Дифференциальные уравнения турбулентного движения сжимаемой жидкости (1124010), страница 32
Текст из файла (страница 32)
е. ось Ох совместится с осью Оу при повороте ее на прямой угол по часовой стрелке, если смотреть на плоскость ЕОу с конца оси Оз), то вектор т будет направлен из центра Земли к южному полюсу и его длина равна угловой скорости вращения Земли. В настоящей статье мы сосредоточим наше внимание главным образом на атмосферных движениях. Если, однако, применить указанные здесь методы к вопросам космогонии, то нужно .добавить к перечисленным силам консервативную силу взаимного притяжения частиц жидкости. которая возникает между ними согласно закону Ньютона. Условимся обозначать вектором Х' результирующую сил первого класса, отнесенную к единице массы и приложенную к данной частице.
Силы второго класса — это силы, отнесенные к единице объема и 182 динАмическАя метеоролОгия и ФизикА АтмосФИРы выраженные с помощью заданных функций через кинематические и динамические элементы движения. К этой категории сил относятся внутренние силы, которые действуют во всей сжимаемой жидкости и вызываются неравномерным распределением давления; назовем их градиентом давления. Обозначив эту силу, отнесенную к единице объема, через сх, имеем сс = — бгас) р, С др ду ' др ~х = др Ос = — —, ° дг Во многих вопросах движения сжимаемой жидкости кроме этой силы вводят в рассмотрение еще с и л у в я з к о с т и. Выражение этой силы, отнесенной к единице объема, зависит, как известно, только от кинематических элементов х. Будем обозначать через Ф отнесенную к единице объема силу, выражение которой зависит только от скоростей и нх производных по координатам. Резюмируя все сказанное о силах, действующих на частицу жцдкости, и принимая во внимание уравнение неразрывности, запишем первые четыре уравнения гидромеханики сжимаемой жидкости в виде хà — = — ю огай р + У' + «сФ, ж и 1по а)т ш (А) в этих уравнениях символ с)сссС означает, как обычно, д д д д — +и — +Р— +и —, дс дх ду дс х 1.
а ш Ь Н. Нудсос1упапс1сэ, Сапсьссйбе, гл, Х1. Назовем уравнения (А) динамической группой уравнений гидромеханики. 3. Все величины, которые в классической гидромеханике определяют движение жидкости, сводятся к четырем, а именно: к трем компонентам скорости Г и к давлению, так как удельный объем (или плотность) — известная функция давления (нли как частный случай постоянная), а температура благодаря уравнению состояния есть также известная функция плотности. Таким образом, в классической гидромеханике четырех уравнений динамической группы достаточно для решения задачи движения жидкости при начальных условиях и некоторых ограничениях, наложенных на составляющие скорости и давление.
В гидромеханнке сжимаемой жидкости к четырем величинам, определяющим движение жидкости в классической гидромеханике, добавляется твогия движвння сжимавмоп жидкости пятая величина а, а именно: удельный объем или плотность, и, таким образом, для определения движения жидкости по заданным начальным условиям и ограничениям четырех уравнений динамической группы становится недостаточно. Нужно прибегнуть к термодинамике — к уравнению притока тепла. И так как в этом уравнении фигурирует температура частицы жидкости, то необходимо добавить еще и уравнение состояния, которое связывает давление, удельный объем и температуру. Обозначая череа е количество тепла, получаемое данной частицей в единицу времени, отнесенное к единице объема, вводя для удельной теплоемкости при постоянном объеме обычное обозначение с„а* и обозначая через А термический эквивалент работы, будем иметь следующие равенства,называемыеуравнением притока тепла и уравнением состояния гГТ оы юе =с„— — +Аз — ~ тп ш' ~(р,ю, Т)=0.
(В) Назовем эти два уравнения т е р м о д и н а м и ч е с к о й группой уравнений гидромеханнки. Величина е, которая фигурирует в уравнениях (В), должна быть задана либо как известная функция времени и координат; либо в виде некоторого соотношения между е и кинематическими и динамическими элементами. Легко вцдеть, что допущения классической гидромеханики сводятся в сущности к тому, что приток тепла задают в виде некоторой функции кинематических и динамических элементов при условии, что уравнения состояния заданы. В самом деле, предположим, что мы имеем дело с движением жидкости, для которого удельный объем задан как функция давления; такие движения называются б а р о т р о п и ч еск ими*'*.
