Дифференциальные уравнения турбулентного движения сжимаемой жидкости (1124010), страница 56
Текст из файла (страница 56)
Значит, и может быть выражен в зависимости от х„и уравнения мировой кривой по исключению и дадут соотношения х1 = т1(хз) х2 = 22(х«)~ хз = Фз(хз)4 которые совершенно совпадают (если заменить хз на 4) с теми уравнениями, которые в предыдущем параграфе служили для определения мировой линии в физическом мире. Мировые кривые этой второй категории будем называть временными мировыми линиями или просто мировыми линиями; двиязеннем будем называть вещь, вполне определенную м н р о в о й л и н и е й. Таким образом, выражение «задано двизкение» будет вполне эквивалентно выражению «задана мировая линияз.
Нетрудно видеть, что все наши определения подобраны так, чтобы объект, называемый соответствующим термином в физическом мире, слу-. жил бы интерпретацией понятия, обозначенного этим же термином в мире геометрическом. Так, например, движение в мире физическом является интерпретацией движения в мире геометрическом, мировая линия в физическом мире интерпретирует мировую линию мира геометрического.
Геометрическое пространство не имеет самостоятельного значения, являясь лишь гиперповерхностью геометрического мира, что вполне соответствует отсутствию самостоятельного существования у физического пространства, которое немыслимо без физического времени. 3. Перейдем теперь к вопросу о метрике мира, иначе говоря„к вопросу об определении бесконечно малого интервала, который в целях краткости обозначим через до„квадрат бесконечно малого интервала зависит РелятиВистскАя космология 296 от квадратов и произведений ~о два приращений с(х„пхз, пх„дх„а также от фундаментального метрического тензора мира.
Выпишем вырая<ение для интервала: дс' = — дыс(хз, + дззс(хз + бззг(хз, + 2дззс(хздхз + 2дзгг(хам, + 2д,зИх,дхз + + 2бгзйхгг(хз + 2бззг(хзг(хз + 2бззйхзг(х, + дзз йхз. (21) Уже из способа написания квадрата интервала видно, что временная координата выделена нами особо. Нетрудно видеть, что в двух частных случаях наш интервал превращается или в нечто, напоминающее расстояние Сл, или же в нечто, напоминающее промежуток между двуыя моментами дт.
Рассмотрим бесконечно малый интервал ~йг, двух явлений, имеющих одну и ту же временную координату, т. е. находящихся в некотором (одном и том же) пространстве, в вышеупомянутом смысле этого термина. Для этих явлений х, будет постоянно, значит, гзхз = О, и формула для г(аз превратится в формулу (9) для квадрата бесконечно малого расстояния ~Ьз, т. е.
до~ = г(гз или с(о, = <Ь (ибо знаком мы всегда можем соответственно распорядиться). Так как мы рассматриваем пространство лишь как гиперповерхность мира, то можем условиться метрику пространства определять тем ~Ь = до„который получается из с(о, полагая дх, = О. Рассмотрим теперь бесконечно малый интервал г(сз двух явлений, имеющих одинаковые пространственные координаты, т.
е. таких, которые разнятся друг от друга лишь временной координатой и в которых, следовательно, гзх, = с(хз —— гзхз = О. Интервал таких двух явлений определяется формулой гйФ =- лез Ых~; так как мы рассматриваем время лишь как некоторую мировую линию, то можем условиться метрику времени определять тем промежутком гзт, квадрат которого получается, полагая в ЖР: дх,= с(хз = Ыхз = О и меняя в полученном выражении знак; иначе гозоРЯ, длЯ дтз полУчим Равенства гзтз= — гзоз = — бззг(хзю дт= Р— бзздхз. Сравнивая эту формулу с выражением (14) для г(т, в $5 найдем, что Т (х,, х„х„х,) = у' — лаз, причем в формуле (14) заменено г и на х,.
Из сказанного видно, что метрика мира определяет сама собой и Метрику пространства для любого момента времени и метрику времени для любой точки пространства. Метрика мира не является вполне произвольной; мы требуем, чтобы расстояния в пространстве выражались вещественными (не мнимыми) числами, точно так же вещественным числом должен выражаться промежуток времени.
Это требование может быть выражено в следующем постулате вещественности пространства и времени*. " Постулат мною несколько упрощен, дабы сделать его более наглядным, на самом деле его следовало бы доползать теми условиями, кои вытекают из применения так нааываемаго еськова иверцииз к форме для осз. (Например, Н г! Ье г К П~е Огопб!авен бег Рпуззя, 2-Се МШеПпяд.) миР КАк 1!РОстРАнство и ВРемя 297 Метрика мира должна быть такова, чтобы интервал был бы веществен во всех точках мира и для всех явлений, имеющих общую временную к оординату (квадрат интервала при этих условиях должен быть полохсительным), и чтобы интервал был бы чисто мнимым во всех точках мир а и для всех явлений, имеющих общие простр анственные координаты (квадрат интервала в этих условиях должен быть отрицательным). Постулат вещественности пространства и времени имеет чрезвычайно сильное влияние на метрику мира; с этим постулатом ближайшим образом связан принцип причинности.
