Дифференциальные уравнения турбулентного движения сжимаемой жидкости (1124010), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Мтз Величина Скорость инверсии, движения. 'С сд. МТЗ Ввличиив инверсии, 'с Дата Дата Осень 1,3 — 0,0017 10,8 — 0,027 24 нонбря 19П г. 25» 4 сентября 1912 г. 21» 7 октября 23» 1 ноября 18» +О,О1о -).0,010 — 0,030 — 0,022 — О, 025 — О, 063 1,0 0,9 2,8 2,1 1,1 — О, 007 — О, 015 — 0,27 — О, 0067 Заик + означает. что вниз. скорость нзяравлека вверх, знои †,что теОРия движения сжимАемОИ жидкОсти И ЕЕ ЙРИЛОЖЕНИЯ К АТМОСа ЕРИЫМ ДВИЖЕИИЯМ" 1. Классическая гидродинамика обычно изучает либо двил<ения жидкостей, плотность которых постоянна (т. е.
Ие зависит от времени и координат), либо движения, при которых давление есть заданная функция плотности и, следовательно, изобарические поверхности совпадают с изотермическими. При изучении движений атмосферы эти два предположения классической гидродинамики неприменимы. В самом деле, из общих предположений относительно свойств газа, составляющего атмосферу, следует, что плотность воздуха нельзя считать постоянной; азрологнческие наблюдения, особенно их прекрасные приложения, проведенные в Лейпцигском геофизическом институте по инициативе и под руководством Бьеркнеса *, также доказывают, что изобарические и изотермические поверхности никоим образом не совпадают, но пересекаются под некоторыми углами (правда, очень малыми). и Пм., например, В 1 е г )г в е в Ч.— Ме1еог. 2.
1900, !7, 8. 97, 145. 30/31 мюля 1911 г. 31» 15 августа 18 >> 20 в 31» 10 июня 1912 г. 10 5 июля 6 >> 13 августа 28» П р и м е ч а н а е. она направлена Лето 1,2 — 0,043 0,8 — 0,00 3,5 +0,042 1,О +О,043 1,8 — 0,027 1,8 — 0,020 0,8 — 0,0033 0,5 — 0,088 ТЕОРИЯ ДВИЖЕНИЯ СЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ 179 Таким образом, для изучения атмосферных движений недостаточно общих предположений классической гидродинамики. Бьеркнес первым стал систематически принимать во внимание это обстоятельство. Он создал большую школу и оказал значительное влияние на развитие теоретической метеорологии в начале ХХ в.
Своей известной изящной теоремой о соотношении между вариацией циркуляции скорости и числом единичных трубок, образуемых при пересечении изобарических и изотермических поверхностей, Бьеркнес доказал возможность возникновения вихрей в атмосфере. Направление теоретической метеорологии, созданное Бьеркнесом и его учениками, главным образом Хессельбергом и Сандстрбмом, позволило развить эффективные методы обработки многочисленных данных аэрологяческих наблюдений.
Это в свою очередь позволило находить свойства и законы атмосферных движений из экспериментов и вычислений". В области теоретической гидромеханики работы Бьеркнеса и его школы позволилн раавить теорию тех движений снсямаемой жидкости, которые называются б а р о к л и н и ч е с к и м и, т. е. движений, в которых давление зависит не только от плотности, но также и от температуры. Эта теория изложена в новом издании классической Мбсап1г1пе ВаМопе11е Аппеля (Арре11) *г, в главе, написанной Бьеркнесом. Настоящая работа имеет целью некоторое развитие теории движения сжимаемой жидкости и прежде всего нахождение уравнений для общего вида сжимаемых жидкостей, аналогичных классическим уравнениям Гельмгольца для несжимаемой жидкости.
Эти уравнения представляют собой условия, которым должно удовлетворять поле' скоростей сжимаемой жидкости, для того чтобы движение, определенное полем скоростей, было действительно возможным; другими словами, условие того, что для заданного поля скоростей можно найти такое распределение давления и плотности, для которого выполняются уравнения общей гидромеханнки. Эти уравнения условий, которые мы будем называть у с л о в и я м и динамической возможности движения жидкое т и и которые представляют обобщение уравнений Гельмгольца, должны выполняться при любом способе притока тепла.
Иначе говоря, полученные уравнения должны выполняться при заданном притоке тепла и во всех случаях представлять собой необходимые условия, которым должно удовлетворять поле скоростей. Мы увидим ниже, что эти условия позволяют с помощью уравнений гидромеханики определить плотность с точностью до постоянного множителя, а давление с точностью до аддитивной произвольной функции времени. Далее эти произвольные элементы должны быть определены с помощью уравнения притока тепла. ь В 1 е г 1г и е э г". Вупаш1зс1гв Ме1еого1о91э ппй Нубгобтар1г1е, Вг1.
