Дифференциальные уравнения турбулентного движения сжимаемой жидкости (1124010), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Как нетрудно видеть, условие неэакручиваемости, выражающееся равенством будет иметь место как для нормального, так и для полуконсервативного движения. С изучения этого условия обычно и начинают при рассмотрении движений сжимаемой жидкости. 1. Приступая к динамическому изучению нашего движения, определяемому формулами (1), рассмотрим сначала случай, когда ветер не меняется с высотой, т. е.
когда а и Ь не зависят от г. Вводя для краткости обозначение ф = ь (ь + 2юз), мы можем условия незакручиваемости (равенство (Б)) для нашего случая написать следующим образом: 2юзь)(2юз д + аз) — т" (У вЂ” Ь)( =О. Из этого равенства следует, что условие незакручиваемости может выполняться лишь в одном иэ следующих случаев: * Мы вредполагавм, что С ф О; аналогично можно было бы рассмотреть случай С„+ О изи С„+ О. ДИНАМИЧЕСКАЯ МЕТЕОРОЛОГИЯ И ФИЗИКА АТМОСФЕРЫ 1) ь = О, вращение отсутствует; 2) и, = О, движение совершается на полюсе; 3) ~ + 2ю, = О.
Первые два случая для нас мало интересны, и мы не будем их рассматривать, хотя разбор их никаких трудностей не представляет. Третий случай имеет место, когда ~ = — 2ю,; ~ в этом случае — величина положительная; мы назовем этот случай г е о а н т и ц и к л о н о и. Он тоже представляет мало интереса, так как величина угловой скорости вращения является определенной, связанной с широтой, постоянной. Более подробное исследование этого случая показывает, что он имеет место прн прямолинейных стационарных изобарах с очень слабым барометрическим градиентом; вращающийся столб жидкости перемещается по некоторой траектории, описывая петли при своем движении.
Этот сЛучай интересен, по;калуй, лишь тем, что показывает передвижение вихря (вращающегося столба воздуха) при полной стационарности карты нзобар, т. е. карта изобар не может дать никаких указаний относительно перемещения вихря, а так как разрушительные действия связаны как раз с перемещением вихря, то само собой разумеется, что, используя лишь карту изобар и не пользуясь ветром, будет совершенно невозможно предвидоть, в каком месте пройдет разрушающий вихрь.
Это обстоятельство можно было бы не учитывать, если бы оно имело место только в геоантнциклоне, т е. при весьма исключительных условиях и при исключительно малом градиенте. Мы увидим, однако, далее, что аналогичные обстоятельства встречаются и в более обычных для атмосферы условиях. Невозможность предвидеть на основании карты пзобар перемещение вихря служит лишним указанием на необходимость улучшить производство метеорологических наблюдений над ветром и использовать более интенсивно эти наблюдения в синоптической практике. Предположение неизменяемости ветра с высотой привело нас к трем малоинтересным случаям.
Изучая в дальнейшем общий случай, когда ветер с высотой меняется, мы ради краткости будем предполагать, что угловая скорость вращения ~ отлична от путя, что движение происходит не на полюсе (ю, + 0) и что мы имеем дело не с геоантициклоном (ь+2юа+ + 0). 2. Обратимся к изучению общего случая движения, определяемого формулами (1). Вычисляя динамический градиент и турбулизирующнй вектор, получим следующие формулы: дЬ д'а 2юа с а д$ дР да д'Ь С = (у — Ь)$ — 2ю— У ад8 дй идея ВРАщАющейся ясидкости В АтмосФВРных дВижениях 155 ЬЬ Сг = — д — (х — а) 2юД вЂ” 2юс— дс дЬ дза дзЬ Н„= — зр — — 2юз --: —— дз г дздз дыдз да дзЬ дза Н = — 2юД+ф — — 2юз — + У дг з дздз дядз Н, =.
О. Используя условия незакручиваелшсти, найдем, что (14) дЬ д'а — фа+ 2Ю, — — д з — — — 2ЮДЗ+ ЧС (С), да дзд — з(сд — 2ю — — —, = сс (с), з дс дсз з (15) где аз и ссз — произвольные функции времени С. Обращаясь к случаю общего нормального движения, будем иметь Л= О, а=О, откуда, пользуясь равенством (Д), найдем ы = езз = сопзз. Таким образом, в рассматриваемом нами случае удельный объем или, что то же самое, плотность является величиной пас т о я н н о й. Такой результат противоречит факту увеличения удельного объема с высотой; зто значит, что полученное нами движение не может хорошо Таким образом, в рассматриваемом двизкении турбулкзирующий вектор обращается в нуль, иначе говоря, изостерические и изобарические поверхности совпадасот; зто, очевидно, равносильно совпадению изотермических и изобарических поверхностей.
Конечно, подобное обстоятельство значительно обесценивает рассматриваемое движение, ибо, как показывают ежедневные синоптические карты, совпадение изотерм и изобар редко имеет место. Однако, с другой стороны, в атмосферной действительности мы часто встречаемся со случаем пересечения иаобарических и изотермпческих поверхностей под весьма острым углом, что соответствует весьма малой величине турбулизирующего вектора Н' и поаволяет результаты изучения рассматриваемого нами движения считать приблизительно правильными и для условий атмосферной действительности.
