Дифференциальные уравнения турбулентного движения сжимаемой жидкости (1124010), страница 53
Текст из файла (страница 53)
Если мы при измерении интенсивности промежутка возьмем другую едит гцу изиерэния, то число, измеряющее промежуток 5 Ряс. 16 будет уже не Ит, а Ит, что, само собою разумеется, не существеяно. Сравнивая бесконечно малый промежуток ат с бесконечно малым приращением местного физического времени с(г, мы будеи иметь сй == 7 (хп хс, хз, г) с(г, (14) где Т зависит, конечно, как от положения точки М (от координат х„х„ х,,), так и от моиепта П Функцию Т мы экспериментально определим, воспзльзовавшясь нашими световыии часами для разных точен пространства и в различные моменты времени.
Промежуток, конечно, не зависит от способа установления физического местного времени. Если мы в самом деле закрепим зеркало т в световых часах так, чтобы длина светового луча равнялась бы с(т, то, каким бы образом мы ни вводили физическое местное время, всегда промежуток между моментом светового сигнала и моментои регистрации возвратившегося сигнала будет (по определению) равен ат; это обстоятельство можно выразить в виде требования инвариантности скорости света по отношению к преобразовакиям вида (13). Так как кроме куток времени мы свяаали с движением света, то тем самым мы приписали свету особую роль; в этом нет ничего удивительного, ибо при определении физической длины нам пришлось бы (ввиду элементарности вопроса мы в соответствующем месте статьи па этом подробно пе остапавлизачись) приписать особую роль либо тому же свету, либо ииструментаи (твердым телам), служащим для измерения физического расстояния.
Удобство и важное свойство световых часов заключается в тои, что ими молшо пользоваться в любой точке материального пространства, ибо свет (злектромагпитные колебания и ток) движется (распрострапяется) во всех РвлятивнстскАя кОсмОлОГия 284 материальных телах. Аналогичным образом постоянные звуковые часы не могли бы быть использованы, например, в тех частях материального пространства, которые заполнены только лучистою энергией. Они не могли бы служить для определения промежутков времени в межпланетном пространстве или в пространстве между молекулами, и, таким образом, понятие промежутка времени, установленное с помощью звуковых часов, вовсе отсутствовало бы во многих точках пространства.
й 6. Движение з. Рассматривая физическое пространство и время в отдельности, мы видели, каким образом произвольность арифметизации как пространства, так и времени заставляет признать, что собственные свойства пространства и времени, т. е.
свойства, не зависящие от способа арнфметизации, должны быть инвариантны по отношению к следующим яреобраэоваянязз чисел х„хз, хз н з, арифметизирующих пространство ивремя одним способом, в числа х,„х„хз и ~, арифметнзирующие пространство и время другим способом: х, = ~з (хм хз, хз), хз = 1з (хм хю хз), (15) Хз = Ь(хм хе хз), 1 = у (хп хз, х„8). Нетрудно видеть, что эти преобразования особо выделяют роль времени и не являются самыми обними преобразованиями одной четверки чисел„ арифметизирующнх пространство и время в другую четверку чисел. Уже самый неестественный вид формул (15) показывает на необходимость дальнейшего их обобщения.
Зто вполне естественное обобщение может быть без труда получено, когда мы рассмотрим ближе связь физического пространства с физическим временем, связь, выражающуюся движением. Движение какой-либо материальной точки аналитически моя<ет быть выражено тем обстоятельством, что координаты этой точки будут функциями физического времени: хз — — ~рз (з), Свойства движения изучаются в особом отделе механики — кинематике, которую по справедливости называют г е о м е три ей да иж ен и я и которая становится действительной геометрией, если мы интерпретируем три координаты х„х„хз и время з как четыре координаты некоторого четырехмерного пространства; при такой интерпретации дви'кение любой материальной точки будет нам задано в виде к р и в о й в этом ЫИР КАК ПРОСТРАНСТВО И ВРИМЯ га5 четырехморном пространстве.
