Дифференциальные уравнения турбулентного движения сжимаемой жидкости (1124010), страница 47
Текст из файла (страница 47)
Трудность научения расстояния двух точек эависнт прежде всего от большого числа переменных, входящих в функцию Р. Чтобы упростить изучение расстояний, рассмотрим расстояния точек Р', близких к точке Р, от этой самой точки и посмотрим, как в атом случае выраэится функция д); мы увидим, что в рассматриваемом случае, когда Р' блиэко к Р, выражение расстояния этих точек будет как-то зависеть от координат точки Р и весьма просто * зависеть от очень малых (бесконечных малых) разностей координат точек Р и Р. Предварительно, однако, введем в рассмотрение не расстояние точек Р' и Р, а квадрат этого расстояния и ограничимся не тремя, а всего лишь двумя координатами ее: (Р, Р')' = Юа = Л(х„ха; х„х,).
а В первом приблищеяии, конечно. а' Этот переход к двумерноМу пространству делается ивин исключительно в целях упрощения. 17 А, А. Фридман РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КОСМОЛОГИЯ 258 Чтобы определить функдию Р или ддд, нам, конечно, необходимо установить известные ограничения, которые мы наложим на понятие расстояния; ограничения зги, само собой рааумеется, будут играть роль аксиом в той системе геометрии, которую мы развиваем. Итак, положим, что расстояние точек (Р, Р') будет обладать следующими свойствами: 1) расстояние не зависит от порядка следования точек: (Р, Р') = (Р', Р), й ( д, ';, х1~ = й(х,', ', х,); 2) расстояние двух совпадающих точек (точек с одинаковыми координатами) равно нулю: (Р,Р) =О, дд(хд, х,; х„ха) =0; 3) квадрат расстояния двух достаточно близких точек разлагается в ряд Тейлора по степеням разностей координат этих точек: Л (хд, ха,' хд, ха) = 8а + бд (хд — хд) + ла (ха — ха) + бдд (хд — хд)а+ + бда(хд — х,)(ха — ха) + Аад(ха — ха)(х,' — х,) + даа(ха — ха)а +..., (7) 6'ад бм " бдд1 бм.-.
где зависят, конечно, от х„ х„ как это полагается в ряде Тейлора. Так как Л (х„ха, х„ха) = да по формуле (7), то на основании свойства 2) яа обратится в нуль. С другой стороны, прн очень малых разностях х' — х, х' — х, д а дд = да = О. Полагая, что х, = х, + ддха, х, = х, + ддх„ и считая, что ддх„ддха члены с первыми степенями этих величин в формуле (7) будут играть главную роль, коль скоро д„яа не будут одновременно обращаться в нуль, но члены с первыми степенями изменяют свой знак, когда мы координаты поменяем местами. Таким образом, (Р, Р') и (Р', Р) для достаточно близких между собой точек будут различны по знаку, что будет противоречить свойству 1) расстояний; значит непременно мы должны предположить, что МИР КАК ПРОСТРАНСТВО Н ВРКМЯ достаточно малы, будем иметь Л = д„йх1+ дм йХйХ+ ды Лх,йх, + д„йх; + Полученная формула для квадрата расстояний содержит четыре члена, но в этой формуле есть подобные члены; приводя их н заменяя Лх„Ьхз на с(хы с(хз (велиины бесконечно малые), будем иметь онончательно Ь = Нгз = д„дх~ + 2лдз Их,г)хз + дзздх*, (8) где 2л,з заменЯет выРажение д,з + изб слеДовательно, ьь» симметРично по отношению н своим значкам, т.
е. ьч» = д»ь Очевидно, что я»» зависит от х„, х,. Величину Л мы обозначаем через багз; таким образом ~Ь будет расстояние (в первом приближении) двух бесконечно близких точек. Итак, квадрат расстояния двух бесконечно блнаних точек является квадратной функцией от бесконечно малых разностей координат этих точек с коэффициентами, зависящими от координат основной точки. Знание этих трех коэффициентов для любой из точен двумерного пространства вполне определит метрику расстояний в нашем пространстве в непосредственной близости к данной точке; можно показать *, что знание этих коэффициентов даст возможность так определить квадрат расстояния любых двух точек, чтобы выражение (8) давало расстояние двух бесконечно близких точен.
Заметив, что изучение расстояний в физическом пространстве в свою очередь будет базироваться на расстояниях весьма блиаких друг к другу точек; условимся считать м е т р и к у р а сстояний пространства определенной, коль скоро нам при данной арифметизацни пространства заданы «»» как функции координат точек нашего пространства. Совокупность д;» как функций координат точки Р называется фундаментальным метрическим тензором. Для трехмерного пространства будем иметь не три, а шесть коэффициентов ьч», н формула (8) перепишется по аналогии так: Нзз = д|г сЬ,' + д»здх, '+ лзз Нх', + 2дззс(х, с(хз + 2дз,дх»Нх, + 2дзздхгйхз', (9) следовательно, для трехмерного пространства фундаментальный метрический тензор будет состоять из шести функций координт нашей точки. 3.
