Дифференциальные уравнения турбулентного движения сжимаемой жидкости (1124010), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Уравнение (14) можно переписать следующим образом: [ХХ, Г] + Оа = ]> бга>]>р + Д дЧ вЂ”, (17) Умножая векторно зто равенство на б"-, получим [Х'-, [ХХ, $'] ! = [А [М, ига>] >р], но в силу известной формулы векторной алгебры будем иметь [С, [ХХ, К]] = (Н (ХХ,Ф') — Р (1Р, ХХ). Так как (тт, $') = р и (М, .Н) = 0 (в силу условия незакручиваемости), то уравнение (14) превращается в первое уравнение (13) (]А+ 0). где О = >]]т Р . Рассмотрим сначала нормальные движения.
Покажем, что если задано условие незакручиваемости, то система (13) для нормального движения зквивалентна системе ДИИАМИЧЕСКАЯ МЕТЕОРОЛОГИЯ И ФИЗИКА АТМОСФЕРЫ 192 Для того чтобы получить второе уравнение (13), достаточно умножить скалярно (17) на сх-. Покажем теперь, что уравнение (14) получается из уравнений (13). Для этого умножим векторно первое уравнение (13) на Р, получаем [Р, [Я, егай ~р]] = (Р', «тай ~р) сг — (Г, б7) огай ~р = [Б', Н ], откуда с помощью второго уравнения (13) получаем уравнение (14). Применяя к обеим частям уравнения (14) операцию гос, легко находим равенство с+Ь~~, =О, где с и Ь определяются соотношениями (19) с=- ЬЬ+ ~— [аэ- Ь =- гоь Ь + — -, Ь| ' ,ас ' (20) Выражая векторы с и Ь через давление и удельный объем, будем иметь аФ г ар [А"-с — — — Ф вЂ” огай —, огай р1, (21) р'Ь = Фэ~ р.ад ЕР, дгай р~.
Из этих формул видно, что векторы с и Ь выражаются через вектор [йтад йр/йс, Егай р] = .д, который связан с е и О таким образом: .д = — [егад е, йтад р] — хр [огай О, дгай р], Л (Ь) Итак, д л я того чтобы движение было д и н а м и ч ескн возможным, необходимо, чтобы тепловые векторы были параллельны. Назовем условие (Ь) т е п л о в ы и н у с л о в и я м и динамической возможности движения сжимаемой жидкости.
С первого взгляда кажется, ГДО Х = —; Св — УДЕЛЬНаЯ тЕПЛОЕМКОСтЬ ПРИ ПОСТОЯННОМ ДаВЛОНИИ. С Принимая во внимание тесную связь между векторами с и Ь, с одной стороны, и величиной е, с другой, назовем их первым и вторым тепловыми векторами. Уравнение (19) дает непосредственно уравнение динамической возможности движения [с, Ь] =О. твогия двнжкния сжимлвмон жидкости что условие (Ь) содержит два скалярных равенства; однако на самом деле в силу условия незакручиваемости одно из этих равенств будет следствием другого. Таким образом, термические условия сводятся к равенству (Г, [Л;,.Х?]) + р(Ы, дгад9) — (Я', + (бгаоО, С), —, + огай)ь) = О, где Ы, = Ье1ш Ы.
Для того чтобы получить это равенство, нужно провести достаточно длинные вычисления и доказать ряд векторных тождеств. За недостатком места мы опускаем зти вычислепия. Заметим, однако, что в дальнейшем мы будем использовать тепловые условия в форме (Ь). 4. В дальнейшем изучении условий динамической возможности нормального движения сжимаемой жидкости нужно различать два случая в зависимости от того, равен нулю яля нет второй вектор. Назовем движения первого рода (Ь + О) о б щ и м и н о р м а л ь н ы м и д в и ж ен и я м и, а движения второго рода (Ь = О) с п е ц и а л ь н ы м и н о рмальными движениями.
Рассмотрим случай общего нормального движения. Из теплового условия (Ь) видно, что если о отличен от нуля, то существует некоторая скалярная величина Х, определяемая равенством с+ХЬ=0. (22) Нринимая во внимание роль, которую будет играть эта величина в определении удельного объема, целесообразно назвать ее с т е р е о с к ал я р о м. С помощью стереоскаляра Х и векторов а и Ь образуем вектор 6 6=а+И, (22) который мы назовем с те р е о в е к т о р о м. Равенства (19), (22) и уравнение (14) можно преобрааовать в следующие уравнения, эквивалентные системе (14): ягабф = д, дф дз (24) 13 А.
А.Фридман Совершенно очевидно, что как только мы определим ф, удовлетворяющее равенствам (24), уравнения (14) будут выполняться в силу определения стереовектора и стереоскаляра. Для того чтобы определить ф, удовлетворяющее равенством (24), 194 ДИНАМИЧЕСКАЯ МЕТЕОРОЛОГИЯ И ФИЗИКА АТМОСФЕРЫ нужно чтобы выполнялись следующие условия гола=0, (с) — = бгайЛ, дд дл которые мы назовем объемными условиями. Непосредственно видно, что условия объема сводятся к шести ска- лярным.