Этот же постулат позволяет направления мировых кривых разделить на два класса: п р о с т р а н с т в е н н о подобные и времени подобные направления;первые характеризуются тем, что величина бесконечно малого четырехмерного вектора, их характеризующего (соответствующий интервал), положительна, тогда как для вторых эта величина отрицательна. Всякая пространственная линия имеет пространственноподобное направление, всякая мировая кривая, названная нами временем, имеет, наоборот, времяподобное направление. Пространственноподобные направления отличаются от времяподобных направлений особой гиперповерхностью (чем-то вроде конуса); на этой гиперповерхности, называемой н у л е в ы м к о н у с о м, интервалы ее точек все обращаются в нуль.
Переход череа нулевой конус соответствует переходу от пространства ко времени. Не имея возможности останавливаться на разбираемых вопросах более подробно, отмечу, что понятие «угла», имеющее вполне определенный смысл для двух пространственноподобных или для двух времяподобных направлений, должно быть видоизменено при рассмотрении угла пространственноподобного и времяподобного направления. Словом, нулевой конус образует в мире как бы границу, отделяющую одну часть этого мира от другой, имеющей совсем особые свойствае. Постулат вещественности налагает известные условия на арифметизацию мира: арифметизация должна быть такова, чтобы в новойкоординатной системе также можно было бы выделить пространственную и временную координаты, причем и в новых координатах постулат вещественности должен иметь место; такую арифметизацию назовем и з б р а н н о й. С помощью постулата вещественности можно было бы доказать, что два явления, лежащие на мировой линии, относящиеся к разным моментам времени, не могут с помощью изменения арифметизации превратиться в * Нулевой конус — своего рода особенность в пространстве для многозначных функцнй (у).
Рклятивистская кОсмОлОГия явления одновременные, коль скоро арифметизация при своем изменении не перестанет быть избранной. Таким образом, два явления, могущие быть рассматриваемыми как причина и следствие, никогда нельзя сделать при помощи изменения арифметизации одновременными, иначе говоря, такие два явления всегда будут находиться* друг к другу в отношении причины к следствию. 4.
Нам остается перейти теперь к вопросу о том, каким образом, исследуя экспериментально физический мир, мы смогли бы установить метрику того геометрического мира, для которого наш физический мир является интерпретацией. Прежде всего нам нуязно было бы условиться, каким образом физический мир интерпретирует мир геометрический. Положим, что мы выполнили это требование и составили словарь, при помощи которого можно выяснить, какой объект физического мира интерпретирует определенное понятие (вещь) мира геометрического.
Словарь этот целиком зависит от нашего произвола; таким образом, мы можем интерпретировать геометрическиймир, тем или иным способом при помощи мира физического. Но положим, что нами выбран определенный способ интерпретации и условимся одним и тем же термином обозначать и понятие (вещь) геометрического мира и интерпретирующий его объект мира физического. Раз это сделано, то, измеряя интервалы в физическом мире, мы будем иметь возможность экспериментально исследовать метрику мира геометрического (см. $ 3). Далее, параллельно перемещая вектор по замкнутой линии в мире физическом, мы определим его векторную и метрическую кривизны, а значит, установим масштабный вектор и свойства параллельного перемещения мира геометрического (см. $4).
Принципиально, таким образом, вопрос изучения геометрического мира, данной (условленной) интерпретацией которого является мир физический, решен. Однако сразу же возникает вопрос: сможем ли мы, люди, производить указанные эксперименты или же для их производства нужно перестать быть людьми и стать богами. Ответ на этот вопрос монтет быть дан утешительный: указанные эксперименты мы производить можем (не практически, конечно, а принципиально). В самом деле, время, являющееся для нас по- * Следует отметать, что любые два явления А и В, имеющие разные времеияые коордияаты, рассматриваются нами как причина и следствие, причем А можно рассматривать и как причину, в кав следствие В.
Если А есть причина В, т. е, если х ( ( х, то запекая ха ва ха = — хь каковое преобразование дает яам опять-таки иа б равиую арифметвзацию, мь| будем иметь, что х ) х, т. е. В будет причиной А. Таким образом, иамеяяя знак у времени, мы всегда можем измеяять следствие яа причину. Если последовательиость причины — следствиядолжваостаться веизмекяой, то помимо постулата веществеккости необходимы еще другие добавочиме ограиичепия свойства мира и проааеояа его арпфметиаация.
МПР КАК ПРОСТРАНСТВО И ВРКМЯ мехой при изучении физического пространства, время, разбиввтее даже самую идею об отдельно существующем физическом пространстве, зтз же время будет служить нам прекрасным помощником при определении интервала, куда разность входит наравне с пространственными разностями. Однако в измерении интервала мы прежде всего столкнемся с тем обстоятельством, что произвольно распоряжаться временем мы будем не в состоянии; таким образом, мы можем экспериментально определить метрику мира лишь для весьма ограниченного времени. Далее, принципиальная возможность изучения геометрического мира сталкивается с существенным дефектом нашей экспериментальной техники, а именно с затруднениями при измерении интервала.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
