Дифференциальные уравнения турбулентного движения сжимаемой жидкости (1124010), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Обозначив дальше компоненты скорости по осям координат в точке (х, у) через и и Р, получим уравнение Рассмотрим сначала движение жидкости с одной бесконечно тонкой вихревой нитью интенсивности Х в точке го = х, + )уо. Это движение характеризуется, как известно, следуюв(ей зависимостью между и и г: г ю = —.)п (г — го), 2я» откуда легко получаются известные формулы для и и ш х — хо 2Я (х — хо)о+ (У вЂ” Уо)о 2я (х — хо)о + (у — уо)о ' 2. В цитированной выше статье Карман рассматривал две жесткие периодические системы вихрей. Первая система состоит из двух бесконечных вихревых цепей, расстояние между которыми равно 2Ь и вихри расположены так, что под каждым вихрем первой цепи находится вихрь второй цепи, причем интенсивности вихрей обеих цепей равны по величине и противоположны по знаку (см.
рис. 1). Такую систему вихрей мы назовем «попарным упорядочением». Вторая система вихрей состоит точно так же из двух бесконечных, расстояние между которыми равно 2й,и вихри расположены так, что против середины расстояния между двумя вихрями первой цепи находится вихрь второй, причем интенсивности обеих вихревых цепей равны по величине и противоположны по знаку (рис. 2). Такую систему вихрей называют системой с «шахматным расположением». Предположим, что ось х лежит посредине между вихревыми цепями, которые показаны на рис.
1 и 2. Ось у мы выберем позднев так, чтобы она прошла через пункт наблюдения. Затем положим, что текущая точна г = го соответствует тому вихрю верхней цепи, который в начальный момент находился на оси у, т. в. был как раз над местом наблюдения. Ов Атмосферных ВихРях и О туРБулентнОсти ВетРА 499 Легко видеть, что движение для попарного расположения вихрей пред- ставляется уравнением я в!п 21 (в — вс) 1 1С= — „. )П 2и1 '1 в1п ~~ (в — те+ 2А1) где 1 — интенсивность каждого отдельного вихря первой цепи.
Аналогично найдем уравнение для шахматного расположения я 1 в1п ~~ (в — вс) вл = —. )П 2П1 11 в1п 2 (с — ве — )+2Ь1) гию В т) =- (тк — Щ, = 11П1( — — —.— '1 Ы~ 2ж' (4) Вычислив, найдем, что каждый отдельный вихрь как при попарном, так и при шахматном расположении дви1кется с постоянной скоростью е е положительном или отрицательном направлении оси х. Итак, как по- парное, так и шахматное расположение является жесткой системой вихрей, которая движется вдоль оси х со скоростью д.
Эта скорость определяется для понарного расположения формулой 1 ИЛ В' д = — со()1— 41 (5) * соФ, Ф, в)1, сЬ вЂ” гиперболические котапгекс, тактекс, синус и косинус. Теория поступательного движения особых точек плоских потоков жидкости позволяет определить для наших случаев попарного или я1ахматного расположения вихрей проекции их скорости поступательного движения на оси координат. Эти проекции д„дс в точке в, выражаются формулой ао ДИНАМИЧЕСКАЯ МЕТЕОРОЛОГИЯ И ФИЗИКА АТМОСФЕРЫ а для шахматного расположения 1 яь д =- — сй— 41 (6) Из исследований Кармана следует, что с точки зрения теории малых колебаний попарное расположение неустойчиво и что шахматное распояь ложение вихрей может быть устойчивым только нри условии сй — = 'г' 2 г из которого получается равенство — = 0,283, — 1 (8) ЗО=Ф+И.
Пусть у — ордината точки, где наблюдается турбулентность ветра; абсцисса ее (согласно предположению) равна нулю„поэтому для пункта наблюдения з = у~. Предположим далее, что ось х направлена горизонтально; в случае попарного расположения получим тогда следующее уравнение для горизонтальной и вертикальной компонент скорости ветра в пункте наблюдения: Ню . 1 ~ я я — =-- и — (и = †.
)Согд — [ю (у — Ь) — ф) — со$8 — (с(у + Ь) — ф](, (9) лг Ап а для случая шахматного расположения -= —,~~согд — (Е(у — Ь) — ф) — сосд — (((у+ Ь) — ф — ~! ~. (10) Е Г я 4н ((' 21 21 Исходя из некоторых соображений, мы в дальнейшем будем исследовать как попарные, так и шахматные расположения, не обращая особенного внимания на их устойчивость. Само собой разумеется, что по истечении более или менее короткого промежутка времени неустойчивые системы вихрей разрушаются и появляются турбулентности ветра; вследствие этого нарушается их строго периодический характер. В конце этой заметки мы исследуом случай устойчивого расположения вихрей (по Карману).