Тем не менее легко ааметить, что первое из условий (с) есть следствие второго, благодаря чему число независимых скалярных урав- нений, которые получаются из условий (с), сводится к трем. Покажем, что первое из равенств (с) следует из второго. Используя равенство (23), найдем следующее выражение для тот 6: > гоьд =года+ЛгоьЬ+(дгайЛ, Ь); подставляя вместо Ьтао Л его значение дд/д~ из (с) и принимая во вни- мание, что да да дз — дЛ вЂ” = — +Л вЂ” +Ь— дл дй дг дй получим с помощью (20) выражение гос6 = с+ ЛЬ; иа него следует, что в силу (23) ГОС 6 = О. Анализируя условия динамической вовможности общего нормального движения сжимаемой жидкости, мы пришли к равенствам (а), (Ь), (с), которые мы назвали тепловыми условиями, условиями незакручиваемости и объемными. Если только эти условия выполняются, то можно определить с помощью уравнений (24) у с точностью до аддитивной проиавольной постоянной и с помощью уравнений (11) — давление р с точностью до аддитивной произвольной функции времени.
Само собой разумеется, что ю = еР будет сдернсивать произвольный постоянный множитель. Таким образом, удельный объем Ф и давление р определяются формулами В,,ах+В„Анд,а* ~ лю (й) С дл + С ав + С, дх р= Ф +рс(т) где ю, и рр(1) — произвольная постоянная и произвольная функция времени. Исследуем кратко метод установления условий динамической возможности частных нормальных движений сжимаемой жидкости. Уравнение ТЕОРИЯ ДВИЖЕНИЯ СЖИМАЕМОЙ >КИДКОСТИ 195 (19) показывает, что как только Ь обращается в нуль, то обращается в нуль и вектор с, и уравнения (14) превращаются в нормальную систему линейных однородных уравнений в частных производных первого порядка. Таким образом, в случае частного нормального дни>кения условия динамической возможности состоят из условия незакручиваемости и равенства нулю двух тепловых векторов; иными словами, эти условия имеют вид (С,Н) =О, с=О, Ь=.О.
(е) Если выполняются эти условия, ~р будет определено из уравнения Ф (~р, г, х, у, г) = О, (25) где Ф представляет собой решение системы уравнений в частных произ- водных первого порядка: да> дФ да> — — — Ь,.— + а„. — =О, (26) дю дю да> — — — Ь,— + а,— — = О. л д> абдт Система (26) получается с помощью уравнений (14) обычным способом. Простыми вычислениями, образуя скобки Пуассона и используя равен- ства (е), легко показать, что эта система нормальная. Как известно, общее решение системы (26) содержит две произволь- ные функции. Легко видеть, что можно написать два независимых реше- ння системы (26): Ф, = ср — 1>(ц х, у, г), Ф, =- (г(г, х, у, г), и, следовательно, уравнение (25) позволяет определить у выражением ~р =- ~>(с, х, у, г) +Ч' (уг(с, х, у, г)), где Ч" — произвольная функция своего аргумента.
Таким образом Ч>, а следовательно, и е> будут содержать произвольную функцию. В случае частного нормального движения, которое мы исследуем, давление р, как и в общем случае, будет определяться с помощью второго уравнения (6). 5. Остается еше исследовать условия динамической возможности полу- консервативного движения сжимаемой жидкости. Так как метод не отли- чается существенно от метода исследования нормального движения сжи- маемой жидкости, то иэ-за недостатка места мы ограничимся рассмотре- нием только самых важных моментов и приведем без доказательства условия динамической возможности полуконсервативного движения сжи- маемой ясидкости.
ДИНАМИЧЕСКАЯ МЕТЕОРОЛОГИЯ И ФИЗИКА АТМОСФЕРЫ 196 где скаляры т и и определяются равенствами [Н, ]г] = т(, (г, ~а.з-д( +е) — д, -(д'д) 1) д [Н,О] (27) Если поле скоростей удовлетворяет условиям ([), то величина ф = [пас определяется с помощью равенств 8габф= ' — + и(, [Н, С] (28) дс дф + Таким образом, ю определяется квадратурами и содержит произвольный постоянный множитель; что же касается давления р, то его можно получить с помощью второго уравнения (Й).
Условия динамической возможности специального полуконсервативного движения выражаются более простыми равенствами Г =. ~(:, д~-1, (а,Н)=О, [ =(У, а)=О, ЗН' — д + [Ю, дгас[(т+ 8)] = О. дН где скаляры т и з определяются равенствами [Н, т'] =та, дй — = гС. дс (29) Вектор Г = [О, —, ] играет важную роль в классификации полукон- дО сервативных движений. Будем называть о б щ и м и п о л у к о н с е р- в а ти в н ы и и д в и ж е н и я ми движения, при которых Г отличен от нуля; сне ц и а л ь н ы м и и о л у к о н с е р в а т и в н ы и и д в и- же н и я ми — движения, при которых Г = О, а (р+О, и, наконец, движениями без градиента — движения, прикоторыхди- намический градиент (7., а следовательно, и Г равны нулю.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
