Дифференциальные уравнения турбулентного движения сжимаемой жидкости (1124010), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Это второе предположение не имеет, как мие кажется, в основе своей каких-либо физических нли философских соображений и вводится исключительно в целях упрощения вычислений. Необходимо заметить, что миры Эйнштейна и Де-Ситтера являются частными случаями рассматриваемого предположения. Предположения 1) и 2) дают нам возможность написать дге в виде 4(ге = В' (дха4+ зш' хэйхе а+ зш' хг зшт хфх~~) + Ма~Ь44, (П) где В зависит только от х4, а М является, вообще говоря, функцией всех четырел мировых координат. Вселенная Эйнштейна — частный случай, получаемый из формулы (1)) заменой В' на — Ве/са н М на 1, где  — постоянныд (не зависящий от х4!) радиус кривизны пространства.
Вселенная Де-Ситтера получается, когда в формуле (П) заменим Ве на — Ве1се, а М на созх,: (Йс = — —, (4)ха + з1 п' х4 Иха + з!Па хг з1па хт 4Ьт) + Нх', .й 4К4 = — — 4(Ыха+ з1пах44(ха+ в(пахгз)птха<Ьа)+ соз' хг 4(хе. * (Пс) 4. Необходимо сказать еще несколько слов о тех интервалах, в которых заключены мировые координаты; иначе говоря, необходимо условиться, какие точки многобразия четырех измерений мы будем считать за различные. Не вхоДя в более подробные пояснения, условимся пространственные координаты изменять в следующих интервалах: х,— в интервале (О,я),х,— в интервале (Оь я), х,— в интервале (О, 2я); что же касается временной координаты, то'вопрос об интервале изменения ее оставим открытым, к нему мы вернемся в дальнейшем. е Придавая явтерраау Ыа размер аремевв, мы обоааачим его через ат; в етом случае настоянная я будет иметь раемервсстью длину, делеиаую иа массу я в едявяцал СС8 будет равна 1,87.18~к См.
1.а а а М. 01е Ве1а11т14 а1есяеспе, Вд. 11, Вга|шасЬме1я, 1921, 3. 185. Рклятивистская космология 1. Пользуясь уравнениями (А) и (С) в предположении, что гравитацион- ные потенциалы определяются равенством (П), и полагая, в уравнениях (А), что 1=1, 2, 3, й=4, найдем ам , ам , ам В (х,) — = В (х,) — = В (х,) — = О. Эти равенства дают два случая: 1) В' (х,) = О, В не зависит от х, и является постоянной; назовем этот случай с т а ц и о н а р н ы м и и- р о м и 2) В' (х4) + О, М зависит только от х,; назовем этот случай нестационарным миром. Обращаясь сначала с стационарному миру, выпишем уравнения (А) для ~, й = 1, 2, 3 в предположении различных индексов; уравнения эти дадчт нам такую систему формул: д~м дм — — сСбх,— = О, дч зла ' ах,= агм дм — — сСбх, — = О, а*,а а;= ам дм алиев — сСбхо — = О. аз,= Интегрируя эти уравнения, найдем М = А (хю х4) яга х1 яш хз + В (хз, х4) яш х1 + С (хэ, х4), (1) где А, В, С вЂ” произвольные функции своих аргументов.
Разрешая обыч- ными приемами уравнения (А) относительно тензора Вы, исключая из полученных и неиспользованных еще уравнений неизвестную плотность о р и подставляя выражение (1) для М в эти уравнения, мы после длинных, но элементарных вычислений найдем, что для М возможны следующие два выражения: (2) М = (Азха+ Во) соя хы (3) где Мо, Ао, Во — постоянные величины. В случае, когда М равно постоянному числу,мы имеем для стационарного мира случай цилиндрического мира. При этом удобнее оперировать гравитационными потенциалами, получаемыми из формулы (П); определяя плотность н величину Х, получим известный результат Эйнштейна: сз 2 4~Р— р= —, Х~' " ~А~ ' и где М вЂ” общая масса всего пространства. о Плотность р являеюя р яас иолэвествой фуакциой мировых координат з~, *„ Хв, эо О КРИВИЗНЕ ПРОСТРАНСТВА В другом возможном случае, когда М определяется из формулы (3), мы при помощи рационального изменения х, * приходим к шаровому миру Де-Ситтера, в котором М = соз х,; пользуясь формулой (Вз), найдем следующие соотношения Де-Ситтера: Зсз олз = — ~~~~ (с(х~+ зш~ х~Ых~~ -(- з1пз х з1п~ х~с(х~~) + с(х~~.
(Нз) Нашей задачей является определение В и р из уравнений (А). Очевидно, что уравнения (А), в которых значки различны, ничего не дадут; уравнения (А), в кбторых ( =- сс = 1, 2, 3, дадут одно соотношение: Л'з ЗЛЛ" сз — + — + — — Л= О Лз Лз Лз (4) а уравнение (А), в котором с = Л = 4, даст равенство ЗЛ' Зсс — + — — Л = хсзр Лз Лз причем Так как Л' + О, то интегрирование уравнения (4) после замены для удобства х, на г даст яам уравнение А — Л + — Лз (6) где А — произвольная постоянная. Из этого уравнения В получится путем обращения некоторого эллиптического интеграла, т. е.
