Дифференциальные уравнения турбулентного движения сжимаемой жидкости (1124010), страница 45
Текст из файла (страница 45)
Большинство свойств, нами изучаемых, относится непосредственно к разряду интенсивностеи, так как при самом определении данного класса свойств уже устанавливается понячие больше или меньше в приложении к свойствам этого класса. Иногда, однако, свойства представляются в таком виде, что перевод их в разряд интенсивности требует дополнительных определений; примером может служить свойство монохроматического луча иметь цвет; с первого взгляда кажется явно бессмысленным считать цвет интенсивностью, однако введя дополнительное определение, мы можем считать, что тот цвет больше, который имеет большую длину волны; коль скоро определение это будет введено, цвет станет интенсивностью и нетрудно будет арифметизировать этот класс свойств так, чтобы арифметизация стала бы оценкой.
Итак, перевод класса свойств в разряд класса интенсивностей целиком зависит от наших определений и, следовательно, от нашего произвола. Вопросов целесообразности применения термина интенсивности к тому или иному свойству я, конечно, не касаюсь. 3. Среди интенсивностей выделяется исключительная группа, обладающая характерными свойствами, позволяющими производить особую оценку (арифметизацию), называемую и з м е р е н и ем. Пусть А„А„АВ....
будут интенсивностями данного класса А; так как мы имеем дело с интенсивностями, то у нас имеется определение того, что означает суждение: А, меныпе Аз. Положим, что для интенсивностей класса А мы так или иначе определим понятие о трех равноотстоящих интенсивностях; при этом под тремя равноотстоящими интенсивностями будем подразумевать такие интенсивности А„ А„ Аю что А, настолько меньше А„ насколько А, меньше А,.
Условимся интенсивности класса А, к которым применимо понятие о равноотстоящих интенсивностях (так или иначе нами определенное), называть измеримыми интенсивностями. Само собой разумеется, что введением соответствующего определения можно любой класс интенсивностей сделать классом измеримых интенсивностей;подобно тому, как это имело место для перевода свойств в разряд интенсивностей, и в настоящем случае могут представиться две возможности: или, при самом установлении какого-либо класса интенсивностей, будет дано определение понятия о равноотстоящих интенсивностях, и тогда мы с самого начала будем иметь дело с измеримыми интенсивностями; или при установлении класса интенсивностей понятие о равноотстоящих интенсивностях определено не будет; в таком случае данный класс интенсивностей мы можем перевести в разряд измеримых лишь после дополнительного введения упомянутого понятия о равноотстоящих интенсивностях.
Примером интенсивности, с, самого установления своего являющейся интенсивностью измеримой, может служить объем материального тела или длина отрезка прямой; В самом деле, устанавливая понятие об объеме или о длине отрезка прямой, мы с самого начала даем Рвлятивистская космология 250 определение того, чтб следует понимать под ббльшим объемом или большей длиной, а также чтб следует понимать под тремя равноотстоящими длинами трех отрезков. Наоборот, интенсивность степени познания учащихся с самого установления своего не является измеримой, и до сего времени определение понятия равноотстоящих степеней познания учащихся ие установлено. 4. Произведем арифметизацию (оценку) класса измеримых интенсивностей, но зту оценку произведем таким образом, чтобы последовательные разности чисел, отвечающих любым трем равноотстоящим интенсивностям, были бы равны между собой; иначе говоря, если а1, аю а, суть числа, отвечающие при оценке трем равноотстоящим н увеличивающимся интенсивностЯм А1, Аю Аз, то аз — а1 = аз — аз.
Подобного рода оценку класса измеримых интенсивностей будем называть измерением. Мы видели, что арифметнзацию данного класса свойств можно произвести совершенно произвольным образом; в оценке данного класса интенсивностей произвол несколько меньше,новсежееще чрезвычайно значителен. Посмотрим, какой произвол может быть допущен прн измерении данного класса измеримых интенсивностей. Пусть данный класс А измеримых интенсивностей измерен двумя различными способами: при первом способе измерения интенсивностям А„А.„А,... отвечают числа а1, аю аз..., при втором — числа я1, яю а,.... Из свойств арифметизации следует, что а = /(а), где / †определенн однозначная функция а.
