Дифференциальные уравнения турбулентного движения сжимаемой жидкости (1124010), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Для определения Р, ~ ив. воспользуемся уравнениями (А), полагая 1, й — — 1,2,3. Вычисление дает 3 1 1двМ дМ) 1 — ии ~~~~+ ~~) з 1 з з 1 дзм дзМ 2 1 дм 1 — Хдз — — „( —, + —,)+-„-,— „= ~в Вычитая первое уравнение этой системы из второго, получаем двР двф дзз дзз О ВОзможности миРА с пОстОЯннОЙ ОтРиЦАтильнОЙ кРиВизнОЙ а4з Таким образом, в случае, когда не все величины В, аа, аз равны нулю, между Х и кривизной пространства существует соотношение )„а(з (5) С учетом (5) уравнения (2) сводятся к одному-единственному уравнению, определяющему функцию ао а именно: д — + — = 2~.
да, а, (6) 2. Ниже мы должны различать два случая: 1) и+ О и 2) и = О. В пер- вом случае, как показывают формулы (Па), (1), (3), можно без ограничения общности принять величину и равной единице; именно, применяя под- становку х, =- ар (х,), всегда можно сделать и = 1. Учитывая это, полу- чаем из (6) 1 =.— +хз. Хо(ха) (7) Чтобы определить р, положим в уравнениях (А) а' = й == 4; простое вычисление показывает, что в нашем случае р становится равным нулю. Следовательно, первый случай характеризуется нулевой плотностью вещества и интервалом ха аа з (Ра) Переходя ко второму случаю (и = О), находим для ( уравнение Хо(ха) (8) хз И в этом случае вычисление дает для р нулевое значение.
Таким образом, второй случай также характеризуется нулевой плотностью вещества и интервалом К (1 з+ ) з+ ) з) + (аа(ха) ха+ на(ха) ха+ на(ха) ~~ ( з =Р хз 8 Наконец, рассмотрим случай, когда все три коэффициента и, аа, аз обращаются в нуль, так что М не зависит от х, и хз. Интегрируя (2), мы снова приходим к двум случаям: ) Лз,) М Ма (ха) хз 2) ),Аз=1, М=М(х), где Ма и М вЂ” произвольные функции своих аргументов. Интервал для первого случая есть частный случай формулы (Па); предыдущее вычисление показывает, что плотность вещества здесь равна нулю. ЗЬ А.
А. Фридман РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КОСМОЛОГИЯ Л а ',+ Ь,'+л,' з (Вз) Таким образом, этот случай дает отрицательное значение р. Резюмируя, можно сказать, что с т а ци о на р ный мир с постоянной отрицательной кривизной пространства возможен только при нулевой или отрицательной плотности вещества; интервал, соответствующий этому миру, выражается приведенными выше формулами (П,), (П,) и (П,). 3. Обратимся теперь н случаю нестационарного мира.
Заметим прежде всего, что М здесь есть функция только от хс; соображения, не раз проводившиеся ранее, показывают, что М можно приравнять единице. При этих предпосылках мы без труда находим, что уравнения (Л) для 2 = 1, 2, 3, й = 4 и для 2 + й, г', й = 1, 2, 3 удовлетворяются сами собой. Полагая в них 2 = й = 1, 2, 3, мы получаем дифференциальное уравнение второго порядка, определяющее функцию Л (тс), а именно: Л'2 2ЛЛ" 1 (9) Это уравнение. совершенно аналогично нашему прежнему уравнению (уравнение (4) цитированной работы); последнее переходит точно в (9), если положить с = 1. Следовательно, всю дискуссито уравнения (4) можно перенести на только что написанное уравнение. Поэтому мы не будем приводить подробностей, а вычислим лишь плотность вещества р для нестациона рното мира.
Записывая для случая нестационарного мира интервал в виде (Вл ), мы получаем для Л дифференциальное уравнение Л'2 2ЛЛ" с' — + — — — — А=О. Лз Л2 Лз ° Нз возможыосгь этого случая мыс указал В. Фок. Второй случай * приводит, как нетрудно убедиться, к плотности вещества, отличной от нуля.
Чтобы решить, будет ли при этом плотность положительной или отрицательной, необходимо использовать тот вид интервала, который соответствует индефинитной квадратичной форме и выражается формулой (П"). Проводя вычисления с гравитационными потенциалами формулы (П"), убеждаемся, что в рассматриваемом случае М является функцией только хс; следовательно, можно, не нарушая общности, положить М = 1 (для этого нужно лишь ввести вместо хз координату л, = ср(х4)). Вычисляя в этом предположении плотность р, находим с2 2 Л= — —, Л2 2 р= кЛ2 О ВОЗМОЖНОСТИ МИРА С ПОСТОЯННОЙ ОТРИЦАТВЛЬНОЙ КРИВИЗНОИ 343 Интегрирование этого уравнения дает нам соотношение А+В+ —,1Р сз где А — произвольная постоянная.
