Дифференциальные уравнения турбулентного движения сжимаемой жидкости (1124010), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Для движений, ивучаемых Рэлеем и Шоу, ось вращения — вертикальная прямая, которая перемещается со временем. Для некоторых движений, изучаемых Грином, ось вращения — фиксированная наклонная прямая. В каждый данный момент во всех горизонтальных плоскостях можно представить иаучаемое движение как вращение частиц жидкости вокруг мгновенного центра, который мы будем называть вместо с Ш о у к и н е м атическим центром. Координаты кинематического центра определяются равенствами 1 дд 1 да х =а — — —, у =-Ь+ — — г =г. с ~ дс,с ~ д1ю с (39) Разумеется, мы исключаем малоинтересный случай ~ = О, когда нет никакого вращения жидкости. Кинематический центр перемещается вслед за центром вращения; но.
вообще говоря, он отклоняется от центра вращения, и это отклонение зависит от скорости перемещения центра вращения и различно для раз- динАмичкскАя мвткОРОлОГия и ФизикА АтмосФИРы 202 личных горизонтальных плоскостей и для различных моментов времени. Отметим некоторые особенности этого движения, которые следуют пепосредственио из формул (39). Если центр вращения движется на север, то кикематический центр отклоняется к востоку при аптициклоническом вращении и к западу — при циклоническом. Если центр вращения движется на восток, то кинематический центр отклоняется к югу при аятициклопическом вращении, и к северу — при цикловическом. Вообще отклонение кияематического центра вращения перпендикулярно направлению скорости перемещения центра вращения; кипематический центр отклоняется направо от этой скорости, если вращение аптициклояическое, и налево, если опо циклоническое.
Если в заданный момент скорость центра вращения резко меняет направление, то кинематический центр в этот момент совпадает с центром вращения. Назовемкинематической осью движения геометрическое место кинематических центров для всех высот. Отпосительпо кипематической оси можно повторить все, сказанное об оси вращения. Достаточно ясное понятие о центре вращения и кияематическом центре можио получить, изучая линии тока и траектории частиц воздуха. Из уравнений линий тока (34) после подстановки выражений (37) и интегрирования получаем равенства з = с„ (х — х,)'+ (у — у.)' = с„ ' (40) где с„с, — произвольные постоянные для определенного значения 1.
Ликии тока в каждой горизонтальной плоскости будут концентрическими окружностями, и их центр будет точно совпадать с кипематическим центром, лежащим в рассматриваемой плоскости. Итак, кипематический центр будет к р и т ич е с к о й т о ч к ой линий тока изучаемого движения. Отсюда следует, что если атмосферное движение в некоторой области приближается к изучаемому движению, то линии тока в этой области подобны окружностям и их критическая точка будет близка к кипематическому центру. Располагая хорошими наблюдениями ветра, можно без больших трудностей провести линии тока и установить их критические точки *.
Траектории каждой частицы определяются интегрированием уравнений (35) и исключением времени г из полученных интегралов. Выполнив вычисления (элементарного характера), найдем равенства х =- а + А сов Я1+ а), у = Ь + А в1п (91+ а), а=В. (41) * См. В)ег'апеа г'. Вупаю1асае Ме1еого!. ппй Нуйгойгарв1е, Вй. 2. Вгаапхапие19, 1912. ткогия движиния сжимхимой жидкости 203 где й, В и а — постоянные, не зависящие от 1 и определяемые начальным положением частицы. Кинематически легко представить себе траекторию частицы. Это траектория точки, находящейся на окрунсности, которая вращается нокруг своего центра с угловой скоростью 9, в то время как этот центр 1совпадающий с центром вращения) перемещается вдоль траектории центра вращения.
Построив параллельную траекторию, мы получим характерные петли и точки возврата, отмеченные Шоу и Лемпфертом при их экспериментальном изучении траекторий частиц воздуха*. Это обстоятельство дает нам первое указание относительно того факта, что кинематическая форма изучаемого нами движения приближается к реальным атмосферным явлениям.
Осталось еще исследовать вид вихревых линий в изучаемом движении. Для составляющих вихря 11 легко найти выражения да дгЬ 13, = ~ —— дг дг дг ' Из этих формул следует, что горизонтальные составлягощие вихрей зависят только от времени и высоты. Их величина определяется двумя факторами: перемещением центра вращения с высотой, изменением скорости перемещения центра вращения с высотой. В случае движений, изучаемых Шоу, горизонтальных вихрей совсем не будет, а поскольку величина этих вихрей (согласие наблюдениям, сделанным с помощью шаров-зондов) *е значительно превосходит величину вертикальных вихрей, то это обстоятельство вызывает сомнения в справедливости предположения о неизменности ветра с высотой в случае вращающейся жидкости.
