Дифференциальные уравнения турбулентного движения сжимаемой жидкости (1124010), страница 33
Текст из файла (страница 33)
В своих исследованиях Бьеркнес использовал теорему Томсона и понятие циркуляции скорости. Весьма естественной кажется идея дать непосредственное обобщение теорем Гельмгольца для случая сжимаемой жидкости, возможно меньше отклоняясь при этом от метода Бьеркнеса. Обобщая соответствующим образом идеи Гельмгольца, мы придем к следующей задаче: найти условия, которым должно удовлетворять поле скоростей сжимаемой жидкости, для того чтобы можно было найти удельный объем и давление как функции времени и к о о р д и н а т, у д о в л е т в о р я ю щ и е д и н а м ич е с к о й группе уравнений гидромеханики. Эти условия будут необходимыми условиями, наложенными на поле скоростей при любом притоке тепла.
Будем называть их у с л о в и я и и динамической возможности движения сжимаемой жидкости. Если поле скоростей удовлетворяет приведенным нюне условиям динамической возможности движения сжимаемой жидкости, то всегда можно найти некоторое распределение давления, удельного объема, температуры и притока тепла, которое допускает движение сжимаемой «кидкости с заданным полем скоростей. Если, однако, приток тепла задан заранее в виде известной функции кинематических и динамических элементов, то условий динамической возможности движения недостаточно для решения задачи (хотя они и остаются необходимыми условиями).
Нужно будет добавить к ним дополнительные условия, которые можно назвать у с л о- * Н э ! п> Ь о ! ! а Н. НеЬэг !п>еяга!е г)ег Ну>)гп>)упа>п!асЬеп С3е>сЬпп8эп >та!сЬе >(еп Ъ>>!>Ьэ!Ьеп>е8ппдеп эп>эрп>сЬеп. Сге!!е !., 1858, Зз. ткогия дВижения с>кимаемой жндкости 187 виями термодинамической возможности движения сжимаемой жидкости. Ксли поле скоростей удовлетворяет условиям динамической возможности движения, то давление и удельный объем определяются либо квадратурами, либо интегрированием системы линейных дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка, В следующем параграфе нашей работы будут установлены условия динамической возможности движения сжимаемой жидкости. Мы ограничимся исследованием случая идеальной жидкости, иными словами, мы предположим, что в формуле !А) вектор Ф равен нулю*.
1. Перед тем как перейти к выводу условий динамической возможности движения сжимаемой жидкости, приведем некоторые краткие обозначения и некоторые правила векторного анализа и, кроме того, в общих чертах коснемся вопроса о роли фундаментальных теорем Гельмгольца в теории движения несжимаемой жидкости. Известно, что вихревые линии в несжимаемой жидкости подчиняются двум теоремам Гельмгольца; первая из них утверждает, что частицы жидкости, которые в заданный момент находятся на вихревой линии, всегда останутся на вихревой линии, вторая, — что интенсивность вихревой трубки не изменяется со временем.
Следовательно, кинематически эти два свойства независимы. Иначе говоря, кинематически можно представить движения, которые подчиняготся первой теореме Гельмгольца и не подчиняются второй и наоборот. Заметим, что в каждом поле векторов можно образовать векторные линии и векторные трубки. Условие, необходимое и достаточное для того, чтобы к вектору А можно было применить обе теоремы Гельмгольца, выражается равенством — + тес[А, гг) -!- ггй!чА = О. Р) Не будем останавливаться на доказательстве етого предположения, так как в дальнейшем оно не будет иметь значения и упомянуто только с целью ввести новую краткую векторную символику "е.
е Один из сотрудииков Главной физической обсерватории в Петрог!жде Б, Извеков изучил и разрешил задачу пахождепия условий динамической возможности движеции вязкой сжимаемой жидкости, когда Ф отлично от пуля, Статья Извекова з06 условиях возможиости движеиия вязкой и сжимаемой жидкостиэ опубликована в Математическом оборкина, т. 32, 1924. е* 2 о г а тт з !г ! К. СеЬег В>Ьайццд цег >т!гье!Ьетгепппд.— Вцй.
Асаб. вс!. Стасов!е, 1900; г г ! е д ш а п А. Вцг 1а с!пеша!!9це бе !оцгГпйоп.— Вцй. Асей. зс!. Стасов!е, 1922. 188 динамичвская мвтвогология н физика атмосэвгы Обозначим через Ье!ш Л* левую часть равенства (5). Этот символ обладает следующим свойством (которое легко проверяется): го1 — = 1те1ш го1Г.
дГ д1 (6) Изучение кинематики вихревых линий в случае, когда ие призон<яма либо одна, либо обе теоремы Гельмгольца, обнаруживает фундаментальное значение символа пе1ш Л в проблеме изменения вихревых нитей и интенсивности вихревых трубок. Равенство (6) позволяет при помощи условий динамической возможности движения несжимаемой жидкости под действием консервативных сил получить сразу обе фундаментальные теоремы Гельмгольца.
В самом деле, для несжимаемой жидкости уравнения (А) принимают вид — = — ю дгайр+ Х', ог е1 й1чР =О, (7) 1 Г, о'Г"т атей р = — ~Х' —,— ) ач Ф Для определения р необходимо, чтобы го1 вектора, который фигурирует в правой части етого равенства, был равен нулю. Применяя к обеим частям.
