Дифференциальные уравнения турбулентного движения сжимаемой жидкости (1124010), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Существуют свойства пространства, иа которые проиавол р пе влияет; зти свойства называются обладающими и а с ш т а б в о й и и а а. риа втвостью. Опи играют большую роль Р теории тУеуря. Мы, однако, ве будем останавливаться па вопросе о масштабяой иявариавтпости, так как зто перегрузит нашу. статью новыми понятиями и термипамя, которыа будут лишены какого-либо конкретного содержавия, ибо ии математическим аппаратом, ви примерами ови подкреплены ие будут.
262 Рклятивистская кОсмОлОГия 6. Чтобы сделать яснее процесс физического исследования метрики, разберем его подробнее для случая двумерного пространства. Только что мы видели, что нам нужны три промера. Таким образом, выберем, кроме точки Р, еще три точки ЄЄЄвесьма к ней близкие; сделав промеры, определим три расстояния (очень малые длины дуг кривых) з„гз, зз точки Р до точек ЄЄРз. Для выяснения метрики пространства нам нужно будет так или иначе пространство арифметизировать; выберем какой-либо способ арифметизации. Пусть при этом способе точка Р имеет координаты (х„х,), а точки ЄЄР, пусть имеют координаты (х, + Ь„х, + Ь,), (х, + Ь„х, + Ь,), (х, + Ьз, хз + Ьз); тогда формула (8) даст нам три равенства: з, = Кддйз + 2Кдз)ддЬд + Кдзйз,, зз = КИЬ~ + 2КдзЬзйз+ Кззйз зз = КИЬз + 2Кдзйдзйз + КиФа.
РедпаЯ этУ системУ УРавнений относительно К„, К,з, Кзю опРеделим метрику пространства. Решить эту систему уравнений всегда возможно, если точки не совпадают друг с другом; на этом детальном пункте я, к сожалению, подробнее остановиться не могу. То, что было сейчас с достаточным педантизмом описано, происходило в Египте, когда практическая жизнь и религиозные потребности устанавливали основания нашей евклидовой метрики.
Вообразим на минуту, что мы неестественно сплющились и подобно поверхностным теням ядивем на большом шаре *; положим, что, перейдя в двумерное существование теней, мы все же умеем измерять физические длины дуг; положим, что для арифметизации нашего двумерного пространства (шаровой поверхности) мы применяем числа следующим образом: вводим обычными приемами дополнение до 90' широты др и долготу )д на нашем шаре радиуса В, затем для любой точки Р выбираем два числа х, и хз по формулам х, = В<р, х, = Вьбп <рз)д, где дрз есть дополнение 90' широты некоторой точки Рз(х„= В~уз), в окрестности которой мы производим свои наблюдения. Положим, что весьма большой ряд тщательно произведенных промеров дал нам следующее выражение для ддзз: здвз (хд/я) ~ з д ашз (хдз/ я) з' Формула эта, как легко видеть, является обычной формулой, выражающей длину бесконечно малой дугина сфере: ддзз = Вздйрз + Вз здпзуйдз.
Если радиус сферы невелик по сравнению с областью, населенной тенями, то полученная формула вскоре, при достаточно болыпом числе промеров в разных точках мира теней, даст тамошним геометрам возмож* Это сравнение привел в одной иа своих по обынноведщю блсстявзиа популярных лекций цо прнипипу относительности профессор О.
Д. Хвольсон. МИР КАК ПРОСТРАНСТВО Н ВРРМЯ 2бэ ность определить В, т. е. радиус сферы, и, таким образом, значительно подвинуться в изучении того двумерного пространства, которое эти тени занимают. Но дело для наших теней значительно ухудшается, если занимаемая ими область' будет очень мала по отношению к радиусу В сферы, того отношения: з1пз~: Мп' —" будет близко к единице, ибо х, будет близко к х,ю т. е. х, — х,о будет очень мало по сравнению с В; значит все будет происходить так, как будто В = со и сфера превращается в плоскость. Наши сферические тени склонны будут подвергать гонению вольнодумцев, которые усомнятся в том, что их пространство пе есть плоскость, а является сферой, только сферой весьма большого радиуса, и понадобится много сферических веков, чтобы тени толпы поняли бы сферичность своего мира.
Мы — трехмерные существа — находимся в полон~енин, аналогичном двумерным теням, живущим на сфере очень большого радиуса, ибо все наши промеры непрестанно убеждают иас в превосходном согласии метрики нашего пространства с евклидовой метрикой, и нужны были огромные астрономические расстояния или те идеи, которые внесла с собой теория относительности, чтобы мы поставили под сомнение вопрос о метрике нашего пространства. 7.
Итак, с первого взгляда кажется, что, исследуя наше физическое пространство и физическую длину, мы имеем воэможность беэ какого-либо произвола однозначно судить о метрике того геометрического пространства, картиной которого(интерпретацией) является изучаемое нами физическое пространство. Но не следует упускать иэ вида целый ряд произвольных условностей, вводимых нами, когда мы, с одной стороны, интерпретируем геометрическое пространство и его образы при помощи образов физического пространства, а с другой стороны, когда мы отождествляем физическую длину с геометрической. В физическом материальном пространстве мы интерпретируем геометрические точки с помощью тех или иных материальных объектов; довольствуясь грубой интерпретацией, мы «изображаем» точки при помощи малых материальных тел, расположенных в нашем физическом пространстве (сравним точки на бумаге, геодезические знаки на земной поверхности и, наконец, для больших областей пространства, небесные тела).