Очевидно, что в этом случае температура будет определяться с помощью уравнения состояния как некоторая функция давления и, следовательно, с„будет также известной функцией давления. Запишем эти три функции следующим образом ю =гр,(р), Т =<рт(р), с, = ~ра(р). т 1Пестагг величина — температура, вследствие уравнения состояаия, выражается как фуикцпя давления п плотпости.
*" с„— иавестпая функция давления, удельного объема и температуры. *** А р р а! Р. Тга11е 4е Месап1цпе Вайопе11е, 1. Рапз, 1879. В ) е г Ь и з е г'. Оп 1Ье Вупащ1ся о1 ьйе о1гсп1аг чогтех ч11Ь аррйсаИопз 1о 1Ье атгоозрЬеге апд агщозрЬег1с чогтех ап4 тгаче щопопз.— Сео1уз. рпЫ., 1921, ч. П 184 динАмическАИ метеоголОгия и ФизикА АтмосФИРы Используя эти обозначения, перепишем первое уравнение (В) в следующем виде: та (Р) %а (Р) + АР'Р~ (Р) др в = Ф> (Р) иначе говоря, мы получим е в виде некоторой функции динамических и кинематнческих элементов, олределениых уравнениями (А) динамической группы.
Часто вводится предположение об аднабатнчностн движения, заключающееся в том, что частицы жидкости не получают н не теряют тепла; это значит, что в = О. Итак, предположение об аднабатнчности движения есть частный случай более общего предположения о притоке тепла как известной функции времени и координат*. Если рассматривать приток тепла как процесс, обусловленный теплопроводностыо, то для с получается следующее классическое выра>кение: >д>т д>Р дт в= /с~ —,+- —, + — —,-) (, дха два дя> 7 ' где )с — коэффициент внутренней теплопроводностн *х.
В атмосферных движениях приток тепла обусловливается главным образом тепловым излучением Земли и Солнца, а также теплом, полученным нли потерянным при переходе воды, содержащейся в атмосфере, иа одного состояния в другое (нз одной фазы в другую). Для случаев притока тепла, вызванного этими двумя причинами, достаточно хорошее выражение в еще не найдено.
Во всех случаях а"а в будет чрезвычайно сложным образом зависеть от кинематических н динамических элементов движения, и практическое его использование чрезвычайно затруднено. В случае атмосферных движений термодинамическая группа уравнений гидромеханнки значительно упрощается. Смесь газов, составляющих атмосферу, может с очень большим приближением рассматриваться как смесь идеальных газов; для идеальных газов"**' удельная теплоемкость с„, как известно, постоянна и уравнение состояния превращается в уравнение Клапейрона: Ра> = ЛТ, (4) е 1е11гевв П. В.
Оц Рог!од!с А!шоврЬенс сцггея!а.— РЫ!оя. Май., 19!7. ** Р о ц г1 е г. Вцг !е шоцчес>ец! де 1а сЬа!ецг г(аця 1еа 1!цЫея. Оецтгеа, !. П. Раня, р. 595. )() е ц ш а ц ц . Вег!сЬ!е цьег гйе ЧегЬац41цяйеп д. Кдо. Яасья!сЬ. Севе)!всЬа!! )!(г1вв. Ье)ра!я, 1894, р. 1. ааа 8 с Ь >та г во Ь > 1 4 К. Пьег дая 61е>сЬ8еийсЬ! бег 8оцоеца!шоярЬйге.— Со!!!цйег )>)асЬ., 1906. Еш>)ео В. Паяйцяе!а, 1911, а также ряд работ НцщрЬгеув, ПО!4, Ешц е а и автора настоящей статьи; сн.
