Дифференциальные уравнения турбулентного движения сжимаемой жидкости (1124010), страница 46
Текст из файла (страница 46)
Арифиетивации иреотраиетва 1. Геометрическое пространство, или просто пространство, есть совокупность вещей, называемых точками, линиями, поверхностями, углами, расстояниями и т. п., стоящих между собой в определенных отношениях, устанавливаемых системой аксиом и вытекающими из этих аксиом теоремами**. Геометр вческому пространству может отвечать физическое матерна льное пространство в том смысле, что каждой вещи геометрического пространства может соответствовать какой-либо обраа пространства физического; соответствие физического пространства геометрическому может быть осуществлено весьма многоразличными и часто фантастическими снособами— * См. прекрасную статью В ц и 2 е.
Маавв цпд Меввеп.— Епсус1. Ма1!ь Гт!вввп всва11еп, Вд. е, 1904. ее Н 11 Ь е т т В. Всцп41ааеп дет СеошеЫе. 1912. МИР КАК ПРОСТРАНСТВО И ВРЕМЯ 253 достаточно вспомнить многообразные интерпретации так называемых неевклидовых геометрий, интерпретации, оперирующие с простейшими физическими образами. Мы увидим ниже, что и теория относительности есть тоже грандиозная интерпретация геометрического пространства четырех измерений, интерпретация, оперирующая уже не с простыми, а с весьма сложными физическими образами. Необходимо здесь же указать, что физическое пространство есть пространство материал ьное, что все образы пространства геометрического интерпретируются в физическом пространстве или материальными объектами, или же материальными действиями с ними.
Точки нашего (трехмерного) пространства обладают все свойством иметь определенное положение в пространстве, иначе говоря, могут Отличаться друг от друга. Арифметизируемзтот класс свойств, приписав каждой точке пространства определеяную тройку чисел; каждой тройке чисел будет отвечать одна и только одна точка пространства. Подобную арифметизацию назовем ради краткости арифметизацией пространства. Процесс арифметизации пространства совершенно произволен; выбор упомянутых троек чисел ничем наперед неограничен. Установим, каким образом, выбрав один способ арифметизации пространства, мы можем перейти к какому-либо другому способу арифметизации.
Пусть в первом случае точке Р пространства отвечала тройка чисел хз, х„хз., пусть во втором способе той же точке Р пространства будет отвечать другая тройка чисел х„хз, хз; тогда, очевидно,что по первой тройке можно будет определдть вторую тройку. Сделав подобное определение для всех точек Р, будем иметь соотношения х, = /,(х„хз, хз), Хз — — /з(хн хз, хз) (3) Хз = /з(хм хю хз) Тройки чисел, при помощи которых мы арифметизируем пространство, называются координатами (обобщенными); переход от одного способа арифметиаации пространства к другому называется и р е о б р а з ованием координат. 2. Весьма важно с должной ясностью представить себе полный проиавол арифметизации пространства и не связывать арифметизацию пространства с установлением определенной обычной системы координат, например прямоугольных, прямолинейных, полярных или вообще криволинейных координат.
В самом деле, установление той или иной системы координат требует уже знания известных свойств вещей, составляющих пространство; так, например, установление прямоугольных прямолинейных координат требует знания прямой линии, свойств перпендикулярности и длины прямолинейного отрезка, следовательно, требует целого ряда аксиом МИР КАК ПРОСТРАНСТВО И ВРЕМЯ 255 «доска» с написанными на ней тремя числами, отвечающими этой точке. Мы так свыклись с этой арифметизацией фиаического пространства, что совершенно не вдумываемся и не замечаем ни ее сущности, ни ее проиавола. Между тем названия или нумерация улиц, домов, этажей, квартир являет собой пример арифметизацин физического пространства, поражающий своим произволом (особенно в наших уездных городах и в МО- скве); точно так же верстовые столбы и межевые или триангуляционные знаки также являются арифметизацией части физического пространства нашей Земли; еще более полно арифметиаация огра>кается на градусной системе географических карт.
Следует отметить, что арифметизация пространства не имеет ничего общего ни с измерением, ни даже с оценкой, так как мы не определяем, что означает понятие больше или меньше в приложении к положению точки в пространстве. 4. Устанавливая вещи, составляющие пространство, и выясняя их взаимные отношения, мы можем разделить свойства вещей пространства на два разряда. Одни будут целиком зависеть от избранной (всегда по нашему произволу!) арифметизации пространства, другие останутся неизменными, как бы мы ни арифметизировали пространство.