При этом мы покажем, что все характеристические элементы такой системы вихрей можно определить по данным наблюдений. 3. Так как ось х проходит на равном расстоянии от обеих цепей и так как вихри перемещаются вдоль оси х со скоростшо о, то получаем для г, выражение ОБ АтмОсФеРных ВихРях и О туРБулентности ВетРА 171 С помощью легко устанавливаемого соотношения в(п 2а вЬ 2Ь со(Р (а + /Ь)— сЬ 2Ь,— сов 2а сЬ 2Ь вЂ” сов 2а получим следующие формулы для скорости ветра в пункте наблюдения: 1) для попарного расположения вихрей и= с/ вЬ а ЗЬЕ ~сЬа — совт сЬР— совт/ в)п т в1п т и —. с~ (сЬа — сост сЬД вЂ” вовс /' 2) для шахматного расположения вЬа вЬ3 и= с~ — — — — — — -' — — ) ( сЬ а ( сов т сЬ Р вЂ”:сов т / (12) в!пт в(п т ~ сЬ а+ сов т сЬ Д вЂ” совт / где / с= —, 4/ я (у+ Ь) л (у — Ь) В следующих параграфах мы попытаемся определить из формул (11) и (12) характер колебаний ветра и одновременно покажем, как по данным наблюдений над турбулентностью ветра можно было бы определить положение и свойства системы вихрей, которые вызывают эту турбулентность.
1. Легко видеть, что величина а всегда больше, чем р. Знаки величин а и (1 характеризуют расположение системы вихрей относительно пункта наблюдения. Именно, если а и () имеют различные знаки (а — положительный, р — отрицательный), то пункт наблюдения находится между двумя цепями, образующими системы вихрей. Если а и ~) оба положительны, то система вихрей находится под наблюдательным пунктом.
И, наконец, если а и р оба отрицательны, то система вихрей находится над пунктом наблюдения. При исследовании изменения скорости во времени мы ограничимся исследованием горизонтальной компоненты ветра. Как следует из формул (11) и (12), зта компонента периодически изменяется со временем; ее период Т определяется уравнением (13) >72 ДИНАМИЧЕСКАЯ МЕТЕОРОЛОГИЯ И ФИЗИКА АТМОСФЕРЫ Переходя к детальному исследованию изменчивости ветра, обратимся сначала к попарному расположению и рассмотрим функцию вЬа вЬР сЬа — * сЬ — в' сьа — в Ч/вЬа сЬЗ вЂ” в в' вЬ>> Если х лежит вне интервала ( — 1, +1), то 21 точно так же равно 7( — 1) — 1(+1); наконец, если х лежит внутри интервала ( — 1, +1), то 21 = 1(х>) — 1(+1).
Из выра>кения 1( — 1) — 1(+1) = 21 легко находим 'яь сЬв — — — сЬ -)- — сЬ' — = О в ау > яу , лА (14) и аналогично яз 21 = 1(хд) — 7(+1) находим (ав+ 2аМ+ (>вЮв) (Ов — 1) = (Ю вЂ” сЬ вЂ” ) ( >в — сЬв — ), (15) где а = 2ЗЬ' — — сЬв — + 21 ЗЬ вЂ” СЬ— вм" в я" яА яь яь яь Ь = сЬ вЂ” — 21' вЬ вЂ”.
Я = сЬ ю, причем, очевидно, достаточно исследовать изменение этой функции при х, изменяющейся от — 1 до +1. Из этого исследования 1(х) и формул (>>) и (12) нетрудно заключить, что зависимость между и и > не может быть представлена ни кривой, которая имеет внутри периода одын максимум и один минимум, ни кривой, которая имеет два максимума и два.
минимума. Ввиду недостатка места мы затрудняемся представить подробно ввд зависимости между и и 2. 2. Для дальнейшего существенно знать колебание функции 1(х) в интервале ( — 1, +1), т. е. равность между наибольшим и наименьшим значением 1(х) в этом интервале. Если а и (> имеют различные знаки (т. е. если наблюдательный пункт расположен между цепями, образующими систему вихрей), то 21 = = 1( — 1) — 1(+1). В случае, если и и р одинакового знака, нужно принимать во внимание наличие максимума или минимума функции 1(х) в интервале от — 1 до +1.
Этот максимум или минимум определяется по общим правилам (приравнивая нулю производную 1(х)), и тогда х, (значение х, при котором 1(х) достигает максимума или минимума) должно удовлетворять уравнению ОБ АтмОсФБРных ВихРях и О туРБулентнОсти ВетРА 175 3. После этих предварительных вычислений мы можем перейти к вопросу о том, как из данных наблюдения можно определить расположение и характер системы вихрей, которые обусловливают турбулентность ветра Наблюдения обычно дают нам три величины: 1) скорость поступатель ного движения вихревых нитей о; 2) периоды колебаний ветра Т и 3) ам нлитуду колебаний ветра А.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
