Дифференциальные уравнения турбулентного движения сжимаемой жидкости (1124010), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Положим далее, что )о заключено в интервале (О, '/, (с»/А»)); тогда начальное значение радиуса кривизны В»может лежать в одном из трех интеРвалов: (О, хо), (хо, х'), (х', со). Если Во лежит в интеРвале (хо, х'), то квадратный корень в формуле (7) имеет мнимое значение и пространство с такой начальной кривианой не может существовать. Случай, когда Во лежит в интервале (О, хо), мы рассмотрим в следующем пункте, теперь оке остановимся на третьем случае, когда В, ) х,' нли Л, ) д (А, А). В этом случае рассуждениями, аналогичными приведенным в предыдущем пункте, можно показать, что В будет возрастающей функцией в р е м е н и, причем Л может меняться, начиная с х,' = О ()о, А); промеяоуток времени, прошедший с момента, когда Л = хо до момента В = Л„ назовем временем, протекшим от «сотворения мира», и обозначим через /'» 1 Г' я — о(х.
А — в+ — яо 'о Зоо Условимся рассматриваемый мир называть и о н о т о н н ы м м иром второго рода. * Время, прошедшее от сотворения мира, характеризует время, прошедшее от момввта, когда пространство было точкой (В = 0) до кьшеяшвго его состояния (Я = =- Яо); »то время может быть бвсковечпым. О КРИВИЗНК ПРОСТРАНСТВА 237 ж 3 г' ! ох е А — х+ хг 3«« (14) причем радиус кривизны будет меняться от нуля до х„. Условимся такого рода мир называть п е р и о д и ч е с к и м.
Период периодического мира возрастает с возрастанием Л, стремясь к бесконечности, когда Л стремится к Лг = «!»(с»)А»). Прн малых Л период 1, определяется приблизительной формулой яА гп = с (15) На периодический мир можно смотреть с двух точек зрения. Если считать два явления совпадающими, коль скоро совпадают пространственные координаты, а временные отличаются на целое число периодов, то радиус кривизны мира, увеличиваясь сначала от 0 до х„будет затем уменьшаться до нуля: тогда время существования мира будет конечным.
С другой стороны, если изменять время от — оо до+ оо, т. е. если считать два явления совпадающими, коль скоро совпадают не только их пространственные координаты, но и их временные координаты, то мы придем к действительной периодичности кривизны пространства. 7. Данные, которыми мы располагаем, совершенно недостаточны для каких-либо численных подсчетов и для решения вопроса о том, какиммиром является наша вселенная! быть может, проблема причинности и проблема центробежной силы прольют свет на рассматриваемые здесь вопросы.
Следует отметить, что в полученных нами формулах «космологическая» величина Л не определяется, являясь лишней константой задачи; быть * См., например, ЪУ е!его ! гаво К. !7еЬ«г е1пе Оа!!ап8 бег гее! репобжсЬег Ропе!!опеп.— Мова«еЬег. Коп1я!. АЬаб. 'гг!вв., 1866, а также, Еаг ТЬеог1е бег Ь!е1пеп еай!«Ьеп Я«Ь»г!Вхопяеп.— а. ма!Ь. ппб РЬуа., 1902, 47. В вашем случае необходимо, конечно, внести некоторые видоиамекеиия в рассуждения цатироваинмх авторов; паролем, пераодвчаость а вашем случае усгаиавлиаа етса лугом элементарного рассмотрения.
6. Рассмотрим, наконец, случай, когда Л ааключено в интервале ( — о, О). В этом случае, если В, ) х, =- 0 (Л, А), то квадратный корень в формуле (7) становится мнимым, и, следовательно, пространство с указанным радиусом кривизны не может существовать. Если Во ( х, то рассматриваемый случай будет совершенно одинаков со случаем, опущенным при рассмотрении в предыдущем пункте. Итак, положим, что Л лежит винтервале ( — оо, «1«(сЧА«)), а Ве(х .
Обычными рассуждениями * можно в этом случае показать, что В будет периодической функцией от г с периодом !а, который мы назовем п е р и о д о м м и р а и который будет определен равенством гнлятивистская космология может, электродинамнческие соображения смогут определить эту величину. Полагая )г= 0 и считая М равной массе 5.10м наших Солнц, будем для периода мира иметь величину порядка 10 миллиардов лет. Эти цифры могут иметь, конечно, лишь иллюстративное значение. 91етроград, 29 гяая 1922 г. О ВОЗМОЖНОСТИ МИРА С НОСТОНННОЙ ОТРИй~АТВ911НОИ ИРИВИЗНОИ ПРОСТРАНСТВА'г 1. В заметке «О кривизне пространства» е мы рассмотрели те решения космологических уравнений Эйнштейна, которые приводят к типам мира, обладающим в качество общего признака постоянной положительной кривизной; при этом мы обсудили все возможные случаи. Однако возможность получить иа космологнческих уравнений мир постоянной положительной кривизны находится с тесной связи с вопросом о конечности пространства.
