Дифференциальные уравнения турбулентного движения сжимаемой жидкости (1124010), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Лорд Рзлей в выше цитированной работе предполагает плотность постоянной и, кроме того, пренебрегает вертикальной составляющей отклоняющей силы Земли. Наконец, Грин сводит задачу к случаю изотермичесних изменений жидкости, т. е. предполагает плотность пропорциональной давлению. Кроме того, почти все указанные авторы (за исключением Грина) ограничивают себя предположением неизменяемости скоростей ветра с высотой, предположением, которое не только не соответствует действительности, но и так сужает, как мы зто увидим ниже, задачу об атмосферных движениях, что совершенно правильная в основе своей идея английских метеорологов становится мало применимой к условиям атмосферной действительности.
* В а у 1 е > я Ь 1.. Оп 1Ье дупага!се о! гете!т!Вя !1инЬ. — Ргос. Коу. Бос., 1915, 93, М 648, р. 148; ТЬВ 1>ате11!Вя Сус1опе.— РГМ1ое. Мар., 1919, р. 420. Б Ь а те >Ч. Ргосеед. Воу. Бос., 94, р. 94. С г е е п. Богаз ргойаше ге1ампд >о го>айпБ РЬ>Ы !и ЗЬе АсгаоарЬеге.— РМПоз. Маз., 1921, р. 665. Кроме упомянутых работ, смотря книгу Б Ь а тт М. Маиса! о1 Ме>соло)оеу. СаюЬпдБе, Сп!т. Ргеза., 1919, рагк !Ъ'. 144 динлмичвскля мвтяогология н »изикл ьтмосэвлы Целью настоящей заметки является изучение атмосферных движений, кинематнческая форма которых близка к указанной английскими метеорологами, со всей возможной степенью общности и без введения каких-либо стесняющих и по существу ненужных предположений.
Такое исследова ние можно выполнить, используя условия динамической возможности движения сжимаемой жидкости, изложенные в моей работе «Опыт гидромеханики сжимаемой жидкости». 1, Для изучения атмосферных движений выберем координатную сне«емуу следующим образом: ось з направим вертикально (по отвесу) вверх, ось х — к северу (по меридиану), ось у — к востоку (по параллели), начало координат расположим в том месте, где мы изучаем движение.
Пусть движение нашей жидкости (атмосферы) будет в каждой горизонтальной плоскости вращением с постоянной угловой скоростью Ь вокруг перемещающегося центра с координатами х = а, р = Ь. При атом перемещающийся центр вращения будет различным для горизонтальных плоскостей на разных высотах, а угловая скорость для всех высот одинаковой, т. е. а и Ь будут функциями г и времени С; что же касается ь, то это будет некоторая постоянная. Заметим здесь же, что при выбранной нами координатной системе циклоническое вращение характерно для отрицательных Ь, а анти- циклоническое — для положительных. Указанное движение явится перемещением вращающегося атмосферного шнура, ось которого не является, вообще говоря, вертикальной прямой; между тем Шоу и большинство английских метеорологов предполагают, что столб вращающейся жидкости стоит вертикально, т.
е. а и Ь не зависят от г, являясь лишь функциями времени с. Мы рассматриваем безграничную массу жидкости; в действительности указанное движение в атмосфере будет ограничено снизу земной поверхностью, сверху — одним из атмосферных слоев, например слоем нижней инверсии, илн границей между стратосферой и тропосферой. 2. Пользуясь только что приведенной формой атмосферных движений и обозначая через и, г, лс составляющие по осям х, у, г вектора скорости ветра 'Г в данной точке с координатами х, у, з и к моменту с, без труда получим следующие формулы: да и = — — ь (у — Ь), дс ИДЕЯ ВРАЩАЮЩЕЙСЯ ЖИДКОСТИ В АТМОСФЕРПЫХ ДВИЖЕНИЯХ 145 Прежде чем перейти к изучению динамических свойств движения, данного формулами (1), займемся, следуя кругу идей, указанному Шоу, кинематнческим рассмотрением этого движения, а именно: обратимся к изучению мгновенного центра вращения атмосферных частиц, линий тока, траекторий этих частиц и вихревых линий.
Координаты ц е н т р а в р а щ е н и я обозначим через г„уп г~', эти координаты определяются равенствами г1= а(1, г), у, = Ь(1, г), гг —— г. (2) Геометрическое место центров вращения для всех высот дает нам понятие об о с и в р а щ е н и я. Эта ось вращения, вообще говоря,— кривая двоякой кривизны — меняет свое положение и форму с течением времени; для движений, рассматриваемых Шоу и Рэлеем, ось вращения есть вертикальная прямая, перемещающаяся с течением времени; для некоторых движений, изученных Грином, ось вращения является наклонной прямой, не смещающейся с течением времени. В каждый данный момент движение, вами рассматриваемое, можно представить как вращение частиц жидкости около некоторого мгновенного центра, который мы, следуя Шоу, назовем к и н е м а т и ч е с к и м центром.
