Дифференциальные уравнения турбулентного движения сжимаемой жидкости (1124010), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Составляя для ортогонального движения динамический градиент н турбулизирующий вектор (с помощью формул (9), (10) и (33)), будем иметь С, = — я — 2т,и, х-- Н = — 2т —, дз з — з дз Н, = О. (47) Условие незакручиваемости дает равенство дзв дз дз ~ 2тз(э — — — —, = 0; дзде дз дз ) (48) изучая это равенство, мы опускаем случай тз = О, т. е. случай, когда движение происходит по экватору *. Если тз + О, то, интегрируя уравнение (48), получим следующее решение для ш и = 7'(г) зр(г), (49) где ~ и зр — произвольные функции своих аргументов. Формула (49) показывает, что условие незакручиваемости значительно ограничивает произвол в выборе функции и (~, з).
з Разумеется, исследование этого случая ке представляет кикаккх трудкоотек, и мы опускаем его только ради краткости. 206 ДИНАМИЧЕСКАЯ МЕТЕОРОЛОГИЯ И ФИЗИКА АТМОСФЕРЫ Чтобы разделить ортогональное движение на нормальное и полуконсервативное, подсчитаем величину р; формулы (12) и (33) дают следующее выражение для р: )г = — и— (5О) Отсюда следует, что ортогональное движение будет нормальным, если ди/дс отлично от нуля, и полуконсервативным, если ди/дс =- О. Составляя для случая нормального движения турбомомент, приведенный градиент и два тепловых вектора с помощью формул ((5), (16) и (20), легко получим а, =- О, а„ = О, аз = Г 1 г с,=О 2тз 1(' ' сз = О, Ь, = — —, 1 1( ' с„=- О, 2тз 1 1 зс" 1 2 ! /з ф (фз 2тз1' 2тзг Ь, =-= — =,+ 1'$' .
1'ФЧ' — + — —,. - + у г )'" /зф 13 )зз(з з (52/ где — / (г), $ = з(з(С), / и = О. г ==/(г) ф(с), ю = О, (54) со = «о/(г) з р = е — — — у — — 1 — = з(з(1)г+ ро(С), 2тзф(с) зУ (с) г Г о(з 2тз Фо ' ОЗо Фо 1 (з) озо о Перейдем к случаю общего нормального движения. Очевидно, что тепловое условие (Ь) выполняется благодаря равенству (51). Так как з отлично от нуля, то, определяя стереоскаляр ) при помощи формулы (22) и стереовектор 6 при помощи формулы (23), находим х = О, 6, = О, а„ = О, а, = . — . Т' (53) Из этих формул следует, что условия объема выполняются и, следовательно, каковы бы ни были функции / (г) и з(з (1), динамически возможно ортогональное двиясение, для которого и определяется по формуле (49).
Определяя с помощью формул (д) удельный объем и давление, получим следующую систему, которая определяет общее ортогональное нормальное движение: ТЕОРИЯ ДВИЖЕНИЯ СЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ 2ст где 1, ф, Рс — пРоизвольные фУнкции своих аРгУментов *, а юс — пРоизвольная постоянная. Нетрудно видеть, что в ортогональном движении изобары на поверхности Земли (говоря иными словами, линии пересечении изобарических поверхностей с плоскостью г =- 0) будут семейством параллельных прямых; угол О между этими прямыми и осью Оу (т. е. направлением ветра) определяется равенством ~р' р) Етаф(с) ' Хотя 2та — очень малая величина, из этого равенства нельзя заключить, что угол О близок к 90', так как ар')1р = д)п н)д~ — также малая величина того же порядка, что 2т, **. Для определения ) (з) можно воспользоваться данными аэрологических наблюдений, проведенными в каком-нибудь месте Земли.
В самом деле, эти наблюдения определяют ю как функцию г, и следовательно, с помощью формулы (54) легко определить функцию 1 (з). Для определения ф (1) и и (1) нужно иметь барограммы в двух различных местах поверхности Земли. Действительно, предположим, что мы имеем барограммы в точке х = О, у = О, г =- 0 ив о точке х =.= х„у =. у„г = 0 на поверхности Земли. Первая барограмма даст р = Р (1) для первой точки, вторая— р = Р, (~) для второй точки. Из уравнений (54) получаем рс(с) = — '" (с). 2тахтф(1) — уГф'(1) = ю (Р,(1) — Р(1)).
