Дифференциальные уравнения турбулентного движения сжимаемой жидкости (1124010), страница 59

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 59)

Материальная точка под действием тяготеющих масс движется по инерции. Иначе говоря, мировая линия материальной точки, находящейся под действием тяготеющих масс, является прямой для нашего мира; зта втораи гипотеза является гипотезой, коль скоро нами установлен процесс, отвечающий в физическом мире ь" параллельному перемещению мира геометрического; если втот процесс установлен, то тем самым определена и прямая нашего физического мира. Но мы мояеем на указанную гипотезу смотроть, как на установление того процесса, который будет отвечать параллельному перемещению в геометрическом мире.

Положим в самом деле, что мы определили прямуто фианческого мира как мировую линию точки, находящейся под действием тяготеющих масс, положим Ряе. 21 также, что мы умеем определять физические направления, вектора и углы между ними, положим, что из точки )Рт, в точку М по кривой С (рнс. 21) в физическом мире нам нужно переместить параллельно вектор а; для выполнения указанного перемещения разобьем кривую С точками на бесконечно малые части и между каждыми соседними проведем прямую (т. е.

мировую линию точки, под действием соответственных тяготеющих масс находящейся). Вдоль по каждой прямой переместить параллельно наш вектор а будет нетрудно, достаточно будет сохранить постоянным его угол с направлением прямой (см. ~ 4); совершив перемещение по каждой прямой, мы переведем наш вектор в точку й(, причем указанный процесс тем ближе будет подходить к параллельному перемещению по кривой, чем на большее число кусков будет разбита зта кривая.

Таким образом, вторая гипотеза моя<ет быть действительно рассматриваема как устанавливающая в физическом мире процесс, отвечающий параллельному перемещению в мире геометрическом. Мы предпочли формулировать указанное положение в виде гипотезы, так как физическое параллельное переме- * Эйнштейн мало обращает внимания нз логическую сторону дела, постону в его работах указанные гипотезы с волной отчетливостью не формулированы. МИР КАК ПРОСТРАНСТВО И ВРНМЯ щение могло бы быть определено и каким-либо иным способом, внешне отличным от способа нашей гипотезы. Первая и вторая указанные гипотезы налагают сравнительно мало ограничений на геометрию мира; наибольшие ограничения налагаются третьей гипотезой.

3. Между фундаментальным метрическям тензо ром и величинами, характеризующими материю (тяготеющие массы, электромагнитные явления и т. п.), имеют место определенные соотношения, называемые мировыми уравнениями. Само собой разумеется, что было бы необходимо для придания определенности указанной третьей гипотезе условиться, какие величины характеризуют материю, и выписать все те соотношения, которые названы нами мировыми уравнениями. Сделать, однако, этого мы не можем, так как установление мировых уравнений и даже простое их объяснение требует слишком большого математического аппарата.

Для того чтобы хоть несколько охарактеризовать общий характер мировых уравнений, сделаем ряд замечаний. Мировые уравнения суть дифференциальные уравнения, неизвестными функциями в которых являются, с одной стороны, величины гы, составляющие фундаментальный метрический тензор, а с другой стороны, те величины, которые характеризуют материю. Независимыми переменными в этих уравнениях являются мировые координаты х„ х„ х„ хм Постулат инвариантности требует, чтобы мировые уравнения выражали бы собой собственные свойства мира и обладали бы в известной мере инвариантным характером относительно преобразований мировых координат.

Последнее требование налагает жесткие условия на произвол мировых уравнений и в значительной мере оправдывает тот их вид, который принят в третьей гипотезе. Как и всякие уравнения естествознания, мировые уравнения могут рассматриваться с большей или меньшей подробностью; эта большая нли меньшая подробность рассмотрения мировых уравнений скажется главным образом на той их части, которая зависит от материи. Если мы примем в соображение иа материи только тяготеющие массы, то в мировых уравнениях нам не придется пользоваться величинами, характеризующими электромагнитные процессы мира; форма мировых уравнений в этом случае будет такова, что, как следствие их, мы получим для мировой линии материальной точки прямую линию; этого к нужно было ожидать, так как в противном случае вторая гппотеза стала бы в противоречие с третьей. В частности, если тяготеющие массы будут неподвижны, то единственной величиной, которая со стороны материн войдет в мировые уравнения, будет плотность р = О (х„х,, х,„х,).

Если мы, становясь на точку зрения электромагнитной теории материи, примем, что вся материя сведется к электромагнитным процессам, то 2О* Рвлятивистскля космология в наших уравнениях величинами, характеризующими материю, будут электрическая плотность, три составляющие электрического тока, электростатический потенциал и три составляющие электромагнитного (векторного) потенциала — всего восемь величин. Принимая далее точку зрения М1е на теорию материи, мы все электромагнитные процессы сведем к наличности электромагнитного поля, и тогда в наших мировых уравнениях будет всего лишь четыре величины, характеризующих материю: электростатический потенциал и три составляющие электромагнитного потенциала; в атом случае, как показал Н11Ьег1, следствием мировых уравнений будут уравнения Махме1Га, управляющие, как известно, всеми электромагнитными явлениями. Каким образом устанавливаются мировые уравненияу Подробно невозможно иа-за технических трудностей ответить здесь на этот вопрос, но два слова сказать об этом нужно.

