Дифференциальные уравнения турбулентного движения сжимаемой жидкости (1124010), страница 55

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 55)

Этот шаг может быть сделан, как выше мы видели, при помощи внимательного рассмотрения идеи физического времени. Таким образом, исторический более длинный путь привел нас также к четырехмерномуфизическому миру и к постулату инвариантности. 4. Физическое пространство и физическое время объединились в физический мир, интерпретирующий геометрическое пространство четырех измерений. Законы физического мира суть собственные его ствойства и подчинены постулату и н в а р и акт ности. Время ничем не отличается от других координат. Правильно ли это последнее заключение? Более внимательное рассмотрение вопроса покажет, что последнее заключение нельзя признать вполне правильным и что на постулат инвариантности, равно как и на способы арифметизации физического мира, должны быть наложены известные ограничения, возвращающие времени его исключительное положение.

Я не могу подробно останавливаться на этом детальном вопросе, сравнительно мало разработанном в учении об относительности. Замечу только, что поводом к возвращению времени его исключительного значения служит и р и и ц ип и р и ч и ни ос ти, согласно одному из требований которого нельзя, изменяя арифметизацию физического мира, сделать так, чтобы причина и следствие поменялись бы местами. Этот принцип (формулированный, конечно, ясно и строго, а не так, как это сейчас сделано) должен наложить известные ограничения. 1) на способы арифметизации физического мира, при которых имеет место постулат инвариантности; арифметнзнровать можно, конечно, как угодно, но не для всякой арифметизации постулат инвариантности будет иметь место; 2) на свойства геометрического четырехмерного пространства, интерпретацией которого служит физический мнр; 3) на выбор той из координат физического мира, которой будет приписана (связанная с принципом причинности) роль времени.

Не останавливаясь более на все же, по-видимому, сохраняющихся особенностях времени и выяснив с достаточной подробностью понятия физического пространства, времени, движения и мира, перейдем к геометрической, если можно так выразиться, их интерпретации. МИР КАК ПРОСТРАНСТВО И ВРЕМЯ 299 й '«. Мнр 1. Рассматриваемое с совершенно абстрактной точки зрения время есть совокупность вещей, называемых м о м е н т а м и и стоящих между собой и к пространству (трехмерному) в определенных отношениях, могущих быть установленными особыми кинематическими аксиомами и следствиями из них. Рассматриваемое само по себе время образует то, что можно было бы назвать «пространством» одного измерения; рассматриваемое в связи с трехмерным пространством время образует пространство четырех измерений.

Время (абстрактное) может быть арифметизировано совершенно произвольным образом; всякому моменту будет всегда отвечать определенное число ~. Переход от одной арифметизации времени, рассматриваемого само по себе, к другой выразится ааменой числа 4 на 4 = ~ («). Абстрактное время как «пространство» одного измерения будет иметь свою метрику. Условимся бесконечно малое «расстояние» двух моментов называть бесконечно малым промежутком времени и обозначать 4»т; если при арифметизации времени указанным моментам отвечают числа «и» + Л«, то 4»т = Т444, где Т зависит от Г. Само собой разумеется, что промежуток времени 44Т не зависит от способа арифметизации времени.

Если, однако, рассматривать абстрактное время не само по себе, а в связи с трехмерным пространством, то пространство-время может быть опять-таки произвольным образом арифметизировано при помощи четверок чисел; тогда определенной точке трехмерного пространства и определенному моменту абстрактного времени будет отвечать одна, и только одна, четверка чисел: х„х„хз, х«.

Переход от одного способа арифметизации к другому выразится заменой одной четверки чисел: х„хз, хз х, другой четверкой: х„х„х, х„так как одна четверка вполне определяет другую и обратно, то мы будем иметь следую1цие формулы перехода: хз = 41 (х1) хз хз х4)1 х, = ~з (х,, х„хз, х,), хз 13 (х1, хзг хз~ х4), (20) х« — — /4 (хз, хз, хз, х4). Четырехмерное пространство, о котором мы только что говорили* (пространство-время), условимся называть г е о м е т р и ч е с к и м миром или просто миром. Определенной точке мира, которую мы будем называть иногда я в л ен и е и, отвечает одна определенная точка пространства и один определенный момент времени.