Координаты х„у„г, кинематического центра определяются равенствами = — — д У~=-Ь+ — д 1 дЬ 1 да д1 ' Ь дг ' (3) при атом мы исключаем из рассмотрения малоинтересный случай ~ = О, когда вращение жидкости отсутствует. Кинематнческий центр перемещается, следуя аа центром вращения, но он, вообще говоря, смещен относительно центра вращения, причем это смещение зависит от скорости перемещения центра вращения и различно как в разных горизонтальных плоскостях, так и для разных моментов времени. Отметим несколько особенностей этого смещения, непосредственно вытекающих иа формулы (3).
Если центр вращения движется к северу, то кинематический центр смещен к востоку при антициклоническом вращении и к западу — при циклоническом; если центр вращения движется к востоку, то кинематический центр смещен к югу при антициклоническом вращении и к северу — при циклоническом. Вообще кинематический центр смещается перпендикулярно к скорости перемещения центра вращения, направо от атой скорости при антициклоннческом и налево— при циклоническом вращении.
Если центр вращения в известный момент резко меняет направление своего движения, то для этого момента центр вращения и кинематический центр совпадают друг с другом. Геометрическое место кинематнческих центров для всех высот назовем кинематической осью движения; относительно 1ЭА.А.Ф~ А $46 динАмическАя метРОРОлОгия и ФизикА АтмОсФеРы кинематнческой оси можно сказать то же самое, что и относительно осн вращения. 3. Реальное представление о центре вращения и о кинематическом центре мы можем получить, изучая линии тока и траектории воздушных частиц.
Уравнения линий тока, которые могут быть написаны следующим образом: и х ю после интеграции дадут нам равенства г = с,(1), (х — х,)' + (у — у,)' =- с, (г), (4) сх — =и лг = и последующим исключением из полученных интегралов времени г. Про- изводя соответственные (элементарные) вычислении, мы получим равен- ства х = а+ А соз(~~+ а), у =- Ь+.4 йп(~~+ а), г=В, (5) где А, В н а — постоянные, не зависящие от ~ и определяемые начальным положением частицы.
Нетрудно кинематически представить себе траекторию частицы. Это будет траектория точки, расположенной на круге, "' В ) е г к п е з г. Вуиаш1зсЬе Метеого1офе ци4 Нубгоугариге, Вд. Н. Вгаиизсбте! е, 1912. где сг и сг — пронззольные функции и Таким образом, линии тока будут концентрическими кругами в некоторой горизонтальной плоскости, причем центр этих кругов будет лежать как раз в кннематическом центре, отвечающем данной горизонтальной плоскости.
Таким образом, кннематнческий центр явится критической точкой линий тока рассматриваемого нами движения. Значит, если атмосферное движение близко по своему характеру в известной области к изучаемому движению, то линии тока в атой области будут близки к кругам, а их критическая точка — к нашему кинематическому центру.
Если имеются хорошие данные наблюдений над ветром, то провести линии тока н установить их критические точки особых трудностей не представляет *. Траектории каждой частицы определяются интеграцией уравнений идея ВРАщАющейся жидкости В АтыосФеРных дВижениях 147 вращающемся около центра с угловой скоростью 9, причем центр этот (совпадающий с центром вращения) перемещается по пути центра вращения. Начертив такую траекторию, мы получим характерные петли и точки воаврата, подмеченные Шоу и Лемпферт в их экспериментальном изучении траекторий воздушных частиц *.
Это обстоятельство дает нам первое указание на то, что изучаемая нами кинематическая форма движения близка к явлениям атмосферной действительности. 4. Нам остается еще рассмотреть, какой вид имеют вихревые линии изучаемого нами движения. Коли через б„т)„Ьс обозначим компоненты вихря по координатным осям, то, пользуясь следующими известными формулами для определения этих составляющих: дм дг ди дм <Ъ ди $о= ду дв, Чс= дг дс 1с дл ду найдем такие равенства: да дгЬ ~да дсда Цв=в — дв+ — „, Во=29 () дЬ два * 8 1га ъ 11.
апб 1 о щ р1 а гт К. ТЬо 11(с Ыв1огу о1 впг1асо а1г спггоп1.. ОашЬг1ббо, 1906. а* Ф р и д и а н А. Об атмосферных вихрях.— Гоофизнчсский сборник, 1916, 3. Ф р и д м а в А. О вортикалькъгх и горизонтальных атмосферных вихрях.— Иав. Главной фиаич. обсерватории, 1920, М 3; см. стр. 141 я 369 настоящей квиги. 1О* Нз этих формул будет следовать, что горизонтальные составляющие вихрей будут зависеть лишь от времени и от высоты; их величина будет обусловлена двумя причинами: изменением полонгения центра вращения с высотой и изменением скоростей перемещения центра вращения с высотой. В случае движений, рассматриваемых Шоу, горизонтальных вихрей не будет, а так как величина этих вихрей (по пилотным наблюдениям) *о значительно больпге вертикальных, то это обстоятельство является одним из указаний на сомнительность предполоягения Шоу о неизменяемости ветра с высотой.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
