Дифференциальные уравнения турбулентного движения сжимаемой жидкости (1124010), страница 49
Текст из файла (страница 49)
Таким образом, вместо того чтобы говорить о направлении кривой в точке Р, мы можем теперь говорить о направлении бесконечно малого вектора в точке Р. 2. Направления двух каких-либо кривых, проходящих через точку Р, определяют собою новое понятие об угле этих направлений. Так как направления кривых совпадают с направлениями двух соответствующих'бе- 266 РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КОСМОЛОГИЯ яз| = Ыхе+ с(*|, 1 2' иначе говоря, для фувдаментального метрического тензора в этом случае мы будем иметь й„=у„=О, Возьмем теперь (см. рис. 3) два бесконечно малых вектора (дх„~)х,) и (Ьхв бх,), изображаемые двумя отрезками РР' и РР', по правилам аналитической геометрии угол е между этими двумя векторами определится как Р некоторое число по формуле Ихфх, + Нхебхе созе = 1' Нхх+ Яхх ф 6хх+ бхее Переходя к иной арифметизации нашей евклидовой плоскости или рассматривая с более общей точки зрения двумерное пространство с иными, нежели евклидова плоскость, свойствами, определим угол двух векторов (Ох„сх,), (бх„бх,) как число, получаемое по формуле ШиЬ16х~+ Гм(~Балхе+ Нхебхд+ ахФхебхх сов е ХОНх, '+ 26ОНх|Нхе+ хилххх У Хисх1+ 2дпбх16хе+ Юебххе Иэ этой формулы видно, что два вектора в точке Р будут составлять угол, отличный от того угла, который эти же самые вектора (с прежними составляющими) имеют в другой точке Р„ибо у„, д1е,.....
зависят, вообще говоря, от координат точки Р и, значит, меняются, когда от точки Р переходим к точке Р,. Из этого замечания видно, что пространство с иными свойствами, нежели эвклидово (с иной метрикой), отличаются коренным образом от того пространства, с которым мы привыкли оперировать. Можно доказать, что определенный нами угол двух бесконечно малых векторов совершенно не зависит от способа арифметизации пространства. 3.
Общеизвестна роль евклидова постулата о параллельных в развитии геометрических идей, особенно в Х1Х и ХХ столетиях. Понятие о параллельности играет огромную роль в пространствах, отличных по своим Рве. 3 сконечно малых векторов, то можно говорить об угле двух бесконечно малых векторов в точке Р. Этот угол будет некоторым числом, которое определяется по составляющим обоих бесконечно малых векторов и по значе ниям фундаментального метрического тензора в точке Р. Чтобы пояснить, каким образом определяется укаэанное число, обратимся опять к двумерному пространству.
Положим сначала, что двумерное наше пространство есть обычная евклидова плоскость, причем арифметиаация ее произведена с помощью введения прямоугольных, прямолинейных координат (как на рис. 1). Тогда расстояние двух бесконечно близких точек Р и Р' определится по формуле ииР ньк простРАнстВо н ВРемя 267 метрическим свойствам от пространства евклидова; оно должно быть, однако, соответствующим образом обобщено и определено. Такое обобщение понятия параллельности мы имеем в идее параллельного перемещения, развитой итальянским математиком Ьет1 С1т1ьа.
рпс. 4 Представим себе, что по некоторой кривой премещается (рис. 4) бесконечно малый вектор, изменяясь по некоторому закону. Закон этого изменения должен быть таков, что, задав бесконечно малый вектор в некоторой точке кривой, мы сможем определить вектор, соответствующий заданному в любой другой точке нашей кривой; далее, закон этого изменения должен давать нам возможность произвести указанное перемещение вектора по любой кривой нашего пространства.
'Условимся только что описанную манипуляцию с вектором называть с о п р я ж е н и е м. Параллельным перемещением вектора мы назовем определенным образом выбранное сопряжение. Смотря по тому, каким образом мы выберем это сопряжение, мы будем иметь те или иные геометрические свойства нашего пространства„иначе говоря, определенное параллельное перемещение определит собой особый класс пространства. Можно, как я уже сказал, произвольным образом выбирать параллельное перемещение; мы, однако, остановимся на параллельном перемещении, наиболее близком к нашим обычным представлениям, а именно на таком параллельном перемещении, которое оставляет неизменным угол двух параллельно перемещающихся по одной и той же кривой векторов (рис.
5)е. Расстояние двух бесконечно близких точек Р и Р', определяющих вектор, зависит, как мы видели, от фундаментального метрического тензора и от составляющих нашего вектора; условимся это расстояние называть величиной вектора. Величина вектора при параллельном его перемещении, вообще говоря, меняется и лишь в особо исключительных случаях остается неизменной. Условимся называть пространства, в которых величина вектора не меняется при параллельном перемещении, пространствами * Рассматривая пространство, мы должны определенным образом выбрать параллельное перемешение; тот или иной выбор определенного параллельного перемещения обусловвт собой целый ряд свойств нашего пространства. Рилятивистская кОсмОлОГия Рим,ана *; те же пространства, в которых величина вектора меняется при его параллельном перемещении — и р о с т р а н с т в а и и % е у Ря.
