Дифференциальные уравнения турбулентного движения сжимаемой жидкости (1124010), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Начальные условия, которым удовлетворяет и, будут У;=О при х.—. О, Так как аР +О, то ФИГ есть голоморфная функция относительно своих переменных, позтому согласно теореме Ро)псаге, и есть ф у н к ц и я о т р, г о л о м о р ф н а я в б л и з и р = 0; само собой разумеется, что при выводе указанного положения нужно принять во внимание голоморфность о РАспРеделении темпеРАтугы с Высотои 139 вблизи р=О функций П>(р) и 6>о(р). Подробное нале>кение указанного доказательства помещено в вышеупомянутой заметке, напечатанной в Геофиаическом сборнике. Доказав, что и есть голоморфная функция р, тем самым мы доказали, что и, а также р н Т вЂ” голоморфные функции р; согласно формуле (5) и з будет голоморфной функцией р вблизи р = О.
Таким образом, все наши искомые функции разлагаются в сходящиеся ряды, расположенные по степеням р; ряды эти будут сходиться для малых р (т. е. при слабых вертикальных токах) и вблизи земной поверхности (требование малости х). Произведем указанное разложение в ряды. Положим, что ряды для и, р, Т будут иметь следующий вид: и =- ио+ иар+ коро+ Р = Ро + Р>[о+ Рор + ° Р) Т =- То+ Т>р+ Тор'+ . ". Для определения и„мы получим уравнение — "," — + Рие = а„х + 6„— >[>е (х) (и = 1, 2,...), где 8ао Ро и =-а Р= — — ао о= > а Н4 Оуо (Х) ЕСТЬ ИЗВЕСтНаЯ ФУНКЦИЯ От Х И От РаНЕЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ Р„им и„..., и„>, а„и 6„— постоянные, определяемые формулами а =- Ъ+ Рчо — О[>о (О), 6„= ~.— р„(О), причем Зо и т[о — коэффициенты рааложения в ряды по степеням р функций рс> ([А) = $ р + 1 р'+ >>о(' (р) = ЧФ+" о+ . Ч = О. Последовательное определение и„из уравнений (8) может быть сделано при помощи условий и„= О при х = О (и = 1, 2, ...) по формуле и, = е-о*~еоо [а„х+ 6„+ >[>„(х)[о[х.
(40 динАмическАя метеоРОлогия и ФизикА АтмОсФБРы Определив таким обрааом е„мы можем для Т„и р, написать следующие формулы: ро — Ррв — зз ро = о — и„ ро = ио-а (о = 3, 4~...)~ Н "" и ""-' Н Х "в""-'"'+ И и"-* в=о (п =- О, 1, 2,...). При помощи формулы (2) найдем х з = )в ') иЫЕ; о полагая з = хо+ згр+ звр'+.
получим з„= ~ и„, гЬ, о зо = О, п = 1, 2, ег Т ра + ргм и + зы о+ з!Рва — 29зв~! ) — е Рв е и н з 'нз а а + — )* ора ) где а (ЙТв+ З) от= р > !ПТ + (ЫГв+з)(руге+ зз) ) в)о — — ( за + р Численные результаты приложения этих соображений к конкретным случаям распределения температуры в атмосфере будут нами сообщены дополнительно. Метеле, бюро Главной фигах.
обсерватории Июиь г990 г. Ограничиваясь в разложении Т по степеням р вторыми степенями, а в разложении з по степеням р первыми степенями параметра, будем иметь следующее выражение Т в зависимости непосредственно от з: Ов АтыосФГРных ВихРях с ВГРтикАльнОЙ и ГОРизонтАльнОЙ Осью 141 ОБ АТИОСсаэЕРНЫХ ВИХРЯХ С ВЕРТИКАРАЬНОИ И РОРИВОНТАЛЬНОИ ОСЬЮ "» Ряд соображений е показывает, что величина горизонтальной составляющей вихрей в атмосфере значительно больше их вертикальной составляющей.
Представляется небесполезным указать, что к такому же результату приводит рассмотрение уравнений гидродинамики, управляющих движениями атмосферы. На движение атмосферной частицы влияют, как лзвестно, следующие четыре обстоятельства: 1) сила тяжести, обладающая консервативным характером; 2) приток энергии, сказывающейся в действии на частицу относительного давления; 3) кажущиеся силы, обусловленные вращением Земли; 4) диссипатикные силы внутреннего трения в атмосфере, а также и силы трения двух различных атмосферных слоев друг о друга нли о земную поверхность и т.
п. Обозначая через Р" вектор скорости атмосферной частицы, через Х,— вектор силы тяжести, действующей на единицу массы частицы, через ю и р — удельный объем и давление в данной частице к моменту 1, через Х; †вект отклоняющей силы вращения Земли и через Хэ — равнодействующую всех диссипативных сил, будем иметь следующее векторное уравнение движения атмосферной частицы: дг' — =- — <одгад р+ Р, + Ус+Ус.
