Дифференциальные уравнения турбулентного движения сжимаемой жидкости (1124010), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Условия ди- намической возмоясности общего полуконсервативного движения прини- мают более сложную форму; их можно записать следующим образом: [с(уг, с )= О, йтас] (т + 8) = — ' + п — -+ — (г, д [На] дН д, дс (сс, С) ' дс дс го[ ',„— — иН + [ягас[и, ( ] = О, [Н, О] (С, С] ткогия движкния сжимАимой жидкости 197 Если поле скоростей удовлетворяет условиям (д), удельный объем определяется интегрированием нормальной системы трех линейных однородных уравнений в частных производных первого порядка. Так как О отлично от нуля, то по крайней мере одна составляющая вектора тт отлична от нуля; предположим С, + 0 (зто, конечно, не ограничивает общности рассуждений), тогда систему уравнений в частных производных можно записать следующим образом: ае а„ ае О„ ае — — — — -1- —" — = О, дх С да С д<р дФ Ст дФ Нх дФ вЂ” — — — — "--- — = 0 (30) ди С да С д~р аЕ +(т+О) д'В О где ~р определяется из уравнения Ф(<р,г,х,у, з) =О.
а Ф вЂ” решение системы (30). Легко видеть, что можно найти два линейно независимых решения атой системы в виде Ф, =~р — ~т(8,х,у, г), Фз = ~з (1, х, у, з). Таким образом, ~р будет определяться равенством ~р = 1, (1, х, у, г) + Ч' [~а (1, х, у, з) 1, (31) где Ч" — произвольная функция своего аргумента. Отсюда следует, что в выражение удельного объема будет входить произвольная функция; очевидно, что давление будет определяться по второй формуле (й).
Единственное условие динамической возможности движения без градиента представляет собой равенство О=О. —, + и — + и- — +ю — = О, дф дф дф ди д~ дх ду да (32) что касается давления р, то оно не будет зависеть от х, у, з и представляет собой произвольную функцию времени. Если имеет место это равенство, то ~р = 1п Ф определяется условием неразрывности, а именно: из ДИНАМИЧЕСКАЯ МЕТЕОРОЛОГИЯ И ФИЗИКА АТМОСФЕРЫ 6.
В заключение этого параграфа сделаем два замечания. Определяя давление и удельный объем по заданному полю скоростей динамически воаможного движения сжимаемой жидкости, мы видели, что выражения этих величин содержат произвольные постоянные и произвольные функции различных аргументов. Эти постоянные и функции не могут быть определены через кинематические элементы, для их определения нужно обратиться к экспериментальным данным. В модели циклона или антициклона, исследуемой ниже, мы определяем эти неизвестные элементы задачи с помощью аэрологических наблюдений, произведенных в некотором месте района, охваченного циклоном илн антициклоном. Второе замечание относится к термодинамическим условиям возможности движения сжимаемой жидкости, в частности, когда нет никакого притока тепла (адиабатическое движение). К условиям, исследуемым выше, добавляется в этом случае еще ряд равенств. Совершенно естественно, что нужно задать вопрос, воаможноли адиабатическое набаротропическое движение; иными словами, могут лн возникать вихри при отсутствии притока тепла извне? Вопрос будет решен, если найдется динамически и термодинамически возмо>кное движение, при котором турбулизирующий вектор ХХ не равен нулю.
Решить этот вопрос методами, рассмотренными в настоящей работе, очень трудно. Однако если использовать уравнения гидромеханики не в форме Эйлера, а в форме Лагран>ка, то можно ответить утвердительно на этот вопрос и доказать возможность возникновения вихрей и без притока тепла извне. За недостатком места мы не останавливаемсябольше на этих соображениях * . В настоящем параграфе мы рассмотрим два примера применения условий динамической возможности движения сжимаемой жидкости, установленных в предыдущем параграфе, к исследованию частных возможных случаев движения сжимаемой жидкости, которые могут служить в динамической метеорологии моделями той илн иной картины распределения давлений.
В первом из этих примеров изобары представляют собой параллельные прямые, во втором исследована модель стационарного циклона или антициклона. Мы вернемся к детальному изучению этого стационарного циклона или антициклона в следующем параграфе. Первый пример мы разберем достаточно подробно, чтобы показать применение условий динамиче- е Прим.
рад. геасбиаии. сборника Этот вопрос решен положительно Н. Кочннын в его статье евое> е>цец УцВ йет айаьаСе!сЬец Ве>еедоцд».— Е. РЬуз., 1923, Вб. 17. тиогия движвния сжимлкмой жидкости 199 ской возможности движения сжимаемой жидкости к атому частному случаю. Условимся, что в дальнейшем ось Оз будет направлена из ааданной точки на поверхности Земли вортикально вверх. Будем считать также земную поверхность плоской, т.