Интерпретируя более тонко, мы определяем точки как места пересечения двух достаточно узких световых пучков, т. е. тоже при помощи более тонких, но все же материальных объектов. Мы можем, однако, интерпретировать геометрические точки совершенно иными образами материального мира и при такой интерпретации получить даже в узких, нам доступных областях нашего физического пространства совершенно впые представления о его геометрических свойствах, правильнее, о свойствах геометрического пространства, которое интерпретируется пространством физическим. Рилятивистская космология 264 Еще больший произвол заключается в установлении физической длины. Здесь, если не вставать на точку зрения целесообрааности, возможны самые разнообразные методы установления физической длины, а тем самым возможны и разнообразные определения метрики того пространства, интерцретацией которого является наше физическое пространство.
Интерпретируя геометрическую точку не обычным образом в нашем физическом пространстве, устанавливая особое понятие о физической длине, мы зкспериментально придем без всякого затруднения к тому, что метрика нашего пространства не есть метрика евклидова, а есть метрика Лобачевского или какая-либо иная. Таким образом, приходится отбросить возможность однозначного и не зависящего от нашего произвола ответа на вопрос о метрике (а равно, конечно, и о других свойствах) геометрического пространства, отвечающего нашему физическому. Этот вопрос вообще приобретает смысл лишь после того, как установлена интерпретация вещей геометрического пространства, при помощи физических материальных образов, а равным образом после того, как определена физическая длина и сделано предполмкение об идентичности ее с длиной геометрической.
Раз зто уже установлено, возникает вопрос об определении метрики пространства; задача геометра- естествоиспытателя заключается в установлении более точных методов исследования метрики пространства, позволяющих менее грубыми приемами, чем зто описано в предыдущих пунктах, установить его метрику. Мы увидим, как принцип относительности, введя в рассмотрение всемирное тяготение, позволил по столь тонким явлениям, как незначительное, оставшееся необъясненным движение перигелия Меркурия или как ничтожное отклонение солнечного луча, проходящего вблизи солнечной поверхности, сделать ряд заключений о метрике нашего пространства.
Естественно возникает вопрос, чем же обусловлена та или иная физическая интерпретация геометрического пространства и вещей, в нем находящихся? Здесь, вероятно, темные принципы целесообразности или экономия мышления играют первостепенную роль — я не буду и пытаться разбираться в зтих сверхнатуральных вопросах, да и для темы настоящей статьи разбираться в них не представляется нсобходимьем. Мы принимаем как нечто готовое ту интерпретацию геометрии, с которой свыклись физики е. Коснувшись вопроса о физическом пространстве, мне представляется полезным обратить внимание на то обстоятельство, чтофизическое пространство как пространство материальное по самому существу своему немыслимо без материи; пустое физическое пространство есть просто попзепз, ибо в таком пространстве нельзя будет изобразить, интер- е 'Ган,Гнапрнмер, очень.
малое материальное тело ннтерпретнрует (с изаестюем прнблнженнемК точку геометрического пространства, луч света нвтерпреткрует прямую и т.~н.йл МИР КАК ПРОСТРАНСТВО И ВРЕМЯ 2бб претировать ни одну из вещей геометрическогопространства — ведь в физическом пространстве мы условились интерпретировать вещи геметрического пространства материальными образами. й 4. Крнввзпв пространства 1. Приступая к изложению одного из наиболее трудных геометрических представлений, а именно представления о кривизне пространства, считаю необходимым предупредить, что в настоящем параграфе будут изложены лишь самые элементарные начала учения о кривизне, так как более основательное знакомство с теорией кривизны пространства требует гораздо более тяжеловесного математического аппарата, нежели тот, которым мы пользуемся в настоящей статье.
Проводя через данную точку Р трехмерного пространства различные кривые, мы каждой кривой сопоставляем особое понятие о направлении этой кривой в точке Р. Выбрав на кривой точку Р', бесконечно близкую к точке Р, мы определим направление нашей кривой двумя числами, характеризующими отношение бесконечно малых приращений координат, которое зги последние испытывают, когда мы переходим от точки Р к бесконечно ей близкой точке Р'. Ограничиваясь в целях простоты примером двумерного пространства и приписывая точке Р координаты х„х„а точке Р' координаты х, + Их„х, + Ох„мы в этом случае определим направлеххх ние нашей кривой единственным отношением —. лх1 Очевидно, что направление будет нами определено, коль скоро нам будут заданы точка Р и ей бесконечно близкая точка Р', т.
е. будут заданы разности координат этих точек. В трехмерном пространстве таких разностей будет три: ~Ь„Ых„дх,; в двумерном две: ~Ь„аахм Условимся называть вещь, вполне определенную указанными двумя точками или разностями их координат, бесконечно малым вектором в точке Р, сами разности будем называть составляющими бесконечно малого вектора в точке Р. В случае обычной нашей геометрии бесконечно малый вектор можно интерпретировать как отрезок прямой от Р до Р', а его составляющие будут тогда проекциями этого отрезка на оси прямоугольных, прямолинейных координат. Из сказанного выше ясно, что направление какой-либо кривой в точке Р вполне определится, раз мы зададим соответствующий бесконечно малый вектор в точке Р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