Коли А„А„А, — три какие-либо равноотстоящие величины, то по основному свойству аз — а, = а, — а1 и одновременно яз — а, =. а, — а1; таким образом, при а, =(аз + а1)/2 имеет место равенство а, =- (а, + а1)/2, но так как а = г" (а), то мы будем иметь У( ) /(аЗ)+/(а1) или (аЗ+ а1'1 /(аВ) + /(а1) 2 / 2 при всех а„а,; заменяя а1 на х, аз на у, найдем, что при всех х и у будет иметь место функциональное соотношение (х + у1 / (х) + / (у) 2 / Можно доказать, что решение функционального уравнения (1) представится в виде ~ /а/ =- )1а + /1, где р и Ь вЂ” постоянные числа.
МИР КАК ПРОСТРАНСТВО И ВРКМЯ 251 Найденное выражение для 1 (а), очевидно, удовлетворяет уравнению (1): + 2(1 +РУ+ ) 21 ( +У)+ х+Р . 1 1 Таким образом, мы нашли общий вид 1 (а), позволяющий от одного способа измерения переходить к другому: а=1(а) = ра+Ь. (2) откуда 1 )г =— аг — аг Ь= —— аг аг — аг 5, В обычной практике измерений мы чрезвычайно часто сталкиваемся с произволом единицы измерений и гораздо реже с произволом начального значения, что проистекает вследствие практического удобства выбирать за начальное значение такую интенсивность данного класса, которая обладает некоторыми особыми свойствами.
Так, например, при измерении длины отрезка за начальное значение всегда берут длину отрезка прямой между совпадающими точками (длину точки), тогда как за единицу измерения берут самые разнообразные разности длин (аршины, футы, метры и т. и.). Эта общая формула перехода от одного способа измерения к другому содержит в себе две постоянные. Постоянная Ь характеризует собой произвольность начального значения, иначе говоря, произвольность той интенсивности, которая отвечает нулевому значению измеряющего ее числа. Постоянная р характеризует собой произвольность е д и н и г) ы и ам е р е н и я, иначе говоря, произвольность тех двух интенсивностей, разность чисел, измеряющих которые, равняется единице.
Задав начальное значение и единицу измерения, мы, как легко видеть, определим вполне и единственным образом обе постоянные р и Ь, входящие в формулу (2), иначе говоря, определим единственным образом измерение интенсивностей данного класса. В самом деле, пусть интенсивность А, класса А есть начальное значение (т.е. при измерении должна отвечать нулю) и пусть интенсивности А, и Аг определяют собой единицу измерения (т. е. пусть при измерении разность чисел, измеряющих Аг и А„будем равна единице). Произведем каким-либо образом измерение класса А; положим, что при этом измерении интенсивностям Аа, Аг, Аг будут отвечать числа аа, ап и„ тогда искомое измерение дает нам числа а, связанные с полученными при введенном измерении числами а соотношением (2).
Нам остается подобрать р и Ь так, чтобы аг = О, аг — а, = г, иначе говоря, так, чтобы удовлетворялись равенства рпа + Ь = О, р (аг — аг) = 1, РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КОСМОЛОГИЯ 252 Существует, однако, интенсивность, в которой практикой узаконено большое разнообразие начальных значений; зта интенсивность — ' температура.
В самом деле, для измерения температуры в градусах Цельсия и Реомюра за начальное значение мы берем температуру тающего льда, тогда как при измерении температуры в градусах Фаренгейта мы приписываем температуре тающего льда число 32, а при измерении температуры в градусах абсолютной шкалы — число 273. Само собой разумеется, что и единица измерения температуры меняется: так, для градусов Цельсия мы имеем, что разность чисел, отвечающих температурам паров кипящей воды и тающего льда, будет равна 100, а для градусов Реомюра это число определяется всего в 80. 6. Я остановился столь подробно на вопросе об измерении по двум причинам. С одной стороны, нам непрерывно в дальнейшем придется противопоставлять процесс простой арифметизации процессу измерения, а с другой стороны, в вопросе измерения, столь простом по существу, замечается значительная недоговоренность во многих курсах механики и физики, ставших классическими; установить ббльшую определенность в этом вопросе и вместе с тем показать, сколь большой произвол имеет место при установлении измерения, и было моей задачей *, Итак, всякий класс свойств может быть арифметизнрован.
Если свойства эти делаются (путем нашего определения) интенсивностями, то мы можем не только арифметизировать их, но н оценить их числами; наконец, если интенсивности данного класса делаются (опять таки путем нашего определения) измеримыми интенсивностями, то мы можем не только оценить их числами, но измерить; измерение будет включать в себя известный произвол, который устраняется, если мы установим начальное значение и единицу намерения. й й.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