е. рассматривать движения только малой протяженности. При сделанных предположениях проекции силы, составленной из силы тяжести и силы отклонения, вызываемой вращением земного шара (силы Кориолиса), на оси координат будут выражаться равенствами Р, = 2т,и — 2т,э — д. г'„=- 2т,и — 2тзи, Ха = 2т,г — 2т,ю, Зги выражения компонент Х мы и будем рассматривать в дальнейшем, изучая движение сжимаемой жидкости. При изучении движений сжимаемой жидкости необходимо задать сначала некоторый кинематический вид этого движения; иначе говоря, задать на основании тех или иных допущений более или менее общее соотношение между компонентами скорости жидкости Р, временем и координатами. Зто соотношение должно содержать произвольные функции одного или нескольких аргументов, а эти произвольные функции должны быть точно определены при помощи условий динамической возможности движения сжимаемой жидкости.
Произвол в выборе функций значительно ограничивается этим определением, а оставшаяся неопределенность почти всегда может быть устранена при помощи данных наблюдений. В первом примере мы установим кинематический вид скорости г, исходя из предположения существования горизонтального ветра, совершенно не зависящего от горизонтальных осей, направление которого не зависит от высоты, т. е. от координаты г и скорость которого может изменяться с высотой и временем.
Будем называть такое движение о р т о г о н а л ьн ы м. Выбирая для оси Оу направление указанного ортогонального движения (направление которого по предположению не зависит ни от времени, ни от координат частицы), будем иметь следующие равенства, характеризующие ортогональное движение: и=О, э = п (Ю, г), ш = О, (33) где и — произвольная функция своих аргументов, которую нужно определить из условий динамической воаможности цзин<ения. Рассмотрим подробно кинематику ортогонального движения. Л и н и и т о к а этого движения, определяемые интегрированием уравнений (34) 200 ДИНАМИЧЕСКАЯ МЕТЕОРОЛОГИЯ И ФИЗИКА АТМОСФЕРЫ будут прямыми линиями: х=с, з = с„ где сг и сс — произвольные постоянные, взятые для определенного значения времени.
Эти прямые, очевидно, будут составлять семейство прямых, параллельных оси Оу, т. е. параллельных направлению изучаемого движения. Т р а е к т о р и и ч а с т и ц в ортогональном движении определятся уравнениями (35) и совпадут с линиями тока. Обозначая через 42„, 42„, 42, — три проекции в и х р я с к о р о с т и 42 = го1 рх на оси координат, будем иметь для ортогонального движения ди 42 х— дг Итак, вихрь будет горизонтальным и перпендикулярным ортогональному движению.
В и х р е в ы е л и н и и, т. е. линии, определяемые интегралами уравнений сх ср сс ах аг ах (36) с й с у 1 с! я !г Х. ЪУ. Т!гс Тгатейпя Сус!опс.— Рп1!сс. Мсз. !919, р. 420. 5йс ч Х. Ргсс. !!оу. Бес. 1904, 94, р. 34. 6 г с с п. Ясщс ргеЫсщс гс!а1!пе 1с го!апов у!и!4 гп 1!гс Асщсср!гсгс.
— Р!г!!сс. Мар., 1921, 665. Я !г а гг М. Мсппа! о! Ме1ссго!ору, Сащьг1г!6с, 1919, раг1 !'г'. представляют собой горизонтальные прямые, перпендикулярные скорости ортогонального движения. Второй пример движения сжимаемой жидкости — случай жидкости, находящейся во вращении («вращающаяся жидкость»). Этот случай представляет собой обобщение идеи вращающейся жидкости, развитой несколькими английскими метеорологами и гидромеханиками, главным образом Рзлеем (Вау1е!дЬ) и Шоу (ЯЬач) *. Выберем систему координат следующим образом: ось Ог направим вертикально вверх, ось Ох — на север (вдоль меридиана), ось Оу — на восток (вдоль параллели), а начало координат поместим в точку, где изучается движение.
Предположим, что в каждой горизонтальной плоскости движение жгщкости представляет собой вращение с постоянной угловой скоростью ~ вокруг подвижного центра с координатами х =- а, у = 6. Кроме того, подвижные центры этого вращения будут различными для различных горизонтальных плоскостей, а угловая скорость будет одной н той же ТЕОРИЯ ДВИЖЕНИЯ СЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ 20$ на всех уровнях; это означает, что а и Ь будут функциями з и времени 1, а ,", — некоторая константа. Отметим также, что благодаря такому выбору системы координат движение будет циклоническим при отрицательных значениях 1 и антициклоническим при положительных ~.
Движение сведется к перемещению столба вращающейся жидкости; при этом ось вращения, вообще говоря, не вертикальна. Заметим, что Шоу и большинство английских метеорологов предполагают, что столб вращающейся жидкости вертикален, т. е. а и Ь не зависят от г, а являются функциями только времени 1. Принимая во внимание этот характер движений атмосферы, легко получим равенства да — ~ (у — Ь), дс (37) и= —.. +ь(х — а), дс с1 Займемся прежде всего кинематическим изучением этого движения, а: именно установим мгновенный центр вращения частиц жидкости, линия тока, траектории этих частиц и вихревые линии. Обозначим координаты ц е н т р а в р а щ е н и я череа хт, у„г11 они определяются равенствами (38) х1 = а (с, г), у, = Ь (Ф, г), зт = з. Геометрическое место центров вращения (для всех высот) определяет понятие о с и в р а щ е н и я. Вообще говоря, это кривая — двоякой кривизны, со временем она меняет свое положение и форму.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
