Дифференциальные уравнения турбулентного движения сжимаемой жидкости (1124010), страница 50
Текст из файла (страница 50)
12 изображено параллельное перемещение бесконечно малого вектора по дуге большого круга; отметим еще раз, что угол/с„составляемый вектором с дугой в начальной точке, одинаков с углом ю„составляемым параллельно переместившимся вектором с дугой в конечной точке. Рис. 10 Рис, И ! / / / / / / ! ! о/~ Р, 1З Рис. 12 5. Проведем через заданную точку Р какую-либо замкнутую линию— контур С (рис. 13), возьмем некоторый бесконечно малый вектор а в точке Р и будем параллельно перемещать его вдоль по ливии С, пока снова не вернемся в исходную точку Р; наш вектор превратит/я в гектор а', причем и по величине (в пространствах %еуГя), и по ваптавлеввю (как в пространстве ЪЧеу1'я, так и в пространстве Римана) вектор а, вообще говоря, не должен совпасть с вектором а'. Случай, когда а' /отпадает с а и по величине и по направлению, будет случаем хсключьлслгхьм.
Обозначим через /х угол, который а' будет сбуазсьыгать с а. От каких величин может, вообще говоря, зависеть этст угсл? Само ссбой разумеется, что угол зтот будет зависеть от свойств рассматриваемого пространства (ибо само параллельное перемещение характеризует пространство) и от вида замкнутой линии С. Проводя через точки Р суживакшисся сомкнутые лннии, мы мох<ем заметить, что вид ссквнутсй ливки будет влиять все меньше и меньше на угол а; для двумерного врсстранства зтот угол РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КОСМОЛОГИЯ 272 а окажется пропорциональным площади Я*, ограниченной замкнутой кривой, причем множитель пропорциональности будет меняться в зависимости от положения точки Р.
Этот множитель пропорциональности и называется векторной кривизной или просто кривизной двумерного пространства в точке Р; обозначая кривизну буквой К, будем иметь К = 11ш —. 3 о~ Аналогично определяется кривизна и для трехмерного пространства» было бы слишком сложно останавливаться на этом определении кривиз- ны в трехмерном пространстве подрооно. Для нас достаточно будет знать, что угол а,который вектор, возвратившийся в исходную точку после параллельного перемещения, я а' образует с вектором исходным, характеризует среднюю кривизн у той области пространства, где расположена нагла замкнутая кривая. Чем этот угол будет больше, тем я л больше будет упомянутая средняя гзр.-л кривизна.
Равенство нулю этогз угла будет означать, что средняя рис. 14 кривизна пространства в рассматриваемой его части будет равна нулю. Чтобы дать наглядное представление о кривизне, вообразим себя снова в виде двумерных теней, живущих на сфере радиуса В. На этой сфере образуем сферический треугольник АВС из трех «прямых» линий (рис. 14), т. е. из дуг большого круга (пространство на сфере относится нами к пространствам Римана); пусть А, В, С означают три внутренних угла нашего треугольника. Возьмем в точке А бесконечно малый вектор а, совпадающий по направлению с направлением дуги АВ (прямой~), переместим параллельно этот вектор по замкнутой линии, образующей треугольник х Понятие «площади» нуждается, конечно, в определении.
Нс входя в дстальвыс подробности, отметим, что для двумериого пространства площадью части этого про. страиства, огрзвичевиой юпщвртой кривой, будем вазывать число, опрсделсввоо с помощью нет«трала Ц)ГЯ Их~Ох», где л= «пям — д~ю а интеграл распространен иа область, огравичсввую дашей ззмквутой кривой. Для евклидовой плоскости понятие площади, т. о. опрсдслеввос, совпадает с обычкым; то же будет в лля площади фигуры ва сфере. МИР КАК ПРОСТРАНСТВО И ВРЕМЯ 273 АВС; в точку А наш вектор вернется в виде вектора а' с уже изменившимся направлением. Вычислим угол с«между векторами а и а'. Для этого произведем последовательно параллельное перемещение вектора а по дугам АВ, ВС и СА.
Так как А — прямая, то вектор а, переместившись в точку В в виде вектора ио будет иметь направление дуги АВ в той же точке В и, значит, с дугой ВС будет образовывать угол в 180' — В. Перемещая параллельно вектор а, по прямой ВС, мы, сообразно уже сказанному, должны сохранять неизменным угол между вектором а, и прямой ВС; таким образом, угол вектора а.„в который превратился после параллельного перемещения вектор а„с дугой ВС будет тот же, что и угол вектора а„ с этой дугой, т. е. будет равен 180' — В.
Определим угол х вектора а, с дугой СА, по которой ему предстоит параллельно перемещаться; из рис. 14 видно, что сумма х -,'— (180' — В) + (180' — С) образует угол в 360', откуда х —  — С + 360' =- 360' и х = В + С; таким образом, угол вектора аа с дугой СА будет В + С; этот угол сохранится, когда а, параллельно переместится по дуге «прямой» СА и займет положение вектора а,. Таким образом, а' с дугой СЛ будет иметь угол, равный В + С; если ««будет углом между а и а', то из рис. 14 следует, что В + С вЂ” а будет угол, который а образует с дугой СА; с другой стороны, а с дугой ЛС образует угол А.
