Дифференциальные уравнения турбулентного движения сжимаемой жидкости (1124010), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Мы не останавливаемся за недостатком места на разборе интересных случаев, когда динамический центр перемещается прямолинейно и равномерно или когда оп движется равномерно по кругу. Путь изучения этих движений будет заключаться прежде всего в определении двинаения вторичного центра вращения. 4. Обратимся теперь к изучению специального нормального движения и полуконсерватнвного движения.
Несколько длинные, но элемектарные вычисления покажут нам, что случай специального нормального двил(ения невозможен; наоборот, рассмотрение полуконсерватввного длин~ения позволит освободиться от ограничивающего нас предположения о постоянстве плотности воздуха. Условие полуконсервативных движений дает равенства да дгд =-О, ш двт дд д'а (21) в свою очередь зти равенства позволяют пам утверждать справедливость соотношения — =О, (22) следовательно, Ш, д1 (д1) = О, и наше полуконсервативное движение должно быть специальным.
Нетрудно видеть, что 1Р + О и что все условия (Ж) выполняются. Таким образом, условия динамической возможности рассматриваемого нами движения сводятся к выполнешпо равенств (15) н (21). Пользуясь этими равенствами, найдем, что обе функции д,(1) и дг(1) не зависят от времени 1и являются постоянными: д,(1) =-. а„ Чг(Г) = Ча. Вычисляя а и Ь, будем иметь а = — + А (г) соз Ь 1 + В (г) з)п ~1, (23) Ь = ~ + А(г) з1п~~ — В(г) сов~1, идкя вглщлющкнся жидкости в лтмосекгных движкниях з59 где г' и д определяются равенствами 2юзсз — чз ь+ 2юз (24) зз ь+ 2юз Следовательно, центр вращения описывает круги с угловой скоростью ~ вокруг точки, имеющей ва высоте х координаты хо, уз, гз, определяемые равенствами з = зз з =-- (25) Ниже мы увидим, что зта точка будет динамическим центром нашего движения; значит центр вращения описывает круги с угловой скоростью Ь около динамического центра.
Для определения динамического центра обратимся к изучению удельного объема и давления. Вычисляя динамический градиент для нашего случая, мы без труда найдем Сз = фх — 2юДг+ д„ с„= фу+ у„ С, = — — 2в,~х + 2ю, 2юзьз — ш ь з+ 2юз пользуясь этими формулами, мы определим ф, а значит и аз = ет из урав- нений (3). Производя некоторые упрощения, найдем ез = г" (с), о = у'+ (г' — х')з — ~ з', юз Р(о) — произвольная функция своего аргумента; х', у', г' определяются равенствами х' = ьх, у' = ьу+ ~', г' = --'--- .— '~з-, (26) ь+2юз ' 1+ 2юз Вводя функцию Д(о), связанную с Р(о) соотношением и мы будем для определения давления р иметь равенство Р ~ + 2юз и (с) + Р, р) ДИНАМИЧЕСКАЯ МЕТЕОРОЛОГИЯ И ФИЗИКА АТМОСФЕРЫ Из атой формулы следует, что иэобары на высоте г будут определяться семейством кривых с = у' + (г' — х')з — — г = сопз~; ю~ зто семейство будет семейством кцдцентрических кругов с н е и о д в н жн ы м ц е н т р о м, определяемым координатами (хю ую Ь), вычисляемыми по формуле (25).
Этот неподвижный центр, очевидно, будет динамическим центром рассматриваемого движения. Произвольность функции Г"(О) позволяет нам выбрать то изменение плотности с высотой, какое имеется в атмосфере в данном месте; таким образом, мы освобождаемся от весьма существенного, указанного вьппе ограничения, и разбираемое нами движение может иметь место, как бы высоко (хотя бы до стратосферы) нн простирался наш столб вращающейся жидкости. В рассматриваемом движении динамический центр неподвижен, между тем центр вращающейся жидкости обегает его по кругу с постоянной угловой скоростью; это движение близко такому явлению, часто наблюдающемуся в атмосфере, при котором стационарный центр начинают обегать небольшие по горизонтальным размерам вихри, несущие с собой значительные разрушения. Предвидеть движение этих вихрей трудно потому, что динамический центр не смещается, оставаясь постоянно на одном н том же месте и, следовательно, карта изобар мало меняется; для иэобар остается лишь возможность приближаться к динамическому центру нли удаляться от него.
О ВЕРТИКАЛЬНЫХ ТЕйаНЕРАТУРНЫХ ГРАДИЕНТАХ В АТМОСАйьЕРЕ ы 1. Азрологическне наблюдения дают возможность констатировать, что вертикальный температурный градиент т в большинстве случаев не превышает своего так называемого граничного значения т = 3,4 10 з, выраженного в геофизических единицах (метр, тонны, секунда). Этот направленный наружу градиент характеризует ту границу вертикальных температурных градиентов, начиная от которой происходит не уменьшение, а только увеличение плотности воздуха с высотой.