также Н ц ш р Ь г е у я Гт'. !. РЬув)ся о1 !Ье А1г. РЫ!адс1РЫа, Ггацй)!я 1вя!., Х1, 1920. ее*а Присутствие паров воды а атмосфереобяаыаает внести некоторыепонравкн. ТЕОРИЯ ДВИЖЕНИЯ СЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ 185 где Л вЂ” газовая постоянная. В настоящей статье мы будем пользоваться только термодинамической группой уравнений гидромеханнки, но там, где мы их используем, будем считать, что сжимаемая жидкость является идеальным газом и, следовательно, уравнением состояния является уравнение (4).
Легко видеть, что уравнения динамической и термодинамической групп позволяют определить движение сжимаемой жидкости по начальным краевым условиям, задав только некоторый приток тепла ". В самом деле, уравнения (А) и (В) позволяют определить др дс ' 'дг дс дп д дс ' дсп дт и дс дс' ~ Си. замечательно всвое язлсжевве задачи предсказании погодм в очерке Бьеркяеса: В 1 е г Ь и е з Ч. !1!е Ма!сосо!ой!е а1з Ехассе !т!ззепзсЬа!П ВгаппгсЬсге!8, 1904. **.'11 8 с Ь а г д з с и Ь.
%еа!Ьег Ргед!смоп Ьу ппшвг!са1 ргосеш. СашЬп48е, !922. как функции величин и, Р, ш, ш, Т и их производных п о к о о р д и н ат а м. Ясно, что, зная величины в начальный момент С = С, как функции координат, мы найдем ди/дг, дг/дС и т. д. в тот же начальный момент Таким же образом, дифференцируя последовательно по с выражения ди/дС, дг/дС и т. д., мы получим для начального момента все производные по времени величин и, Р, ш, р, ш, Т.
Иначе говоря, мы сможем получить ДлЯ кажДого момента вРемени после Сэ РЯДЫ ТэйлоРа Дла и, Р, ш, ш и Т, расположенные по степеням с — сш В общей теории дифференциальных уравнений доказывается сходимость этих рядов при достаточно малых зиачениях абсолютных величин с — сш Таким образом, уравнения (А) и (В) позволяют, зная начальные условия, решить задачу определения величин, характеризующих движение сжимаемой жидкости. На языке динамической метеорологии это означает, что уравнения (А) и (В) позволяют предвидеть погоду'*.
4. Такое изучение атмосферных двиясений практически совершенно невозможно по многим причинам, например: 1) невозможность определить е; 2)отсутствие надежных методов измерения вертикальной составляющей скорости ветра. С другой стороны, теоретическое изучение атмосферных движений (намеченное в общих чертах в п. 3 настоящего параграфа) также встречает огромные трудности, состоящие в том, что мы не знаем, как выражается е через кинематнческие и динамические элементы в случае, когда приток тепла обусловлен тепловым излучением Земли и Солнца. Следовательно, чрезвычайно желательно и з у ч е н и е з а к онов, которым подчиняются движения сжимаемой жидкости и приложения их ко всем видам прит о к а т е п л а в к о н к р е т н ы х ж и д к о с т я х. Иными словами, детальное изучение динамической группы уравнений гидромеханики пред- 188 ДИНАМИЧЕСКАЯ МЕТЕОРОЛОГИЯ И ФИЗИКА АТМОСФЕРЫ ставляется очень полезным. Путь исследования в случае классической гидромеханики намечен Гельмгольцем, а в случае гидромеханики сжимаемой жидкости — Бьеркнесом.
Гельмгольц» получил свои две фундаментальные теоремы о сохранении вихрей в идеальной несжимаемой (не вязкой) жидкости с помощью уравнений, найденных им же (уравнения Гельмгольца). Эти теоремы налагают некоторые ограничения на поле скоростей. Благодаря этим ограничениям движение с заданным полем скоростей становится возможным. Уравнение Гельмгольца для несжимаемой жидкости получается исключением давления р из уравнений динамической группы. Эти уравнения представляют собой условия, которым должно удовлетворять поле скоростей несжимаемой жидкости для того, чтобы можно было найти поле давления в движущейся несжиыаемой жидкости, если задано поле скоростей. В указанных выше работах Бьеркнес доказал,что в общем случае движения сжимаемой жидкости нужно изменить формулировку теории Гельмгольца о сохранении вихрей.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