Интегрирование условий (14) дает иам следующие два равенства: 156 ДИНАМИЧЕСКАЯ МЕТЕОРОЛОГИЯ И ФИЗИКА АТМОСФЕРЫ выражать действительного явления, если высота вращасощегося столба воздуха значительна, иначе говоря, когда слой инверсии, в которую упирается наш столб, расположен (это часто имеет место в весенних инверсиях) высоко над землей. Наоборот, при незначительной высоте вращающегося столба воздуха (например, при зимней пивко над землей расположенной инверсии) условие постоянства плотности будет не слишком нарушено в условиях атмосферной действительности.
Итак, разбираемый нами случай может иметь место, когда слой инверсии расположен невысоко над земной поверхностью. 3. Перейдем к определению изобар, отвечающих разбираемому нами случаю. Определяя давление р по формуле (Е), найдем соор = — [х + 2 ( о ос(с) — 2юДа о дс(с) 2 '( х+ у'+ 2 — у— — 2 — э — — 7.
(г, С)) + ФоРо(С), ((6) д 2 т где 7 (э' с) = 2ю' ~ ~ а ьа) с(э Из формулы (тб) видно, что сечение изобарической поверхности горизонтальной плоскостью на высоте э даст семейство изобар (или, что в нашем случае то же самое, иэотерм), являющихся концентрическими кругами с центром в точке с координатами хо, уо, го, определяемыми равенствами 2Ю11о — тс (с) хо = д,(с) Уо = —— ((7) эо = э.
Эту точку можно назвать, по аналогии с соответствующим термином Шоу, д и н а м и ч е с к и м ц е н т р о м. Геометрическое место динамических центров для разных высот можно назвать д и н а м и ч е с к о й о с ь ю д в и ж е н и я. Как показывает формула (с7), динамический центр не совпадает, вообще говоря, ни с кинематическим центром, ни с центром вращения.
Динамическая ось является прямой ливией, расположенной в плоскости меридиана и наклоненной к вертикали под углом, тангенс которого равен величине 2юс/(~ + 2ю,) и, следовательно, зависит как от угловой скорости вращения, так и от широты места. Формулы (17) показывают, что динамический центр движется, причем составлЯющие по осЯм кооРдинат скоРости его пеРемещениЯ с)„, Ую Д, идеЯ ВРАщАющеися жидкОсти В АтмОсФеРных дВижениях 157 определяются формулами д.= — — о,(1), 'о„= — — д,(1), д,=о. 1 1 ч ' " ф (18) Из уравнений (15) нетрудно обычными приемами определить о и Ь.
Производя вычисления, получим равенства а = — — ' — г + а (1) + Аз (г) сов рз1+ Вз (г) в1п р,1 + в+ 2юз + А, (г) сов рзг + В, (г) в1п рзг, Ь =- 9 (1) + В, (г) сов р,1 — А, (г) в1 и р,г— (19) — в1яп»)»(В,(г) соврз1 — Аз(г)в1прзг) где А„Аз, В„Вз — произвольные функции г; рз и рз определяются равенствами Рз = Ф ф + 2юз+ У (зР + 2юз)' — фз = )» ф + юг+ ~ юз ~, », = 1 з».
24 — »»»з». 2,1 — з' = (1 з». ЯРичем (юз~ означает абсолютное значение юз, а в19пзР означает +1 пли — 1, смотря по тому ф ) О или ф ( О. Функции а(1) и (3(1), входящие в формулу (19), определяются кан частные решения уравнений — фа+ 2ю4 — а= Ч (1), — зрр — 2юза — ф =- дз(1), гдеа и а означают первую и вторую производные по времени от функции а(1). Формула (19) покааывает, что центр вращении в своем передвижении связан с перемещением динамического центра.
В самом деле, введем точку с координатами аз» Ьз, сз: »зз г + а (1)» 2юз ь+2юз (29) Ь, =- Р (1), со = г и назовем ее вторичным центром вращения. Движение вторичного центра вращения на любой высоте обусловлено перемещениями динамического центра; в то же время в т о р и ч н а я о с ь в р ащ е н и я (геометрическое место вторичных центров вращения для равных высот) будет прямой, параллельной динамической оси. 158 динАмическАИ метеОРОИОгия и ФизикА АтмОсФегы Движение центра вращения, как видно из формулы (19), распадается иа два: движение вторичного центра вращения, зависящее от перемещения динамического центра, и движение центра вращения около вторичного центра вращения, разное для разных высот, но к е з а в и с я щ е е от перемещения динамического центра.
Это второе движение можно описать так: вокруг вторичного центра вращения движется по кругу с угловой скоростью р, некоторая точка, центр вращения (первичный) движется около атой точки также по кругу с угловой скоростью )гг, 'получается движение, аналогичное зпициклам древних астрономов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