Сумма этих углов равна 180'; таким образом В -(- С вЂ” з -(- А = 180', и= А+В+С вЂ” 180; иначе говоря, угол а есть так называемый сферический избыток, равньгй, как известно из сферической тригонометрии, отношению площади В сферического треугольника АВС к квадрату радиуса В сферы: в а 1 У Ж' Следовательно, по определению кривизны Х будем иметь т. е. кривизна нашего сферического двумерного пространства обратно пропорциональна квадрату радиуса сферы.
Проделывая то же самое построение с плоским треугольником, мы нашли бы, что угол а = О, ибо сумма углов в плоском треугольнике равна двум прямым (180'); в соответствии с этим мы получили бы, что кривизна плоскости равна нулю. 1З А. А. Фридман РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КОСМОЛОГИЯ у. = 111в —. ). з о Я ' (12) Для трехмерного пространства метрическая кривизна определяется вполне аналогичным манером. Для нас достаточно знать, что относительное удлинение характеризует срсднюю метрическую крив и з н у той области пространства, в которой расположена замкнутая линия С. Само собой разумеется, что метрическан кривизна Риманова пространства равна нулю, но следует тут эке отметить, что метрическая кривизна может быть нулем и для пространств, отличных от Римановых. Как векторная, так н метрическая кривизна пространства не меняются от точки к точке в пространстве.
Векторная кривизна вполне Только что произведенное построение показывает большую связь кривизны с вопросом о сумме углов треугольника, а как известно, суммауглов треугольника теснейшим образом связана с постулатом Евклида; к сожалению, однако, я не могу остановиться более подробно на этом обстоятельстве.
Исследование, которое только что выполнили сферические двумерные существа, дало бы им возможность определить кривизну их пространства, а следовательно, и радиус той сферы, при помощи которой они могли бы интерпретировать свою геометрию. К этому замечанию мы еще вернемся ниже. 6. Когда вектор, параллельно перемещаясь из точки Р по замкнутой кривой С, вернется в виде вектора а' в ту же точку, то величина его,вообще говоря, изменится. Для Римановых простракств, как уже было указано выше, величина вектора при параллельном его перемещении не Изменится, поэтому величина а' будет равна величине а; иначе будет обстоять дело с пространствами Й'еу1'я, там величина а' будет отлична от величины а.
Исследуем это изменение величины параллельно перемещающегося вектора. Оно будет зависеть от трех причин: во-первых, отпервоначальной величины вектора а, во-вторых, от вида замкнутон кривой С и, в-третьих, от свойств нашего пространства. Пусть 1, 1' будут величинами векторов а и а', с1 = Р— 1 будет изменением величины вектора а при параллельном перемещении его по замкнутой кривой, А = АП1 будет относительным изменением величины вектора и при параллельном перемещении его по замкнутой кривой С. Обратимся снова к двумерному пространству; относительное изменение А величины вектора а будет при достаточно малом С пропорционально площади 5, ограничиваемой кривой С, причем мне~китель пропорциональности будет меняться в зависимости от полоэкения исходной точки Р.
Этот множитель пропорциональности называется %еу1'ем м е т р ическойкривизнойдвумерного пространствавточке Р; обозначая метрическую кривизну буквой Ь, будем иметь ъ ВР кАк пггстРАнство и ВРемя 275 определяется по фундаментальному метрическому тензору и по масштабному вектору, тогда как метрическая кривизна требует для своего вычисления знания лишь одного масштабного вектора. Само собой разумеется, что и векторная и метрическая кривизна суть собственные свойства пространства и не зависят от способа его арифметизации. Мы, все время говоря о прострагстве, имели в виду трехмерное пространство и обраща. лись к двумернсму пространству лишь з гелях иллюстрации. Нетрудно, однако, обобщить определения наших пснятнй и их свойств напространство любого числа измерений. Формально мы не встретимся ни с какими затруднениями, за исключением лишь увеличения числа д1э для фундаментального метрического тензора и числа величин, определяющих масштабный вектор.
Для двумерного пространства мы имеем три величи1 ы для определения фундаментального метрического тензора и две величины для определения масштабного вектора; в трехмерном (обычном) пространс1эе мы будем иметь шесть величин для определения фундаментального метрического тензорз и трн для определения масштабного вектора; ваконец, в четырехмерном пространстве число величин, нужных для определения метрического тензора, увеличится до десяти (число различных комбинаций значков 1, 2, 3, 4 по два), а число величин, несбходимых для определения масштабного вектора, дойдет до четырех. 7. Обратимся теперь снова к физическому пространству кпосмотрим, как можем мы с помощью физических манипуляций установить кривизну того геометрического пространства, коего физическое пространство служит интерпретацией.
Для этого необходимо прежде всего установить те вещи физического просэранства, которые соответствуют понятиям направления, вектора, угла в геометрическом пространстве. Так как физическое пространство есть пространство материальное, то указанные вещи должны быть связаны с определенными ма~ериальными объектами. иначе говоря, направление должно осуществляться с помощью материальных тел или процессов (нанример, при помощи светового луча), угол должен получаться в результате определенной манипуляции с материальными телами (фиэическое измерение угла).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
