕТЕОРОЛОГИЯ И ФИЗИКА АТМОСФЕРЫ 1. Так как рассматриваемые нами прямолинейные бесконечно тонкие вихревые нити параллельны, то можно (пересекая их перпендикулярной плоскостью) рассматривать вызванное этими вихрями движение как плоское. Обозначив декартову систему прямоугольных координат в атой плосиости через х и у, можно свести задачу движения к следующей задаче: установить зависимости между комплексными переменными г = х + (у и ш = оу + (ф, где ор — потенциал скорости и ф — функция тока.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