Первые вещи и свойства условимся нааывать н е с о б с т в е н н ы м и, вторые — с о бственными. Изучая в геометрическом или физическом пространстве несобственные его свойства, мы, в сущности говоря, будем исследовать данный способ арнфметнэации пространства, и только когда мы перейдем к собственным свойствам, только тогда мы будем изучать пространство, как таковое, вне зависимости от произвольно установленной нами его арифметизации.
Из сказанного понятно, насколько важно для нас установление собственных вещей и их свойств в пространстве. Не следует, однако, думать, что изучение несобственных вещей и свойств есть ненужный балласт и ошибка; без знания сферической астрономии невозможно было бы устанавливать законы движения небесных тел, а между тем сферическая астрономия имеет предметом своим как раз несобственные свойства фиаического звездного пространства, определенным образом арифметизированного. Собственные свойства пространства могут быть выражены суждениями, форма которых не изменяется при переходе от одной арифметнзации пространства к другой, по формулам (3). Этого рода обстоятельство выражают словами, что собственные свойства пространства н н в а р и а нт н ы по отношению к преобразованиям координат по формулам (3).
Мы увидим в дальнейшем, каким образом на наших формулах и рассуждениях отразится указанная инвариантность собственных свойств пространства. 5. После того как пространство тем или иным способом арифметизировано, нетрудно аналитически определить кривую иля поверхность Рклятивистскхя кОсмОлОГиЯ 256 пространства. Кривой будет называться совокупность точек, для которых координаты определяются равенствами х, = «р« (и), х2 = — «Р2 (и), хз = «Рз (и), (4) п о в е р х н о с т ь ю будет называться совокупность точек, для которых координаты определяются равенствами х, = «рз(и, з), х, =.. «рз(и, г), (5) х, = «р«(и, з), причем и, и являются произвольными параметрами (переменными).
Исключая из равенства (4) параметр и, получимуравнения кривой в виде двух равенств: Ф, (х„х2, хз) = О, Ф, (х«, х2, х,) =. О. Исключая из равенств (5) параметры и, з, получим уравнение поверхности в виде равенства Ф(х„х„хз) = О; из только что сказанного ясно, что две поверхности пересекаются по кривой и что всякая кривая есть пересечение двух поверхностей.
Таким образом, установление понятий о кривой и о поверхяости требует лишь арифметизации пространства, но не требует знания никаких свойств пространства; вместе с тем очевидно, что вид уравнений (4) и (5) существеннейшим образом зависит от способа арифметизации пространства. Возвращаясь н арифметизации пространства, указанной на рис. 1 и 2, мы видим, что кривая х«=1, х,=-и и кривая рааличны (первая в обычной геометрии — прямая, вторая — окружность). Нетрудно видеть, что свойство кривой содержать в себе некоторую точку пространства (проходить через точку) есть свойство собственное, точно так же свойство поверхности содержать в себе некоторую кривую (проходить через кривую) есть свойство собственное, инвариантное по отношению к преобразованию координат.
й' 12. Метрика преетраметпа 1. Двум любым точкам пространства Р и Р' сопоставляется особое число, называемое расстоянием этих точек. Тан как эточисло вполне определяется, коль скоро дано положение точек Р и Р', т. е. их координаты: (х« Х2 хз) и (Х1 хз хз) МИР КАК ПРОСТРАНСТВО И ВРКМЯ 257 то расстояние двух точек Р и Р' будет функцией укаэанных шести чисел (двух троек чисел); обозначая число, выражающее расстояние двух точек Р и Р' символом (Р, Р'), будем иметь (Р, Р ) =- В (хм х„х,; х, х, х ), (6) при этом мы будем считать расстояние инвариантным свойством двух точек; функция 0 будет, само собой разумеется, эависеть от выбора координат, т. е. от способа арифметизации пространства.
Если при выбранной арифметизации пространства нами устанавливается функция ад, то мы говорим, что метрика пространства определена; само собой ясно, что, определив метрику для одной системы координат, нетрудно уже при помощи формул (3) определить метрику для любого другого способа арифметизацин пространства. Обращаясь к рис. д и 2, определим для первого способа арифметнэации двумерного пространства расстояние точек Р(х„ха) н Р'(хг х',) следующим образом: (Р, Р ) = у'(х',— ха)а+ (х',— ха)', тогда для второго способа арифметизацни двумерного пространства будем иметь (Р,Р') = у' х' + ха — 2х',х, соэ (х' — х,). Обе эти формулы дают нам наше обычное (эвклидово) расстояние двух точек в прямоугольных прямолинейных и в полярных координатах. 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
