Дифференциальные уравнения турбулентного движения сжимаемой жидкости (1124010), страница 19
Текст из файла (страница 19)
е* Для вывода этой формулы мы должны были предположить м + О; при м = О все наши рассуждения непрвмепвмы. 8 А. А. Фрзгмаи динАмическАя мгтеОРОлогс!н и Фпзпкх АтмООФеры 114 Здесь величины 7, ь, т1, а, (3 имеют следующие значения: 7 = — (адяабатячоский градиент) Ад — х =- — =- 4,4 х злт ' С еосс — Ю Ч= хрт. С дТ дТ дТС с ( —.+и — "рр — ) — Асс "1 дс дх дус С д1пст д1псс д1псс дс дх ду 1 ! дх дх дх ~ — с — +и — -+г д (дС ' дх дуС' ( др , др др ~ — -+ СС.
-1- у — ) дс дх ' ду )' и значит др др — = — = О. дх ду Кроме того, в силу стационарности движения др дТ дсз дв О. дс дС дС дС Принимая во внимание все эти обстоятельства, перепишем формулу (3) в следующем значительно упрощенном виде: 7= 7а хссс СС Тхр где т1 =-- — = а значения остальных параметров те же, Хртх Сртх Р что и в предыдущем пункте. Все наши дальнейшие рассуждения будут касаться исследования формулы (4), т. е.
зависимости 7 от сд при постоянных параметрах р и Т. Из дифференциальных уравнений нашей задачи следует, что мы можем задавать любые значения ис, Т, р для значения г = гю При этих, так сказать, начальных (правильнее, граничных) условиях проинтегрируем дифференциальные уравнения, в которые в силу стационарности и прочих В настоящей статье мы не будем разбирать общую формулу (3), а применим ее к задаче, указанной в ~ ~2.
2. В этом случае мы имеем стационарное движение, в котором отсутствусот горизонтальные течения; таким образом, в этом случае будем иметь о Ве1'тнкАльных ткчениях В АтмосФкре ограничительных условий будет входить лишь одна независимая переменная г. Подставляя Т, р, лг в формулу (4), получим выражение вертикального температурного градиента на высоте г = зов зависимости от этих граничных условий. Таким образом, в конце концов дальней!пее исследование формулы (4) сведется в известной мере к изучению зависимости интеграла дифференциальных уравнений от постоянных интегрирования *. Практически, следовательно, формула (4) позволяет связать значение температурного градиента с давлением, температурой, вертикальной скоростью и притоком энергии на данной высоте в атмосфере.
3. Выясним величины коэффициентов при различных степенях в формуле (4). Величина 9 чрезвычайно мала. В табл. 1 приведены значения !", для температур от 253 до 293' К; в этой же таблице помещены значения 1Д и лг =- 1/)Г~, которые будут нам нужны в дальнейтпем. Таблица 7 — ю-' 1 н, 322 , 0,96 329 ! 0,92 335 0,89 341 ', О,86 З46 О,ЗЗ 253 1,04 26З ' 1,О8 273 ! 1,12 283 ~ 1,16 293 1,20 Как видно из атой таблицы, величина ь весьма мало меняется в практически важном интервале изменений.
При грубых оценках формул можно считать ~ = 10 за*. Таблица 2 Есозеегганент енугреннего трения воздухе о р =100 мм рт. сое. ~ р --ОО м.н рос его р == 10 мм рне. снн ~ =10-'( е=-1О™ ( с=10™ )с=!0-' с —..!О™ ) с=10 " !с=!О ', е=!О-а / е=-10™ 31 4 10-з! 253 3,14!3,14е 1О-з '3,14.10-0 6 23 6 23.10-1 Г>,2 273 3,40~3,40 10 з,'3,40.10 0,6,79 6,79.10 з)6,7 293 3 64 3 64.10 з,:3 64 10-0 7 08 7 08 10-0!7 ' е Заметим,что только что вриведеккое соображение иоиримеиимо к формуле (3), '" Вообще, как мы увидим иил!е, все кажи величины в интервале темвератур, встречающихся в атмосфере, очень мало мевяются с измеиеиием температуры. 110 динАмическАИ метеОРОИОгия и ФизикА АтмОсФеРы В табл. 2 даны значения т) для тех же температур, для давлений, равных 100, 50, 10 (т. е. для давлений от 750 до 75 этм ртл. ст.), и для различных еа.