Эвристический метод установления мировых уравнений состоит в получении их из так называемых в а р н ац и о я н ы х и р и н ц и и о в, аналогичных известному принципу наименьшего действия в механике. Следует остерегаться видеть в этих принципах нечто большее, чем эвристический метод; соблазнительно связать пх, конечно, с идеями телеологическими, яо этого в настоящее время даже с формальной стороны сделать нельзя. Сущность этих принципов заключается в том, что избирается некоторое выражение, имеющее большое значение для геометрии мира 1например, средняя кривизна), минимум которого ищется.

Необходимымн, но недостаточными условиями этого минимума служат мировьге уравнения; так как эти уравнении недостаточны, чтобы указанное выражение было бы минимумом, то и нельзя высказывать соблазнительное с телеологической точки зрения суждение об устройстве мира с наименьшей кривизной и т. и. Эвристический метод установления мировых уравнений, конечно, не может служить доказательством их правильности.

Мировые уравнения устанавливаются, как всякий закон природы. Установление их есть гипотеза, которая должна после соответствующей интерпретации подвергнуться экспериментальной проверке. Посмотрим, каким же образом указанные три гипотезы, которые мы будем называть гипотезами тяготения, ыогутбыгь проверяемы на опыте и какая интерпретация их будет нам нужна для этой поверки. 4. Как известно, всегда можно выбрать координаты мира так, чтобы в данной точке и в непосредственной близостне ее мы имели бы мнр с евклидовой метрикой и евклидовыми свойствами. Указанные координаты носят название римановых координат.

Римановы пространственные координаты «Выражение «в непосредственной близости» следует понимать в том смысле, что свойства нашего мира при указанном выборе координат будут близки к евклндовым не только в данной точке, но н в окрестности ее. Точную математическую формулировку отмеченного обстоятельства приводить здесь мы не считаем возможным. МИР КАК ПРОСТРАНСТВО И ВРКМЯ 309 для данной точки монгно изобразить в виде обычных прямоугольных прямолинейных координат.

Будем этими же прямолинейными прямоугольными координатами пользоваться не только длн данной точки, но и в ближайших окрестностях точки; более определенно условимся считать, что ближайшие окрестности точки обладают евклидовой метрикой, и примем введенные нами пространственные координаты за прямоугольные прямолинейные координаты, а временную координату будем считать авездным временем. Предположение об евклидовой метрике будет, само собой разумеется, неправильным, но чем меньше будет окрестность точки, тем блин'е будет геометрия мира около этой точки подходить к геометрии евклидова мира.

Назовем мир, таким образом построенный, у с л о в н ы м миром. В этом условном мире материальнан точка, находящаяся под действием тяготеющих масс, будет обладать мировой линией, отличной от прямой условного мира. В самом деле, согласно второй гипотезе тяготения укаэанная мировая линия будет прямой нашего физического, отличного от только что введенного условного, мира и, значит, будет отличаться от прямой мира условного.

Таким образом, точка в условном мире будет обладать ускорением, следовательно, согласно принципу инерции старой механики мы смонеем определить силы, действующие в соответствии с законами старой механики на точку со стороны тяготеющих масс, иначе говоря, мы сможем определить силу всемирного тяготения старой механики. Эта сила будет зависеть, конечно, от тяготеющих масс, ибо она определится из того обстоятельства, что мировая линия точки будет прямой физического мира и, следовательно, некоторой кривой мира условного, вид которой будет зависеть от метрики физического мира, т. е. согласно третьей гипотезе от материи и, в частности, от тяготеющихмасс.

Что мы должны ожидать получить в силу указанных сообрангений? Как первое приближенно мы должны получить закон Ньютона, затем мы должны, вообще говоря, получить поправку к закону всемирного тнготения, тем болыпую, чем в большей блиаости к об>ширным тяготек>щпм массам находится наша материальная точка. Изучая движение точки около тяготеющей массы Солнца, Эйнштейн обнаружил в первом приближении, как и следовало ожидать, закон Ньютона, но к атому закону присоединилась некоторая поправка.

Применение этой поправки дало как раз то остаточное движение перигелия Меркурия, которое оставалось необъясненным. Необъясненным оставалось движение перигелия в 43" в 100 лет; вычисления Эйнштейна дали величину 42", 89 в 100 лет; близость этих двух чисел становится особенно замечательной, если вспомнить, каким обходным путем мы пришли ко второму числуе. * Я изложил здесь обычную точку зрения, позволяющую, оперируя при помощи евклидовой геометрии и старой механики, находить в физяческом пространстве зкс- РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КОСМОЛОГИЯ Путь для дальнейшей поверки гипотезы тяготения был открыт.

Тяготеющая масса должна, изменяя метрику мира, оказывать влияние почти на все физические явления. Так, например, свет, проходя мимо тяготеющей массы и имея мировой своей линией особые прямые (так называемые нулевые линии) физического мира, в мире условном должен отступать от прямолинейного распространения в условном пространстве и должен изгибаться от действия тяготеющей массы. Экспедиция, снаряженная для наблюдения последнего полного солнечного затмения в мае 1919 г., обнаружила смещение положения звезд, свет которых проходил вблизи закрытого луной солнца; это наблюдение смещения прекрасно согласовалось с тем, которое было предвычислено Эйшптейном.

Характеристики

Список файлов учебной работы