Ввиду чреавычайной важности для всего дальнейшего понятия о фундаментальном метрическом тензоре рассмотрим определенные выше расстояния в двух указанных ранее способах арифметиаации двумерного пространства. * Нз доказательстве этого утверждения мы останавливаться здесь ие имеем воэ. можяости. 1уе РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КОСМОЛОГИЯ В первом способе имеем 12 = (х' — х,)' + (х',— х,)', иначе говоря, кз — — О, й1 = — О, дз — — О, б„ = 1, б12 -- О, б21 †††О, х22 — — 1; мы получаем обычные формулы аналитической геометрии для квадрата расстояния и для квадрата элемента дуги. Несколько более сложны вычисления для арифметизации по второму способу; не приводя этих вычислний, заметим, что для второго способа арифметизации ,-2 рв = О, ~1 = О, Ь'11 = 1~ Ь'12 = ь21 = О~ ь22 = '..' аЬ2 = 102+ хзйхз.
В этой формуле мы узнаем элемент дуги в полярных координатах. 4. Совершенно ясно, что, аная 12 или аз для любых точек, бесконечно мало разнящихся от точки Р, мы будем знать фундаментальный метрический тензор в точке Р; в то же время мы можем с помощью фундаментального метрического тензора определить длину дуги заданной кривой между двумя точками Р, и Р2. Поместим между Р, и Ра на кривой бесчисленное мяожество точек и просуммируем вааимные их расстояния; в результате получим. число, которое и назовем длиной дуги нашей кривой между точками Р, и Р,. Пользуясь обычными формулами интегрального исчисления, будем для длины дуги кривой БР„Р1 между точками Р, и Р, иметь выражение 3Р1, Р2 = ~ ~/ 211 ~ — „'-) + д22 (" — ') +... Ыи, ((О) где иы из — значения параметра и нашей кривой для точек Р, и Р,.
5. Посмотрим, каким образом изучение физического пространства монсет нам указать (по крайней мере, принципиально), какова зависимость фундаментального метрического тензора от координат точек и какова, следовательно, метрика расстояний того геометрического пространства, в соответствие которому приведено наше физическое пространство и для которого, следовательно, наше физическое пространство является интерпретацией. Положим, что мы устанавливаем для наших физических «точек», лежащих на физической кривой, особое свойство иметь физическое расстояние по кривой. Положим, что с помощью определенных физических манипуляций мы переводим зто свойство в разряд сначала интен- МИР КАК ПРОСТРАНСТВО И ВРЕМЯ 261 сивностей, а затем и иамеримых интенсивностеи; напомним, что для этого надо установить по отношению к этому физическому расстоянию по кривой понятия болыпе или меньше и понятие равноотстоящих интенсивностей.
Полол<им далее, что путем определенного выбора начального значения и единицы измерений мы измеряем введенную нами интенсивность. Результатом измерения будет некоторое число, которое мы будем называть физической длиной дуги по данной кривой между точкамими Р, иР,. Если физическая лина дуги является интерпретацией определенной выше в и, 4 геометрической длины дуги (или просто длины дуги), то, очевидно, оба числа, дающие геометрическую и физическую длины дуг, должны (по крайней мере прн некотором выборе начального значения и единицы измерения) совпасть мелинду собой. Так как геометрическая длина дуги между двумя совпадающими точками равна нулю (по свойству интеграла (10)), то, очевидно, что за начальное значение должна быть выбрана физическая длина дуги мемеду двумя совпадающими точками; выбор единицы измерения ничем не должен быть ограничиваем е.
Положим, теперь, что через данную физическую точку Р мы проводим ряд кривых и на каждой из этих кривых берем очень близкую к Р точку Р'; измеряя физическую длину дуги по каждой из этих кривых между точками Р и бесконечно к ней близкой, мы получим ряд чисел Аг„аг„..., которые можно будет отоя<дествить с соответствующими геометрическими длинами дуг. А так иак дуги очень малы, то их длины можно отождествить с расстояниями очень близких точек и зти расстояния вычислить по формуле (9), заменяя в ней Их„дх„дхз на очень малые величины бх„йхз, бхз, представляющие разности координат точек Р' и Р. В формуле (9) величины А1з нам неизвестны, но зато Лх,,..., а также левые части получен ных равенств будут нам известны; сделав достаточное число промеров, мы в состоянии будем установить достаточное число уравнений, из которых и определим йдз, для трехмерного пространства нам нужно, очевидно, не менее шести промеров, а для двумерного — не менее трех.
* Этот произвол единицы измерения чрезвычайэо характерен. Ьуеу! использует его для установления особого полития произвольности масштаба. Измеряя физическую длину, мы можем пользоваться произвольяой и притом меияющейся от точки к точке единицей измерения; спрашивается, при какой же единице иамерепия наша фиаическая длина будет ицеятачпа длине геометрической? Если атот вопрос оставить не определеяиым (а так и приходится в сущности делать, ибо едивица намерения зависит от нашего проиавола), то фиавческая длива определит иам ие оз, а р (х„х„х,) оз, где р — иеопределеииая фупкция координат.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