Из этих двух уравнений легко определить р, (1) и ф (с). Перейдем к рассмотрению специального нормального движения. Второе условие (е) дает в этом случае три равенства: С„ = О, б, =-. О, в, = О. Комбинируя первое и третье из этих равенств, найдем —,, =/'(т)/(г). Это соотношение показывает, что в случае специального нормального движения функция ар (1) не должна зависеть от с, что несовместимо с нашим предположением; ар (р) отлична от нуля.
Итак, специальное нормальное ортогональное движение невозможно. е Кроме того, имеем ф фО. *' См. цитированную статью Хессельберга и Фрндмана. 2О9 ДИНАМИЧЕСКАЯ МЕТЕОРОЛОГИЯ И ФИЗИКА АТМОСФЕРЫ Условие полуконсервативности ортогонального движения состоит в том, что должно выполняться равенство до/д1 = О, другими словами, в случае полуконсервативного движения мы имеем и = /(з). и=О, и = /(з), ю = О, г Ф =.- ~ (з) р (х — — ~ — — — з 1 оз тз 2 3 З 1(з) 3 с (55) р — 2т,Ц(х — — ~ — — — )+ ре(11, е где 1, рз и Р— произвольные функции своих аргументов, а Ц (О) опреде- ляется равенством а Ц(с) = ~р з (56) В исследуемом случае изобары на поверхность Земли (з =-- 0) будут прямыми, параллельными направлению ветра.
Что же касается ветра, то он будет меняться по силе с высотой и не будет изменяться со временем. Легко заметить в ходе нашего изучения ортогонального движении, что все наши выводы глубоко изменились, если бы мы пренебрегли силой девиации, вызванной вращением Земли, т. е. если бы мы положили т:= 0*. Причина состоит в том, что уравнения гидромеханики, рассматриваемые лак функции т, будут иметь особенности в т = 0 **.
' з Случай з = О исследован з моей заметке, опубликованной з Сощрз. тена. Асаз!, зс1., 1916, р. 219; см. стр. 9 настоящей книги. з* Аналогичное обстоятельство лля козффн ниеатоз зязкости отмечено з ряде работ Озеео'а. Легко проверить, что для изучаемого движения д1т/дт = 0 и тз ~ О.
Таким образом, мы имеем специальное полуконсервативное движение; для рассматриваемого движения выполняются условия (д), так как з = = т = О = — 0 и дН~дт = О. Итак, специальное полуконсервативное движение возможно независимо от того, каков внд функции 1(з). Определяя удельный объем зо интегрированием уравнения (30), а давление р при помощи второй из формул (Й), найдем следующие равенства, которые и характеризуют специальное полуконсервативное ортогональное движение: ТЕОРИЯ ДВИЖЕНИЯ СЖИМАЕМОЙ ЯГИДКОСТИ 209 3.
Чтобы упростить и сократить вычисления, предположим в нашем изучении движения вращающейся жидкости, что гз и т, отличны от нуля. Напомним, что ось Ох направлена на север; легко увидеть, что предположение относительно тз и т сводится к следующему утверждению: место, в котором изучается движение атмосферы, находится на значительном удалении от полюса и от экватора. Исходя из этих гипотеа, положим, что величина (57) отлична от нуля. Отсюда следует, что все эти исключительные случаи можно легко изучить с помощью специальных вычислений. Более того, предположим, как и прежде, что ~ отлично от нуля, т.
е., что жидкость действительно вращается. Составим при помощи формул (9), (10) и (45) динамический градиент и турбулизирующий вектор для движения вращающейся жидкости дЬ' Ср — — т (~у — )' —— дГ С.= (1х+Ь) — —, да' дГ С, = — у — 2т1Ь' — 2т11х, да' дГЬ дЬ' дна' Нх— да д1да ' Н = — 2ТГГ".— т — + —, э дг дГда (58) Н, = О. Подставляя эти выражения в условие незакручиваемости (равенство (а)) и сравнивая коэффициенты при х и у в этом равенстве, найдем дЬ' дна' 2ТД+ т — — — =0 дг дГ да (59) 14 А. А.