путем решения ' Указанное изменение производится с помощью формулы: Лес = у'А,зс + ЛссЬю Таким образом, стационарный мир может быть или ц и л и н д р и ч е— ским миром Эйнштейна или сферическим миром Де-Ситтера. 2. Обратимся теперь к изучению другого возможного мира — нестационарного. В этом случае М есть функция только хс', соответственно изменяя х„мы можем без ограничения общности положить М = 1; имея в виду большие удобства наших обычных представлений, напишем СЬз в форме, аналогичной (В1) и (Вз)с РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КОСМОЛОГИЯ относительно В уравнения (7) где В и а — постоянные; при этом, конечно, надо помнить об обычных условиях изменения знака у квадратного корня. Уранение (5) дает нам возможность определить р: р=— ЗА кЛ~ (6) через всю массу М пространства; постоянная А выразится равенством А=— кМ (9) принимая, что масса М вЂ” величина положительная, мы и для А получим положительное значение.
3. Изучение нестационарного мира основано на изучении уравнений (6) и (7); при этом, конечно, величина Х не определяатся сама собой, и мы при изучении уравнений (6) и (7) будем предполагать, что Х может принимать любое значение. Определим те значения переменной х, при которых квадратный корень, входящий в формулу (7), может изменить свой знак. Ограничиваясь случаем положительного радиуса кривизны, нам достаточно рассмотреть значения для е, при которых подкоренное выражение обращается в нуль или бесконечность в и н т е рв а л е (О, сс) дл я х, т. е.
для положительных х. Одно из значений я, при котором квадратный корень в формуле (7) обращается в нуль, есть значение х = 0; другие значения х, при которых квадратный корень в формуле (7) может изменять свой знак, определятся при изучении положительных корней уравнения А — х+ —,з'=О. зы Обозначая Х/Зсз через у, построим семейство кривых третьего порядка в плоскости (х,у), определяемое уравнением ухз — х + А = О, (10) где А — параметр семейства, меняющийся в интервале(0, сс). Кривыенашего семейства, показанные на рисунке, пересекают ось хвточке х = А, у = 0 и имеют максимум в точке ЗА Я =в 2 Рассмотрение чертежа показывает, что при отрицательных А уравнение О КРИВИЗНЖ ПРОСТРАНСТВА 235 А — х + (Л/Зсз)хз = О имеет один положительный корепь х„лежащий в иптервале (О, А); рассматривая хс как функцию Л и А: хо=8(Л А), найдем, что 8 — возрастающая функция от Л и возрастающая функция от А.
Далее, если Л лежит в иптервале (О, '/Р (с'/Аз)), то уравнение наше будет иметь два положительных корня: хз = 8 (Л, А) и х,' = 8 (Л, А), причем х„лежит в интервале (А, з/з А), а х' — в интервале (% А, ос); 8 (Л, А) будет возрастающей функцией как от Л, так и от А; 8(Л, А) будет убывающей Д функцией от Л и от А. Наконец, если Л больше А/Р (сз/А'), то наше уравнение ЮФ не будет иметь положительных корней.
У Приступая к исследованию формулы (7), сделаем одно замечапие: пусть в УХ пачальпый момент, т. е. при г = г„у$т радиус кривизны равен Л,. В этот на- д, чальный момент квадратный корень, стоящий в формуле (7), будет иметь / ' Х у А ~ Р"..Р . знак плюс или минус, смотря по тому, возрастает ли радиус кривизны с течепием времени при з = г, или нет. Изменяя время г па — ц мы всегда можем приписать этому квадратному корню знак плюс, иначе говоря, без ограничения общности, можем время выбрать так, чтобы радиус кривизны в рассматриваемый начальный момент ~ = г, возрастал с течением времени.
4. Рассмотрим случай, когда Л ) А/, (с'/А'), когда, следовательно, уравпение А — х + (Л/Зсз)хз = О не имеет положительных корней. В атом случае уравнение (7) перепишется следующим образом: г — $~ — — — пх, — *+ у причем, согласно замечанию, сделанному в коице предыдущего пункта, квадратный корень будет всегда положителен.
Отсюда следует, что Л будет возрастающей функцией от г; па начальпоезначение радиуса кривизны В, никаких в этом случае ограничений не налагается. Так как радиус кривизны не может быть меньше нуля, то, умепьшаясь от В, с уменьшением г согласно формуле (11), радиус кривизны через РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КОСМОЛОГИЯ некоторый промежуток времени г дойдет до нуля. Пользуясь очевидной аналогией, будем называть промежуток времени, понадобившийся, чтобы радиус кривизны от О дошел до Л„в р е и е н е и, п р о ш е д ш и м о т с о т в о р е н и я м и р а е; этот промежуток»' определяется равенством (12) Условимся в дальнейшем рассматриваемый мир называть м о н о т о иным миром первого рода.
Время, прошедшее от сотворения монотонного мира первого рода, рассматриваемое как функция Л„А, )о, обладает следующими свойствами: 1) оно возрастает с увеличением Ло; 2) оно убывает с увеличением А, т. е. с увеличением массы материи пространства; 3) опо убывает с увеличением Х. Если А ) '/,Ло, то при любых Х время, протекшее от «сотворения мира», конечно, если А ~( о/»В», то всегда найдется такое характеристическое значение Х = Х, = «/о(с»/А»), что с приближением )о к этой величине, время, прошедшее от «сотворения мира», будет беспредельно возрастать. - 5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