равенства операцию го1 и замечая, что юе = сопз1 и го1 Х = О (так как Х' — консервативная сила), будем иметь го1 — = Ье1ш го1 Т' = О. сУ' 11 (8) Полученные уравнения — зто хорошо известные уравнения Гельмгольца. Добавляя к ним последнее уравнение (7), а именно условие несжимаемости, мы получим уравнения, которые и составляют условия динамической возмоягности движения несжимаемой жидкости. ал а Этот' символ) есть це что иное каи цроивводиая — введенная Лореццои в д1 ° его исследовациях цо териодицаиике движущихся сред. См. А Ь г а Ь а т аяя Р о р Р 1.
ТЬеог1е дег К1ессг!х11ас, 1, гл. 2, 1912. где юе — некоторая постоянная, характеризующая рассматриваемувт жидкость. Для того чтобы получить условия динамической возможности движения неся<имаемой жидкости, нужно выяснить смысл ограничений, налагаемых на скорости, тем, что давление р должно удовлетворять трем первым уравнениям (7). Разрешая зти уравнения относительно зтай р, получим теОРия движения сжимаемои жидкости 189 Следовательно, уравнения (8) выражают обе теоремы Гельмгольца для несжимаемой жидкости. 2.
Перейдем теперь к выводу условий динамической возможности движения сжимаемой игидкости. Определим сначала те налагаемые на кинематические элементы и удельный объем условия, при которых возможно найти давление р, удовлетворяющее уравнениям (А). Очевидно, для того чтобы получить эти условия, необходимо с помощью подходящего дифференцирования исключить р иэ уравнений (А). Таким образом получим ряд уравнений, которые связывают удельный объем н кинематические элементы. Исключив затем удельный объем из полученных уравнений, установим условия, которым должны удовлетворять кинематические элементы, для того чтобы можно было определить удельный объем, а затем давление, удовлетворяющие уравнениям (А).
Полученные таким образом равенства и будут, очевидно, условиями динамической возможности движения сжимаемой жидкости. Введем два вспомогательных вектора: г = Х вЂ” —,— = со рад р, ам (9) Л = — гоь О =- (дгайр, угады]. Назовем первый вектор по аналогии с метеорологией д и н а м и ч ес к им г р а дне н т о и, а второй, принимая во внимание его роль в образовании вихрей, турбулизирующим вектором. Простой подсчет дает Л = ( атад р, бган ю] = — Ье1ш гоз р — гос Х'.
Необходимое и достаточное условие, для того чтобы для заданного движения выполнялись обе теоремы Гельмгольца, состоит в том, что турбулнзирующий вектор должен равняться нулю, иначе говоря, в каждый момент изобарические и изотермические поверхности совпадают; аналитически это условие выражается равенством р =~(ю, 1), где предполагается, что силы Х' — консервативные. Полученное соотношение между давлением и удельным объемом характеризует, как мы только что это видели, баротропическое движение жидкости. При отсутствии этого соотношения, т.
е. при турбулизирующем векторе, отличном от нуля, движение жидкости называется б а р о к л ин и ч е с к и и. Для того чтобы выполнялась вторая теорема Гельмгольца о сохранении интенсивности вихревой трубки, необходимо чтобы движение было баротропическим, как это доказано известной теоремой Бьеркнеса. Зильберштейн и Зоравский также обращали внимание на то, что и $90 динАмичвскАя меткОРОлогия и ФизикА АтмосФИРы для первой теоремы Гельмгольца турбулизирующий вектор имеет существенное значение. Из уравнения (9) имеем огай р == — .
Я (11) Для того чтобы можно было найти давление р, удовлетворяющее этому соотношению, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие гоб — = О, О Ф это уравнение можно переписать в виде [гг, огай ~у) =- О, где Ч> =- [по>. Таким образом, для того чтобы с помощью уравнения (А) определить давление р и удельный объем е>, необходимо и достаточно, чтобы е> н 9> удовлстворялн следующим условиям: [ьг, ягай~р) = Н в а> — ~, =й[чР. Если уравнения (С) выполняются, то р определяется соотношением (11) с точностью до произвольной адднтивной функпии времени.
Мы получаем первое необходимое условие динамической возможности движения сжимаемой жидкости непосредственно из уравнений (С) на основании хорошо известного свойств» сколярного произведения; зто условие может быть записано следующим обравом: (а, Н) =О,' (а) Условие (а) показывает, что градиент должен быть ортогонален турбулизирующему вектору; иными словами, градиент должен быть вектором, ортогональным своему вихрю. Жуковский назвал такие векторы незакручивающимися.
В дальнейшем мы будем кратко называть условие (а) условием н е з а к р у ч и в а е м о с т и, 3. Дальнейшее исследование условий динамической возможности движения сжимаемой жидкости приводит к разделению этих условий на две группы. К первой относятся движения, при которых динамический градиент не ортогонален вектору скорости, ко второй — все остальные движения. Назовем движения первой группы н о р м а л ь н ы и и. Очевид- теОРия движения сжимаемой]жидкости 1в1 но, что лдя них величина ]> = (С, Н) = ю ~ — — — ! /дР дг> '~ и д>! (12) отлична от нуля.
Движения второй группы обладают тем свойством, чтодля них ('Г, О>) равно нулю. Следовательно, работа сил давления прн таком действительном перемещении равна нулю. Назовем эти движения п о л у к о н с е рв а т и в н ы и н. Легко видеть, что уравнения (С) можно переписать следующим образом: (13) [тт, ата>] >р! =-ХХ -"Д+(т, дгабр) =- О, дс> «+Ь д> =атей р, (14) где [и. г]+еа ]> Ь= — —. (16) Удобно дать специальные названия векторам а и Ь; назовем вектор а турбомоментом, а вектор Ь вЂ” приведенным гр а дне н т о м. Покажем сначала, что уравнения (13) следуют из уравнений (14).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