Все сказанное в предыдущей главе может быть перенесено на четырехмерное пространство, и таким образом может быть установлена геометрия етого четырехмерного пространства, иначе з В отличие от разобранного визие мира физического. 294 РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КОСМОЛОГИЯ говоря, г е о м е т р и я м и р а. Несобственные свойства мира будут зависеть от способа его арифметизации, собственные свойства мира (например, величины расстояния двух точек, векторная и метрическая кривизны) не будут зависеть от способа арифметизации мира и будут. следовательно, выразкены в и н в а р и а н т н о й форме !в установленном выше смысле этого слова) относительно преобразований координат, указанных формулами (20).

Условимся называть и н т е р в а л о м расстояние между двумя точками (явлениями) нашего мира; расстояние двух бесконечно близких точек нашего мира будет бе с к о нечн о малым инте рв а л о и; метрика мира (а значит, и определение бесконечно малого интервала) будет зависеть от десяти величин, составляющих фундаментальный метрический тензор. Параллельное перемещение в на«нем мире может зависеть помимо этих десяти величин еще от четырех величинмасштабного вектора. Следует заметить, что с термином «интервал» пока не дблжно связывать никакого конкретного содержания.

2. Выберем, пока совершенно произвольно, одну из координат мира за в р е и е н н у ю к о о р д и н а т у. Условимся так нумеровать коорпинаты, чтобы брать за временную координату всегда ХЗ. Остальные координаты х„х«, хз условимся называть и р о с т р а н с т в е н н ы м и к о о рд и н а т а ми. В нашем мире мы различаем, как и в трехмерном пространстве, два геометрических места точек; одно из таких геометрических мест будет состоять из точек, удовлетворяющих соотношению У (Х1Ф Х21 Х«1 ХЗ) = О.

Назовем это геометрическое место (аналогичное поверхности нашего пространства) гиперпо верх ность ю мира. Нетрудно, конечно, заметить, что гиперповерхность мира будет обладать свойством пространства трех измерений, однако термин пространства мы сохраним для других надобностей и не будем прилагать его к гиперповерхности вообще. Из гиперповерхностей особый интерес может представить для нас гиперповерхность, уравнение которой имеет вид х, = х«, и которое получается, полагая временную координату постоянной. Эта гиперповерхность будет геометрическим местом явлений мира, отвечающих определенному значению временной координаты; точки этой гиперповерхности будут иметь произвольные пространственные координаты, и мы условимся называть эту гиперповерхность и р о с т р а н с т в о м„отвечающим данному моменту х„. Другое геометрическое место точек нашего мира будет аналогично кривой нашего пространства и будет называться м и р о в о й к р и в о й. Мировая кривая будет геометрическим местом точек, определяемых равенствами х, = ~р,(и), ХЗ = 4('3 (И) Х« «РЗ (П) где и — произвольный параметр.

Исключая параметры из указанных четырех уравнений, получим три соотношения между координатами х„, х», МИР КАК ПРОСТРАНСТВО И ВРЕМЯ 295 хз х, мира. Простейшей мировой кривой является кривая, в которой упомянутые три соотношения сводятся к приравниванию пространственных координат постоянным величинам: Хз = Х224 Хз= Хтш хз = хзз. Временная координата на такой кривой нронзвольна, различным точкам этой кривой будут отвечать различные значения временной координаты; такую мировую кривую назовем временем, отвечающим Данной точке (хмн хзз, хзз) пРостРанства.

МиРовые кРивые делятся естественно на два класса. Те мировые кривые, у которых временная координата постоянна: х, = х,з (не зависит от параметра и), называются пространственными линиями или трае к т о р и я м и. Пространственная линия целиком лежит в пространстве, отвечающем некоторому моменту (именно на гиперповерхности хз =. = хзз) и является типичным образцом упоминавшихся уже нами кривых в пространстве трех измерений. Мировые кривые, не принадлезкащие к пространственным линиям, образуют другой класс кривых; в них временная координата хз зависит от параметра и.

Характеристики

Список файлов учебной работы