1, П. ВгаппзсЬче!д, 1912. "'* А р р в 11 Р. Тгаый йе Месап1г1пе Вайопейе, 1. Ш. Рзг!з, 1921. 12' 180 ДИНАМИЧЕСКАЯ МЕТЕОРОЛОГИЯ И ФИЗИКА АТМОСФЕРЫ Второй вопрос касается методов определения различных типов атмосферных движений с помощью установленных условий динамической возможности дзян<ения жидкости. Сущность метода состоит в следующем. Пусть некоторое поле скоростей задано функцией, содержащей, вообще говоря, произвольные функции времени и координат; эти произвольные функции определяются в большинстве случаев упомянутыми выше условиями динамической возможности движения. С другой егоровы, уравнения гидромеханики определяют давление и плотность с помощью полученного полн динамически возможных скоростей.
Таким образом, если задан некоторый тип атмосферного движения (например, «гечо1Р1пз' 11Е1б») э и использованы условия динамической возможности движения, то можно легко построить определенную модель той или другой картины распределения давлений.
В настоящей статье описаны две модели атмосферных движений — в одной изобары представляют семейство прямых, а во второй — окружностей. В заключение мы детально исследуем приложения полученных моделей атмосферных движений к действительным условиям атмосферы. К уравнениям гидродинамики необходимо добавить дополнительные условия, которые характеризуют действительную возмо;кность того или иного атмосферного движения.
Эти дополнительные ограничительные условия мы получим, заметив, что скорость ветра не может превосходить некоторой конечной величины. Принимая это условие, мы дадим в конце настоящей работы некоторые числовые примеры моделей атмосферных движений (некоторые стационарные циклоны и антициклоны). 2. Для того чтобы получить уравнения гидродинамики для сжимаемой жидкости, исследуем прежде всего величины, характеризующие ее движение. Выберем некоторую прямоугольную систему координат и обозначим координаты произвольной точки через х, у, з и время через 1. Движение сжимаемой жидкости будет полностью определено, как только давление р в заданной частице жидкости, ее плотность р (нли, что то же, ее удельный объем ю), ее абсолютная температура Т и три проекции и, э, ю вектора скорости Р частицы на оси координат будут выражены как функции координат этой частицы х, у, г и времени П Условимся называть в дальнейшем величины р, р, Т, так же как и все функции этих величин и их производные по времени и координатам, динамическими элементами движения, а величины и, э, ю, функции этих величин и их производные по времени и координатам — к ином а т и ч е с к ими э л ем е н та ми движения.
Из гидродинамики известны шесть уравнений для определения этих шести величин. Первые три из этих уравнений представляют собой обыч- а К а у 1 е1 з Ь. Ов 1Ье 1Зуваю1сз о1 Кечо1ч1вд Р!цйз. Ргос. Коу. Бес., 1915, ЕЗ, Г1 545, Р. 145. теогия дВижения сжимаем Ой жидкОсти ные уравнения движения частицы жидкости под действием заданных сил. Четвертое уравнение есть следствие закона сохранения материи и называется уравнением неразрывности. Пятое вытекает из закона сохранения энергии (первый принцип термодинамики) и называется уравнени е м п р и т о к а т е п л а. Наконец, шестое уравнение, связывающее в виде конечного соотношения давление, плотность (или удельный объем) и температуру, называется у р а в и е н и е м с о с т о я н и я.
Силы, действующие на частицу жидкости, делятся на два класса. К первому относятся силы, которые (будучи отнесенными к единице массы жидкости) выражаются известным и конечным образом через составляющие скорости и их производные по координатам. Из сил, учитываемых при рассмотрении атмосферных движений, к этому классу относится в первую очередь с и л а т я г о т е н и я. Обоаначим эту силу, отнесенную к единице массы, через,Е.
В относительно ограниченных областях мы сможем рассматривать силу тяготения как постоянную по величине и направлению. Направив ось Оз из заданной точки поверхности Земли вертикально вверх, будем иметь следующие выражения для составляющих силы .К: К =О, где д — ускорение силы тяжести. В атмосферных движениях имеет место также сила, обусловленная вращением Земли; мы будем называть ее девиацией и обозначать через б'. Обозначая через т вектор вращения Земли, будем иметь следующие формулы для Г: Т1 =. — 2[с, Т'), Оз = 2тзэ — 2ттю> С~э = 2т1ю — 2тзи, бгз = 2тзи 2Т1Р. (2) Если принять за декартову прямоугольную систему координат левую систему (т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