Вычисляя плотность вещества, полу- чаем ЗА р= эз ((О) Формула (10) показывает, что при положительной постоянной А плотность вещества также положительна. Отсюда следует возможность нестационарных миров с постоянной отрицательной кривизной пространства и с положительной плотностью вещества. !б' 1. Обратимся к обсуждению физического смысла результата, полученного в предшествующих параграфах. Мы убедились, что космологические уравнения Эйнштейна обладают решениями, соответствующими миру с постоянной отрицательной кривизной пространства.
Этотфакт указывает на то, что одних только космологических уравнений еще недостаточно, чтобы решить вопрос о конечности нашего мира. Знание кривизны пространства еще не дает нам непосредственных указаний на его конечность или бесконечность. Чтобы прийти к определенному заключению о конечности пространства, необходимо сделать некоторые дополнительные уточнения. В самом деле, мы называем пространство конечным, если расстояние между двумя произвольными несовпадающими точками не превышает некоторого положительного постоянного числа, какова бы нн была эта пара точек.
Следовательно, прежде чем рассматривать проблему конечности пространства, мы должны еще условиться, какие точки этого пространства следует считать разными. Например, если мы будем рассматривать шар как поверхность трехмерного евклидова пространства, то точки, лежащие на одной параллели с разностью долгот в 360', мы сочтем совпадающими; напротив, если бы мы рассматривали эти точки как различные, то получили бы многолистную сферическую поверхность в евклидовом пространстве. Расстояние между двумя произвольными точками на сфере не превосходит некоторого конечного чпсла; если же эту сферу понимать как бесконечно многолистную поверхность, то это расстояние можно сделать как угодно большим (сопоставляя соответствующим образом точки разным листам).
Отсюда ясно, что прежде чем приступать к рассуждениям о конечности мира, необходимо уточнить, какие точки следует считать совпадающими и какие — различными. Рклятивистскдя космолОГия 2. В качестве критерия для несовпадения точек может служить наряду с прочими принцип «боязни привидений». Под этим мы подразумеваем аксиому: между двумя разными точками можно провести одну и только одну прямую (геодезическую) линию. Принимая этот принцип, уже нельзя считать разными две точки, соединяемые более чем одной прямой линией. Например, вследствие этого принципа два конца одного диаметра сферы не будут отличаться друг от друга. Разумеется, этот принцип исключает возможность привидений, так как привидение появляется в той я<е точке, что и производящий его прообраз. Только что рассмотренная формулировка понятия совпадающих и не- совпадающих точек приводит к представлению о том, что пространства с положительной постоянной кривизной являются конечными.
Однако упомянутый критерий не позволяет сделать вывод о конечности пространств отрицательной постоянной кривизны. Зто дает основание утверясдать, что одних только космологических уравнений Эйнштейна, без дополнительных предположений, еще недостаточно для того, чтобы сделать вывод о конечности нашего мира. Петроград, ноябрь 1924 г. МИР КАК ПРОСТРАНСТВО И ВРЕМЛ«о «Однал Ои, когда ночь покрыла небеса своею ело нчою, зназюнитнй французский фил коф декарт, у г тупенек домазинеа ест ици свого сидевший и на мрачный горизонт е превеликим енин ние гнвпрягций,— некий прохокеий подеппгпил к нему с вопросом: гскажи, мудрец, сколько звезд на еем небем — виврзавец, — ог гете пвовал сей,— никто необьяпгнозо обнять не молевтг, Сии е превеликим огнем произнесенные олова гознмели на гцюхолеего желаемое бейтлдзт.
~Гисторические материалы Федота Кузь- мине Пртткооя (дедоп 1. В только что приведенном разговоре Декарта с прохожим прохожий «зразумился» и успокоился. Но на самом деле в человеческой истории стремление «счесть звезды», иначе говоря, построить картину мира, никогда не давало людям покоя, и, как бы ничтожна ни была сумма людских знаний, всегда находились среди мыслящего человечества илюбопытяые прохожие и более, нежели Декарт, обходительные мудрецы, пытающиеся на МИР КАК ПРОСТРАНСТВО И ВРВМЯ 245 основании постоянно ничтожных научных данных воссоздать картину мира.
В ХХ в. человек попытался снова, на основании тех сведений о мире„ которые естествознание ко времени нашей эпохи накопило, создать общую картину мира, правда, мира чрезвычайно схематизированного и упрощенного, напоминающего настоящий мир лишь постольку, поскольку тусклое отражение в зеркале схематического рисунка Кельнского собора может напомнить нам сам собор. Эта попытка «счесть звезды» и создать общую картину мира носит мало соответствующее название п р и нц и па о т н осител ьности. 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