сл Для выяснения изменения величины вихря рассматривают иаменения напряжения Х вихревой трубки; зто напряжение, равное для бесконечно тонкой вихревой трубки проивведению величины вихря на площадь сечения нормального к оси трубки, во всех случаях равняется циркуляции скорости С по замкнутому контуру, проведенному на поверхности трубки (как бы сжимающему трубку).
Согласно теореме В. Томсона и Вьеркнеса производная циркуляции скорости по времени равняется циркуляции ускорения Ц, которая согласно формуле (1) распадается на четыре части: 1) циркуляция Це вектора ю ягад р; 2) циркуляция Ц, силы тяжести Р„З) циркуляция Ц, отклоняющей силы Земли и 4) циркуляция Ц, диссипативных сил. Так как сила тяжести — консервативная сила, то Ц, = О при любом замкнутом контуре.
Остаются, таким образом, только три слагаемых цирку- е В 1 е т 'к и е е У. Вупаш1эсве Мессою!ок1е, Вд. 2. ВгаппэсЬтсе16, 1912, а также см. мою статью «Об атмосферных внхряхэ.— Геофизический сборйнк, 1916, 3 (резюме этой статьи см. на стр. 369 настоящей книги). 142 динАмичкскАя мктвОРОлогия и ФизикА АтмосФИРы ляции. Если вихрь пересекает к некоторому моменту времени изобарическую поверхность, то, взяв за контур, стягивающий вихревую трубку, линию пересечения трубки с нзобарической поверхностью, будем иметь Х1о =~ю(а с(х+ ау+ а Л~вар=О, 1 до ди, ди ( дх ду де ибо р = сопзс на всем контуре; таким образом, с того момента, каь вихре- вая трубка пересекла изобарическую поверхность, будем иметь — =- Пв+ 4з, дС (2) т. е.
в развитии изменения циркуляции скорости или напряжения вихревой трубки, что то же самое, будет играть роль лишь отклоняющая сила вращения Земли и диссипативные сильь Если пренебречь действием этих сил, то мы нашли бы, что дС -ар = 0„ иначе говоря, к о л ь с к о р о в и х р е в а я т р у б к а п е р е с ечет изобарическую поверхность, напряжение ее пе ре с т а не т из ме н я т ь с я н, следовательно, не может возникнуть вихревой трубки, пересекающей изобарическую поверхность. Возникать могут лишь вихревые трубки, параллельные изобарнческим поверхностям; только такие трубки могут увеличивать свое напряжение, т. е. могут развиваться. Принимая же во внимание, что изобарические поверхности расположены почти горизонтально, мы будем иметь в о з м о жность возникновения и развития горизонтальных вихрей н невозможность появления вертикальных вихрей.
Наличие отклоняющей силы Земли и диссипативных сил смягчает укааанный выше процесс, позволяя возникать и развиваться вихрям с вертикальной осью и иногда усиливая или ослабляя развитие вихрей с горизонтальной осью. Приведенные элементарные и совершенно суммарные соображения позволяют, как нам кажется, понять причину, почему вертикальные составляющие вихрей значительно меньше горизонтальных составляющих атмосферных вихрей.
Метем. бюро Гяаеиой фиеич. обсерватории 20 декабря 1020 в. идея ВРАщающенся жидкОсти В АтмОсФеРных дВижениях 146 ИДЕЯ ВРАЩАЮЩЕЙСЯ ЖИДКОСТИ В А'а'ИагСгЬЕРНЫХ ДВИЗКЕНИЯХ>е Ряд работ английских метеорологов и гидродинамиков *, появившихся в последнее время, изучает атмосферные движения не с точки зрения стационарных явлений, а с точки зрения явлений, изменяющихся с течением времени. Подобная динамическая точна зрения представляется для синоптика единственно радиональной, ибо случаи не меняющихся с точением времени атмосферных движений встречаются чрезвычайно редко в обычной синоптической практике; вот почему взгляды английских метеорологов и гидродинамиков имеют безусловное преимущество перед старыми работами ОИ1г)Ьеге'а и МоЬЕ'а, ОЬегг)есЬ'а, МагсЬ> и других, рассматривавшими циклоны и антициклоны как явления стационарные.
Основная идея упомянутых английских работ заключается в установлении особой винематической формы для атмосферных движений и использовании уравнений гидромеханики в целях получения указаний относительно распределения давления, отвечающего заданному кияематическому двиягению. Эта совершенно правильная в основе своей идея стеснена, однако, в упомянутых работах рядом дополнительных предположений, лежащих не в существе рассматриваемого вопроса, а введенных исключительно в целях упрощения вычислений. Так, например, в работе Шоу вводится предположение о том, что изобары в рассматриваемом им случае совпадают с линиями тона; подобное предположение в свою очередь требует выполнения так называемых геострофических соотношений ее.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