Фрндн1н да' дГЬ' т — + — = О. дх д1 дх Из этих неравенств непосредственно получаем Н,=о, Н„=О, Н,=о. Это означает,что в силу условия незакручиваемости движение вращающейся жидкости будет барот р о п и ч е с к и м, и если двияГение баротропическое, то, очевидно, выполняется условие незакручиваемости. Интегрируя равенства (59), найдем тб' дà — — д~ (1) — 2ТДз, да' (60) дЬ' '+ —, = — у. (1). д1 ДИИАМИЧЕСКАЯ МЕТЕОРОЛОГИЯ И ФИЗИКА АТМОСФЕРЫ 21О где д и д — произвольные функции времеви ~. Легко видеть, что общее решение уравнений (60) можно записать в виде а'= йд(~) + А,(е) вдп т~ — А,(г) сов тд, Ь'= — — + дддч (С) + Ад (в) сов тЮ + Ад (г) вдп тЕ, 2тдьд (61) где йд и йв — функции 8, удовлетворяющие условиям тй, — й„=- ад (д), тй, + Йд = — дд(г),* (62) а Ад и Ад — произвольные функции г.
Комбинируя формулы (46) с форму- лами (бд), найдем после простых вычислений следующие равенства, кото- рые описывают перемещение центра вращения: а = дд (с) + — --- — сов тй — вдп тд + С, (-) вдп ~г — С, (г) сов ьд, 2тдг Ад (г) Ад (д) ш 2а 2и (63) Ь =-)д()) + 2 вдп тг — —,сов т1+ Сд(г) сов ьд+ Сд(г)вдп ьт, А, (д), Ад (г) где )д и дд — фупкции 1, удовлетворяющие соотяошепиям + ь" д )д (О~ ~д ь"д ~д Р)~ (64) а и = ~ + тз. Кроме того, чтобы упростить рассуждения, будем считать и отличным от нуля.
В случае если и было бы равно нулю, то в движении центра вращения могло бы появиться явление резонанса, а в выражениях для а и Ь вЂ” так называемые вековые члены. Рассмотрим теперь кииематический характер движения кииематичесского центра и центра вращения. Назовем в т о р и ч и ы м к и н е м а— т ич е с к им ц е н т р о и точку с координатами х„, ую зю определяемыми равенствами Ы (65) Вторичный кипематический центр перемещается в горизонтальвой плоскости, и его движение определяется движением вращающейся жидкости. Формулы (44) и (6д) показывают, что кинематичесний центр вращается вокруг вторичного кипематического цеитра угловой скоростью, рав- ТЕОРИЯ ДВИЖЕНИЯ СЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ 214 ной т.
Геометрическое место вторичных кинематических центров, соответствующих одному и тому же моменту и различным высотам, или в т ор и ч на я к ин е и а т и ч е с к а я о с ь, есть прямая, лежащая в плоскости, параллельной плоскости меридиана, и обрааующая с вертикалью угол Ок, такой, что со О„=— 2с, т Назовем вторичным центром вращения точку с координатами хю у„хю определяемыми равенствами хт = —.'- + 1, (с), у4 = 14 (с), г, ==. г. (66) Очевидно, что центр вращения вращается вокруг некоторой точки с угловой скоростью ~, в то время как эта последняя в свою очередь вращается вокруг вторичного центра вращения с угловой скоростью т.Переходя к понятию вторичной оси вращения, легко видеть, что эта ось — прямая, параллельная вторичной кинематической оси. Рассмотрим теперь, каковы должны быть движения вращающейся жидкости, чтобы они могли считаться нормальными.
Подсчитывая величину р, найдем да дЬ' р = — — (а' — ~у) — — (Ь'; — ~х), дс дс (67) откуда следует, что движение будет полуконсервативным, когда а' иЬ' зависят только от г и не зависят от С (а именно: да'/дС = О, дЬ'/дС = О). Перейдем сначала к общему нормальному движению.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