Значениях) весьма слабо зависят от Т (в патнем интервале); для е„ = 10 "— 10 " они порядка 10св — 10 '. Третий коэффициент, входящий в пакту формулу, равен тт)1(Т и, как легко заметить, вовсе не зависит от с; он более чем в 70 000 раз меньше т), н, как мы увидим в следующем параграфе, для нашего интервала вертикальных скоростей можно пренебречь членом с первой степенью ю в числителе формулы (4). Вследствие этого ниже приведены значения а = т)/)тТ лишь для е = 10 э, 10 ", 10 'т и для р = 100. , . .
. . . 10- 10см 10 'т а =туКТ.....4,25.10 ' 4,25 10-' 4,25.10см 4. Приложим формулу (4) к случаю адиабатических движений; атом случае ео = 0 и формула (4) перепишется таким образом: Та 1 агтаа (э) Наиболее просто изучить зависимость 7 от ит, построив соответственаый график и отложив по оси абсцисс ит, а по оси ординат 7.
Полученная кривая (рис. 1) имеет две аснмптоты, параллельные оси 7: и одну асимптоту — ось ит. Наличие вертикальных течений (вниз или вверх) требует, чтобы градиент был б ол ьш е а д и а б а т и ч е с к о г о, однако ввиду весьма малой величины 4 самое небольшое отклонение градиента от адиабатического вызывает непомерно большие вертикальные течения. Для того чтобы ит было не больше десяти, необходимо, чтобы (при ь =10') 7 отличал ос ь о т 7 меньше, чем на одну тысячную адиа б а т и ч е с к о г о г р а д и е н т а. Отсюда можно непосредственно заключить, что при отсутствии притока энергии температурный вертикальный градиент должен быть или весьма близок к адиабатическому (практически совпадать с адиабатическим) или вертикальных течений не будет.
Так как на самом деле и вертикальные течения ватмосфере имеют место и вертикальный температурный градиент значительно отличен от адиабатического, то само собой разумеется, что представ- * Первый чертеж дает только нредставленне о ходе навтэв кривой. Осужествнть жа чертеже формулу (5) невозможно но ттшографскнм причинам. О ВЕРТИКАЛЬНЫХ ТЕЧЕНИЯХ В АТМОСФЕРЕ ление об отсутствии в атмосфере притока энергии не может быть правильным даже и в первом приблингении. Со времени классических работ Негз'а, Везо1д'а и других * принималась во внимание скрытая теплота Рвс. 1 парообразования и ожижения воды, до сего времени, однако, влияние иных источников энергии в атмосфере не изучалось. В одной из следующих работ я разберу влияние притока тепла путем теплопроводностн на вертикальные течения и температурный градиент.
1. Переходя к исследованию формулы (4) в общем случае, когда имеет место приток энергии, упростим прежде всего нашу формулу. Для этого заметим, что член в числителе правой части формулы (4), содержащий первую степень скорости иг, даже при скорости в 15 м/сее, т. е. в самом неблагоприятном случае, не превышает '/,% от того члена числителя, который содержит иг в степени — Г; в нормальных случаях этот член не достигает и одной тысячной указанной величины, поэтому в целях упрощения дальнейшего рассуждения исключим этот член из рассмотрения н перепишем формулу (4) в более простом виде: 1 — ~ Т= Та1 (б) а Н е г с ГГ. ВгарЬгж!ге Ме1Ьсде гцг Вез11юпгцпз дег ад1аЪаГГзсЬеп Ецзгапдзапдегцп8еп ГецсЬгез ГцГ1,— Мегеого1.
Е., 1884. В за о!д. Ецг ТЬегпгодупаюГЬ дег АсшсзрЬаге, 1906. Х ее ЬОГГ. Ад1аьа1!зсЬе Есзгапдзапдегцпбеп ГецсЬюз ЬпГ1, 1900. П8 ДИНАМИЧЕСКАЯ МЕТЕОРОЛОГИЯ И ФИЗИКА АТМОСФЕРЫ (ч(( — -, ! )г~ ' иначе говоря, скорость игг, равнаяЧ, лежит в интервале ( — нгь, нгь), где нгь = 1/ф' т, как мы уже указывали. По причинам, которые будут выяснены ниже, скорость нгг = ч может быть названа и н в е р с и о н н о й, а скоростьшь = 1/)/ь была уже нами названа и ре д е л ь н о й с к о р о с т ь ю **.