Зта кривая вполне определит нам движение, т. е. «кизнь нашей материальной точки, и, может быть, позтому она названа кривою жизни материальной точки. Мы, следуя установившейся терминологии, будем называть зту кривую м и р о в о й л и н и е й, о тв еч а ю щей н а ш е й т о ч к е. Чтобы яснее представить себе только что указанную интерпретацию движения, сводящую кинематику к геометрии, упростим наше пространство до двумернойевклидовойплоскости и арифметизируем это пространство введением прямоугольных прямолинейных координат (х„хр). Чтобы интерпретировать движение, ы совершающееся в нашей плоскости, введем в рассмотрение трехмерное евклидово пространство, арифметизировав его с помощью вве- Г ~У дения прямоугольных прямолинейных коор-,рр ! гр дннат так, чтобы две коордннаты были бы х„х„а третья была бы временем ~ (рис.
17). Движение в нашей плоскости будет вырая1ено равенствами Рве. 17 х, = рр1(1), хз = %1 (1) геометрическое место положений движущейся точки даст нам траекторию С, но траектория не определяет вполне движения, ибо мы не можем по одной только траектории судить, в какой ее точке будет к данному моменту находиться наша материальная точка. Наоборот, мировая линия И', которая в нагнем случае явится кривой в пространстве, вполне определит собой движение. В самом деле, взяв какую-либо точку () на линии 1Р', мы, опуская перпендикуляр на плоскость х, хрр найдем точку траектории, в которой будет находиться на1на материальная точка к моменту Г, определяемому длиной етого перпендикуляра. Плоскость г = ге будет плоскостью, параллельной нашей плоскости; пересечение плоскости 1 =- 8е с мировой линией ИР определит собой как раз положение на плоскости нашей материальной точки.
Таким образом, движение всех точек нашей плоскости вполне определится, если мы будем пересекать систему мировых линий наших точек плоскостЯми 1 = ~р и пРиДавать Ц Разные значениЯ. Поло,ким (рис. 18), что двое идут по оси х„один с постоянной скоростью а, другой с постоянной скоростью б; оба к моменту 1 = 0 выходят из начала координат.
Траектории у обоих пешеходов будут одинаковые, но мировые линии (прямые 1 и рр рис. 18) будут различны; нетрудно также видеть (рис. 19), что мировая линия точки, движущейся равномерно по кругу, будет винтовая линия. Все, что сказано было для частного вида арифметизации двумерного пространства и времени, применимо и к общему случаю произвольной арифметизации пространства и времени. Задавая в четырехмерном пространстве определенную мировую линию, мы для гилятивистская кОсмОлОГия 286 каждой точки этой линии будем акать все ее четыре координаты, т. е.
числа х„х, х, и Г, следовательно, будем знать положение нашей точки к моменту Г, Положение всех точек трехмерного мира к моменту $ =. Г» мы получим, если систему мировых линий, отвечающих этим точкам, пересечем трехмерным пространством, получаемым из нашего четырехмерного, полагая Г =- Г»; такое пространство будет частным видом того, что мы в дальнейшем условимся называть г и п е р п о в е р х н о с т ь ю прострап- ° ства четырех измерений.
Таким образом, вся жизнь наптего физического Рис. Ш Рис. 18 пространства, сводящаяся к движению материальных тел, его составляющих, может быть выражена системою мировых линий чсзырехкернсГО пространства. 2. Говоря о движении, мы рассматривали движения в физическом пространстве, т. е. в' простравстве, заполненном материальными телами, в котором положение точки фиксируется при помощи определения материальных тел или процессов; поэтому движение, нами рассматриваемое, есть движение относительное по отношению к тем материальным телам, которые служат «координатной решеткой» для нашего физического пространства. Но очевидно, что физическое пространство мы смогли бы арифметизировать пе при помощи тех тел, которые неподвижны, а при помощи тел движущихся; тогда вторые тела образовали Гы физическое пространство, по отношению к которому двигались бы тела, сначала признанные нами неподвижными.