По в некоторых случаях вертикальный температурный градиент может превышать значение т без нарушения равновесия атмосферы. Цель этой статьи показать, что равновесие атмосферы при температурных градиен- О ВвртикАльных тевспеРАТРРных ГРАдиентАх В АтмОсФеРВ 191 а — =О др д а — =О, др ду др — А' — а — = О, да "' =О дс рос = ЛT, да др еа = с„— — Аа —, " дс дс В этих уравнениях р, а и Т означают давление, удельный объем и абсолютную температуру в данной области атмосферы; е — тепло, подведенное за единицу времени в единицу объема; я — ускорение силы тяжести; ср — теплоемкость при постоянном давлении; Л вЂ” газовая постоянная; А — термический эквивалент работы.
Три первые уравнения (1) — это гидродинамическне уравнения, получевные из условий равновесия воздуспных частиц, четвертое — уравнение неразрывности для случая равновесия, пятое — уравнение Клапейрона и шестое — уравнение притока энергии. Систему (1) можно непосредственно интегрировать. Три первые уравнения показывают,что р и а ие зависят от х и у. Из четвертого уравнения следует, что а не зависит от С (плотность не изменяется со временем): а =- а(г). (2) Шестое нз уравнений (1) дает с помощью уравнения Клапейрона следуюсцее: Л дс' (3) где с„означает удельную теплоемкость при постоянном объеме.
а Приваденный в этой работеслучай равновесия атмосферы я исследовал в статье «О вертикальных течениях в атмосфере», которая была закончена в мае 1919 т. и появилась на русском языка в «Известиях Физико-математического общзстваа при университете в Перми в 1920 т. (Ом. «тр. 104 настоящей квнги). 11 А. А. Эразмам тах, превьппающих граничное значение, возможно и теоретически. Обыч'- ное представление о том„что более тяжелая верхняя воздушная масса должна в силу необходимости, опускаясь, проникать в более легкую, очевидно, неправильно, так как такое представление не учитывает наличия давления, или, иначе говоря, при этом не рассматриваются силы взаимодействия внутри газообразной среды*. 2.
Направим ось г прямоугольной системы координат вертикально вверх, причем начало координат должно находиться на земной поверхности. Коли через с обозначить время, через х, у, г — координаты какой-либо точки в атмосфере, то получим для случая равновесия атмосферы следующие уравнения, которые непосредственно вытекают из гидродинамических уран пений: 162 динАмичвскАя метеОРОлОГия и ФизикА АтмосФНРы Последнее из приведенных уравнений вместе с третьим уравнением (1) показывает, что е не зависит от х, у, г; это значит, что з является только функцией г (приток тепла на различных высотах одинаков): з = з(8).
Обе функции ю(г) и е(1) произвольны; давление р, как легко увидеть из уравнений (1), определяется уравнением ос Вс р = р. — а ~г — + — ~ (1) (1, з оэ(г) с„,) о о (4) где ро означает давление на поверхности земли (г = О) и в начальный момент (с = О). Уравнения (2), (3) и (4) вместе с уравнением Клапейрона приводат к полному решению задачи: определяются при условии равновесия атмосферы плотность, давление и температура. 3.
Иа полученного решения очевидно, что это равновесие должно нарушиться, как только приток энергии на различных высотах и в различных местах станет неодинаков. Из этого же решения можно определить величину вертикального температурного градиента.
Из предыдущих формул, если учесть, что вертикальный температурный градиент т оиределяется из уравнения (= — д Т~дз. можно непосредственно получить уравнение Т==Т вЂ” 7 Ы 1а о1 ь сЬ (5) где )ь —— фЛ и означает граничное значение вертикального температур ного градиента. Уравнение (5) может быть написано следующим сбразсм оФ я (ТЬ т) (6) Это уравнение показывает, что, пока вертикальный темиературпый градиент остается меныпе граничного значения, удельный объем растет с высотой (плотность уменьшается), но как только вертикальный температурный градиент превышает граничное значение, удельный объем уменьшается с высотой (плотпость возрастает). Однако можно выбрать такое изменение удельного объема с высотой, что при вертикальном температурном градиенте, превышающем граничное значение, атмосфера останется в равновесии, т.
е., при вертикальных температурных градиентах, превышающих граничное значение, теоретически допустимы случаи равновесия атмосферы. О ВеРтикАльных темпеРАтуРных гРАдиентАх В АтмОсФеРе !93 Подставив это выражение для з в уравнения (1) и рассунгдая так же, аак в $ 2, легко найдем,. что в — функция только г, а р и Т будут зависеть от ! и г. В соответствии с этим обстоятельством мы получим после нескольких простых преобразований из уравнений (Ц следующие соотношения для определения о и р: о = в(г), др ао сг — = ро — —, д! о (7) др дз 6 Ф о где сэ =- с„/Л, в' и о" — производные первого и второго порядков функции о по г. Если в и р будут определены из уравнений (7), а температура Т из уравнения Клапейрона, то задача о равновесии атмосферы в случае притока тепла вследствие теплопроводности полностью разрешается.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