Вертикальная составляющая будет в нашем движении постоянной и равна удвоенной угловой скорости вращения. Само собой разумеется, что в реальных атмосферных условиях редко встречается движение, аналогичное изучаемому движению вращающейся жидкости; понятно, что вертикальная составляющая вихря не будет лостояиной, она изменится с координатами так же, как меняется в урагане. Как мы увидим ниже, при изучении динамики рассматриваемого движения величина горизонтальных вихрей совершает два гармонических колебания с различными периодами около некоторого среднего значения. Это среднее значение зависит от угловой скорости вращающейся жидкости и * Б Ь е и Х. апб 1,ею р1е г1 Н.
ТЬе Ы1е Н1есогу о1 Бпг1есе А1г Опггепсз. Оагсьг166е, 1906. *е Н е ее е1 Ь е г 3 ТЬ. ппб Р г1 е г) ш а п п А. 01е Огбееепогбпппд бег Ме. сеого1о31есЬе Е)ешепге. Уего31. ОеорЬуз. 1пее. Оп1г. Ье1рг1я, Еег. 2, 1Г 6, 1914. А. Ф р и д и а и. Об атмосферных вихрях. Геофиэическии сборник, 3, 1916; О вертикальных н горизонтальных атмосферных вихрях, Журнал геофизики и метеорологии, 1920, РЬ 3.
ДИНАМИЧЕСКАЯ МЕТЕОРОЛОГИЯ И ФИЗИКА АТМОСФЕРЫ от высоты места, в котором изучается движение. От этих же параметров вависят и оба периода колебания величины горизонтальных вихрей. Отмечено, что такие «пульсирующие» вихри, по-видимому, частое явление в атмосфере. Перейдем к изучению вихревых линий. Интегрирование уравнений (36) позволяет получить следующие уравнения для вихревых линий: дв 2~х + —,— ьа = си д~ (43) да 2~у — —,— ~Ь = с„ д~ где с» н с, — произвольные постоянные для определенного значения време- ни «. Рассматривая горизонтальные вихревые линии на заданной высоте, мы получим семейство прямых, определяемых уравнениями Я»х — Й,у =- сове«.
Это означает, что в заданный момент и на заданной высоте вихревые линии будут паралельными прямыми, наклоненными к меридиану под углом, тангенс которого равен отношению да а'= д + ~Ь = ~у„ д« Ъ'= — — ~а = — ~х,. дЬ д» (44) Тогда уравнения (37) примут вид и = а' — ~у, Р = Ь'+ ~х, й=О, (45) где а' и Ь' — искомые функции г и». Легко видеть, что, зная а' и Ь' как функ- ции г и д можно определить координаты центра вращения, т.
е. найти функ- ции а иЬ. Очевидно, что при изучении движения вращающейся жидкости можно значительно упростить формулы (37), выразив функции а' и Ь' через две другие функции высоты и времени — а и Ь, которые связаны с координатами центра вращения соотношениями ТЕОРИЯ ДВИЖЕНИЯ СЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ В самом деле, для этого достаточно проинтегрировать систему уравнений (41), разрешив ее относительно а и Ь и считая а и Ь заданными функциями. Пусть а = аз, Ь =- Ьз — два частных решения системы (44), тогда общее решение этой системы можно записать в виде а = ае + С, (з) з1п ьз — С, (з) соз ~~, Ь = Ье+ Сз(г) сов ьз+ С,(з)з1п~г, где Сз и Сз — произвольные функции своих аргументов. Формулы (46) показывают, что во всех горизонтальных плоскостях з = с центр вращения описывает с угловой скоростью ь окружности вокруг центров с координатами х =- ае, у = Ьз, з =- с и радиусом, равным С (с) = -ус,(з>~.~~~.
в„-. - з о. ь., ~ * р. -р .„...,.з. Определение характеристической точки и ее перемещений зависит только от вида функций а'иЬ' иможетбыть проведенопри помощи динамического изучения движения вращающейся жидкости. 2. Переходя к условиям динамической возможности ортогонального движения сжимаемой жидкости, используем сначала условие незакручиваемости, которое должно выполняться и для нормальных движений и для полуконсервативных.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