Бесполезно было бы пытаться ответить яа вопрос о том, какие же тела движутся и какие неподвижны, ибо самый термин «движется» может иметь смысл только относительный; можно рассматривать движеяие одпой системы тел по отношению к другой системе. Решение вопроса, какое же движение истинное, эквивалентно решению бесполезного вопроса о том, что к чему привешено — хвост ли к собаке или собака к хвосту. Спрашивается теперь, каким же образом осугцествляется движение всех точек нашего трехмерного мира? Для осуществления этого двия<ения МИР КАК ПРОСТРАНСТВО И ВРКМЯ 287 из каждой точки трехмерного пространства (х„х„хз) необходимо провести мировую линию; зта мировая линия изобразит собой движение нашей точки. Пусть ко времени ~ наша точка, постоянно лежащая на мировой линии, будет иметь координаты Х1 =- 9~1(3), Хз ==- 3Р2(3), Так как каждой точке трехмерного мира соответствует своя мировая линия, то, очевидно, форма функций 3р„зр„3рз будет разная для разных точек пространства и, значит, функции будут зависеть не только от ц но иетхз,хз х3: Х1 = 331(Х1, Хз, Хз', 3) Хз = 72(Х1, Хз, Хз, 3), Хз -- ~з (Х1, Хз, Хз,' 1) Один из способов арифметизации пространства состоит в сопоставлении каждой его точке чисел х„х„х,; при этом способе относительно точек нашего пространства материальные точки двигались согласно предыдущим формулам.
но мы могли бы считать эти последние точки неподвижными, и тогда можно было бы арифметизировать пространство, сопоставив каждой его точке три новых числа: х„хю хз Таким образом, пространство и время мы можем арифметизировать — двумя способами: при помощи четверки чисел х„хз, хз и 7 или х„х„х, и 7; при этом переход от одного способа арифметизации к другому выразится формулайи Х1 =- 71(ХП Хз Хз; г) 22 —. 72 (Х1 Х2 Хз 3) ХЗ 13 (Х1 Х2 "1 3 ~)1 Г = ((х„х„хз; 1). (16) х. = /2 (х„х,, х,, х,), хз -- ~3 (х11 хм 2'з, 3'3) хз ==- ~, (х„хз, хз х,). (171 Все собственные свойства пространства и времени должны иметь инвариантную форму по отношению к преобразованиям (16).
В этих преобразованиях роль времени ничем особым не отличается от роли пространственных координат, и достаточно обозначить время 7 через х„а функцию 7' через 7» для того, чтобы даже внешняя форма преобразований (16) перестала бы указывать на особое положение времени; приняв только что указанные обозначения, мы перепишем формулы (16) в виде Хз =- 71 (хз хм хз Хз) 288 Рнлятиэистскля космология Таким образом, время свергается со своего пьедестала.
Исполняются слова великого немецкого математика Минковского, поставленные эпиграфом к настоящему отделу, и физический мир представляется пред нами в своем истинном свете как совокупность вещей, называемых явлениями, характеризуемых при арифметизацни четырьмя числами х„хз, х,, х4. Физический мир может служить на основании сказанного интерпретацией пространства четырех измерений; явление физического мира стано-, вится интерпретацией точки четырехмерного геометрического пространства. Вместе с этой новой точкой зрения на физический мир отпадают и те трудности исследования его, на которые мы указывали в конце предыдущего отдела. Время перестает мешать нашим исследованиям, наоборот, потеряв свое преимущественное положение, смешавшись с пространственными координатами, время становится деятельным помощником при исследовании уженефизического пространства и не физического времени, которых самих по себе нет, а совокупности пространства п времени — физического мира.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