Поэтому представляет интерес посмотреть, мсжно ли получить нз тех же уравнений мир с постоянной отрицательной кривизной, о конечности которого едва ли можно говорить да>не прн некоторых дополнительных предположениях. В настоящей заметке будет показано, что нз косыологических уравнений Эйнштейна действительно можно получить мир с постоянной отрицательной кривизной. Как в упомянутой работе, так и здесь мы должны различать два случая, а именно: 1) случай стационарного мира, кривизна которого постоянна во времени, и 2) случай нестационарного мира, кривизна которого хотя и постоянна в пространстве, но меняется со временем, Между стационарными мирами с постоянной отрицательной и с постоянной положительной кривизной имеется существенное различие.
Именно миры с отрицательной стационарной кривизной не допускают положительной плотности вещества; она должна быть или отрицательной, или нулевой. В соответствии с этим аналогом физически возможных стационарных миров (т. е. миров с неотрицательной плотностью вещества) является не мир Эйнштейна, а мир Де-Ситтера е*. а Р г 1 е б ш а и А. 2. Раув., 1922, 19, Ые1., 6, 376; то же ва русском языке: ЖРФХО, часть фиаич., 1924, 66, вмп.
1, 69. См. стр. 229 настоящей ккигв. г'я На то, что возможность мира о отрикательвой кривизной пространства тробует особого исследования, мке указал мой друг проф. Я. Д. Тамаркви. О ВозможнОсти миРА с пОстОяннОЙ ОтгицАтельной кРиВизнОЙ 239 В2(4922+ баххх+ <Ь~) 4192 2 2 9 +М21х2 где Лестьфункцня времени, аМ вЂ” функция всех четырех мировых координат. Постоянная отрицательная кривизна пространства в нашем мире при этом пропорциональна — 1)Л2 *. Учитывая, что для нашего мира 4Ь2 образует неопределенную форму, можно, изменив обозначения записать, формулу (Пт) в виде 41т' = — — ' 2 -+ М'4(х~ 42 2 4 9 (Вх) Разумеется, пространственная кривизна нашего мира остается отрицательной и пропорциональной — 1/Л2.
Наша задача состоит в том, чтобы найти две функции Л и М, удовлетворяющие космологическим уравнениям Эйнштейна, т. е. уравнениям (А), (В) н (С) упомянутой заметки. Полагая в (А) 1 = 1, 2, 3 и й = 4, получим следующие три уравнения В (х4) д л (х4) д. л (х4) д О' дМ , ЗМ , ЗМ дхх 4 дх2 Эти уравнения показывают, что рассматриваемые миры могут принадлежать одному из двух типов: Тип 1.
Стационарные миры, В' = О, В не зависит от времени. Тип 2. Нестационарные миры, В' + О, М зависит только от времени. Рассмотрим сперва случай стационарного мира; решение для нестационарного мира отрицательной кривизны имеет большое сходство с решением 4 Относительно лвяейксгс элемек2а см., например, В 19 по п1 В. Ьемоп1 41 яесше4219 41Пегеп21919, х. 1. ВО1сдпа, 1923, р. 345. В заключение этой заметки мы коснемся вопроса о том, можно ли вообще судить о конечности или бесконечности пространства по его кривизне. 2. Обратимся к общим предположениям, которые мы будем разделять на те же два класса, что и в упомянутой выше работе; при этом мы сохраним наши старые обозначения.
Предположения первого класса заключаются в том, что в качестве космологических уравнений Эйнштейна мы возьмем за основу уравнения (А), (В), (С) упомянутой работы. Второй класс предположений будет теперь отличаться от старого. Предположив, что одну из мировых координат х, можно рассматривать как временную координату, мы можем придать (для рассматриваемого случая мира с отрицательной постоянной кривизной пространства) второму классу гипотез следующую формулировку: интервал 4(г2 должен иметь вид РклятнвистскАЯ космология для нестационарного мира постоянной положительной пространственной кривизны; поэтому мы коснемся нестационарного случая совсем кратко.
1. Уравнения (А) для индексов 1, й= 1, 2, 3 дают дзМ вЂ” =О, — + — — =О, — + — — =О. двМ 1 дМ д'М 1 дм дзддхз ' дхвдзв зв дзв ' дзвдзз зв дзз (2) Отсюда следует Р = и (хв)х,' + а, (хв)х, + Ь, (х,), ) ~1 = и (хв)х,' + аз (х,)х, + Ь, (х,). ) Учитывая (1) и (3)„можно записать последнее из уравнений (2) в виде 3 — ХЯв Р+ 42+ 1 — ХЛв 2 д.Г (4) зз зз зз дзв ' з з Итак, если Р + () действительно содержит одну из величин хз или хз, т.
е. если один из коэффициентов и, а„а, отличен от нуля, то вследствие того, что правая сторона этого уравнения не зависит ни от х„ни от хз,множитель при Р + 1в в уравнении (4) должен обращаться в нуль. Случай, когда обращаются в нуль все три величины и, аы аз, следует рассматривать особо. Интегрируя эти уравнения, получим зз Р (з зз)+ О(аь ~) (1) где Р, Ч, Л вЂ” произвольные пока функции своих аргументов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