2. Для построения кривой, выражаемой формулой (6), при тех дополнительных условиях, кои были выяснены в конце предыдущего пункта, изучим производную т по мс Ет г(ги юз (! — Ьгсз)~ где г(г(ш) - — 2г",гвз — ЗЧЬшз + Ч; ч'( ) — 4ь ( — Ч) аамечая, что и что гг ( — нгь) — — — — = (1 + Ч )/ь) ( О, 2 Ж ф(0) = ч)0, У(Ч) =- Ч(1 — ~Чз)) О, р( .) — — '(1 — ч (/р~)О, )г~ * Все наши рассуждения можно было бы применить и к формуле (4), нричем в рассматриваемой нами области значений и обе формулы дают аочти одинаковые результаты. Исследования формулы (4) мы здесь приводгтть нв будем (см. 1 8). "з ТаКИМ ОбраЗОМ, В даявиеагвви МЫ будЕМ раССМатрИВатъ ЛИШЬ ЗНаЧЕНИя З,, удовлетворяющие неравенству ~ ч(( (й ьО изучением формулы (6) мы и займемся в настоящем параграфе з.
При исследовании формулы (6) заметим, что ь есть величина положительная и, как мы видели, очень малая, что же касается Ч, то она может быть как положительной, так и отрицательной, смотря по тому, получаем лн мы энергию или теряем ее (вз ) 0 или з, ) 0). Мы можем, однако, Ограничиться рассмотрением случая Ч ) О, так как в случае Ч = — Ч с. 0 кривая, выражаемая уравнением (6), очевидно, получится отражением в оси ординат (оси т) кривой для ч = — ч' ) О.
Кроме того, рассмотрение табл. 1 и 2 дает нам возможность установить такое неравенство: о Вегтиклчьных течвниях в Атмосвегв без труда найдем, что уравнение ф(и~) = 0 имеет только один вещественный корень и этот корень лежит в интервале ( — и~с, 0). Мы обозначим его через ж; он отвечает минимуму т, и при и == им величину т будем обозначать т„,. Условимся ю называть к р и т и ч е с к о й в е р т и к а л ь н о й скоростью, т — критическим вертикальным температурным градиентом. Так как при ш = ио = т~, Т = О, и~ =- + вь и и~ =- 0 в асимптоты кривой, выражаемой формулой (6),параллельные оси ординат, а т = 0 есть асимптота,параллельная оси абсцисс, то,принявво внимание только что приведенное исследование Ыу/йв, без труда построим кривую, выражающую т в зависимости от и при т( ) 0 (рис.
2). Кривая для и ( 0 изображена ка рис.' 3*. Рве. 3 Ряс. 2 Нетрудно установить, что значение градиента т, (адиабатический градиент) лежит в интервале (О, т ) и чтосуществуеттолько однавертикальная скорость ю„отвечающая этому градиенту; она определяется выражением ч а (у) Величина в, стремится к нулю, коль скоро ц стремится к нулю; ее значения для разных Т и т) приведены в табл.
3. Как видно ив этой таблицы, внизу при обычном притоке энергии ща порядка 1 — 4 м/сея, наверху — порядка 4 — 8 м/сев. 3. Рассмотрение построенных нами кривых дает возможность разделить всю область значений вертикальных температурных градиентов на три части. " Оба втк чертежа являются только схемами, в ввх Ч и Ь имеют величины, ке встречающиеся ка практике.
120 ДИНАМИЧЕСКАЯ МЕТЕОРОЛОГИЯ И ЮИЗИКА АТМОСФЕРЫ Первая — и н в е р с и о н н а я часть этой области заключает в себе градиенты 7 в интервале ( — Оо, О). Здесь градиенты отрицательны, поэтому имеет место инверсия, т. е. повышение температуры с высотой. Таблиза 3 1е- ~ ю- ю- ~ ао- ! ю-" ( ю-" ) ~о-а т=г73 к, 1а = 100 15 7,1 5,6 11„2 ЗЗ; 15 О7О 26 12 056 52 ( 24 ~ ои 70 56 112 зз 26 52 ~ ааааа ~ а и 12 24 т =273'К, р=10 24 3,3 1,2 2,4 152 121 242 70 56 112 зз 26 52 7,1 2,6 5.2 1,5 0,56 0,11 ма !ю ! Каждому градиенту инверсионной области соответствуют три вертикальных скорости: две из них леиаат вне интервала ( — ыь+и~ь) и, следовательно, не удовлетворяют нашим условиям, а третья лелаит в интервале (О, ко) и, следовательно, удовлетворяет условиям задачи, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