Пространства Римана обладают чрезвычайно любопытной особенностью в них параллельное перемещение определяется вполне знанием метрики Рис. 5 пространства (т. е. знанием фундаментального метрического тензора). С пространствами тт'еуря дело обстоит сложнее: для них установление параллельного перемещения требует помимо знания фундаментального метрического тензора знания еще некоторых величин; совокупность зтих величин называется м а с ш т а б н ы м в е к т о р о и. Для трехмерного пространства масштабный вектор состоит из трех величин, для двумерного — из двух **.
Рис. 6 Чтобы дать более ясное представление о параллельном перемгщеиии, рассмотрим зто понятие для обычной евклидовой плоскости, определив параллельное перемещение вектора как обычный параллельный перенос вектора из одной точки в другую (рис. б), перенос, при котором величина вектора не меняется, а прямые линии, на которых лежит вектор до и после перемещения, остаются параллельными (в обычном смысле). Само ч От пространства Римана слздуст отличать пространства постоянной рнмановой кривизны, являющиеся лишь весьма частным видом пространств Римана.
** Мы не имели здесь возможности входить з подробности относительно структуры понятия о масштабном векторе. МИР КАК ПРОСТРАНСТВО И ВРЕМЯ собой разумеется, что указанное параллельное перемещение вектора можно определить аналитически следующим способом: вектор (Их„йхз) перемещается параллельно, еслт вектор (Ьх„бх,), в который он перейдет, определится равенствами бх1 =- Ихп из этого определения параллельности перемещения можно будет определить понятие параллельности и вывести ряд свойств, присущих этому понятию в евклидовой геометрии.
Нетрудно видеть, что при только что установленном определении параллельного перемещения угол для двух Рвс. 8 Рис. 7 параллельно перемещающихся векторов не меняется, равно как не меняется и величина параллельно перемещающегося вектора; таким образом, евлидово параллельное перемещение характеризует пространство„являющееся частным случаем пространства Римана.
4. Параллельное перемещение может дать возможность ввести понятие о прямой линии. В каждой своей точке эта кривая имеет определенное направление, характеризуемое направлением бесконечно малого вектора. Возьмем в некоторой точке Р, нашей кривой бесконечно малый вектор, определяющий направление в этой точке кривой (рис. 7), переместим параллельно этот бесконечно малый вектор в какую-либо точку Р кривой, тот да в большинстве случаев направление перемещенного в точке Р вектора не будет совпадать с направлением нашей кривой в этой точке. Кривую, обладающую тем исключительным свойством, что направление, параллельно перемещенного в любую точку Р, указанного только что вектора совпадает с направлением кривой в этой точке, условимся называть прямой линией; прямая линия отличается от всех других кривых 'тем исключительным свойством, что направление ее вдоль по самой линии параллельно перемещается.
Само собой разумеется, что для различных Релятивистская кОсмОлОГия 27О определений параллельного перемещения мы будем иметь и разное определение прямых линий. Обратимся теперь к евклидовой плоскости. В ней, очевидно, будут кривые, не обладающие тем свойством, что их направление вдоль по кривой перемещается параллельно (рис. 8), по будут и определенные выше прямые линии„каковые совпадут с обычным определением евклидовой прямой. Прямая, определенная при помощи параллельного перемещения, обладает для пространств Римана характерным свойством быть кратчайшей линией, соединяющей две какие-либо расположенные на ней точки, иначе говоря, длина дуги по прямой от Р, до Р, короче, чем длина дуги по любой другой кривой.
На рис. 9 я нарочно изобразил «прямую» не обычной прямой, имен в виду, что »тот чертеж изображает неевклидову плоскость, а, следовательно, метрика в нем настолько отлична от евклидовой, что длина дуги Р,Р, по «прямой» А короче, чем длина дуги Р,Р, (в новом мероопределении) по евклидовой прямой В. Итак, прямые римановых пространств суть линии кратчайших расстояний (геодезические); этим свойством не обладают прямые пространств %еуГЯ. При помощи определения прямой нетрудно осуществить параллельное перемещение какого-либо вектора вдоль по прямой, по крайней мере в пространстве Римана; бесконечно малый вектор направления, по определению, перемещается вдоль по параллельной прямой; угол между двумя параллельно перемещающимися векторами, как мы знаем, не меняется, значит для осуществления параллельного перемещения по прямой нашего вектора достаточно следить за тем, чтобы он составлял всегда одинаковый угол с направлением нашей прямой линии и не менялся бы по величине.
На рис. 10 и 11 осуществлено параллельное перемещение вектора, причем водном случае взята за прямую обычная прямая, а в другом — некоторая кривая линия. На евклидовой плоскости параллельное перемещение по обычной прямой характеризуется тем, что переместившийся вектор будет в обычном смысле параллелен исходному своему положению (см. рис. 11). На сфере кратчайшей линией служит, как известно, дуга болыпого круга; на миг как пвоствлнство и згкмя 271 рнс.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
