Дифференциальные уравнения турбулентного движения сжимаемой жидкости (1124010), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Кроме того, вывод условий динамической возможности доставляет всегда способ для определения давления и плотности жидкости, которая находится в данном динамически возможном движении. 1. Теоремы Гельмгольца. Прежде чем дать краткое представление о выводе названных уравнений условий динамической возможности движения, рассмотрим необходимые и достаточные условия существования обеих известных теорем Гельмгольца о векторных трубках в поле вектора А Первая теорема Гельмгольца, как известно, состоит в том, что частицы жидкости, находящиеся в какой-то момент времени на вихревой линии, остаются на ней и во все последующее время.
Вторая теорема утверждает, что интенсивность вихревой трубки со временем не изменяется. Необходимые и достаточные условия того, чтобы обе теоремы Гельмгольца имели силу для векторных трубок или векторных линий в поле вектора А при скорости Л, впервые установлены Зоравским (Еогаъъ)г))* и Вьеркнесом (В)егкпез)ээ. Эти условия вытекают из уравнения дл — + го1 [А.В] + Л д(ч А = О, дс где !А, Л) означает векторное произведение векторов А и Л, а остальные обозначения имеют общепринятый смысл.
Пусть с каждой частицей жидкосги связан вектор А. Для того чтобы векторные линии, образованные векторами А, удовлетворяли обеим теоремам, которые Гельмгольц нашел для А = го1 .В (в случае несжимаемой жидкости), должно выполняться уравнение (1). Кинематически оба положения Гельмгольца совершенно независимы друг от друга; даже более того, динамически возможны такие движения сжимаемой жидкости, при которых одна теорема Гельмгольца выполняется, а другая нет.
Левая часть уравнения (1) играет большую роль в вопросах кинематики векторных трубок, которые не подчиняются теоремам Гельмгольца, так же как и в вопросах, которые относятся к условиям динамической ч К о ге из 1г1 К.— Ва!1. Асад. зс1. Сгасот1е, 1900, Б. 335. *ч В)егквез У. См. стр. 19. 21 о вихрявом двиншнии с>кимакмои жидкости возможности движений сжимаемой жидкости. Обозначим левую часть уравнения (1) символом Ье1ш А: Ье1>в А = —, + го! [А, В[ + .В й> и.й. дА Легко показать, что этот символ обладает следующим свойством: го1 —, = Ье1шго!.В. гн (з) Из нижеследующего вытекает, что это свойство позволяет сразу же доказать обе теоремы Гельмгольца для несжимаемой жидкости.
Обозначив через в удельный объем (обратяую величину удельной массы в = 1/р) и через .1т внешнюю силу, которая действует на единипу массы жидкости, мы можем написать гидродинамическве уравнения для сжимаемой жидкости*: !и 1 Ао о>1а о> ф! — = — в ягай р + г', — — = — —: — й!ч В. о> и= си (4) Пусть Х вЂ” консервативная сила (го1 Х= О); примем одновременно во внимание, что жидкость неся'имаема (в = сопят), тогда можно исключить р из уравнений (4), применив операцию гоС к обеим частям первого уравнения. Получаем таким' образом уравнение го! — = Ье1ш го$ В =- О.
ЫВ (5) 2. Вывод первого условия. Мы переходим к исследованию динамической возможности движения сжимаемой жидкости. Для этой цели введем векторы С и Н уравнениями ов> С- ==- Х вЂ” — = в ягай р, >и Н = — го! Я = [огай р, огай в[. (7) Первый из этих векторов назовем известным метеорологическим термином — динамический градиент, второй, принимая во внимание роль, которую он играет при образовании вихрей, назовем т у р б у л и з и р у ю щ и м в е к т о р о м. Разрешая первое уравнение (4) относительно огай р и принимая во внимание (6), получаем ягай р = —. Гэ о> о >! ! в о в Н.
У. Тес[>п!воЬо Нудгойуэввйь 1о!рв!э, 1914, 1 2, 3; !. в и> !> Н. Нуйгойуэввйь 1,о!рв!э, 1907, 1 6, 7. ГИДРОЧЕХАИИКА СЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ Если исключить из уравнении (4) давление р, то получим, учитывая (6) и (7), следующие уравнения для определения >р .= ]п о> (без которого невозмоя.но было бы определить р): (С, огай >]>] = Н, — ~- .= >1>гч В. (9) Если >]> удовлетворяет уравнениям (9), то из уравнения (8) можно опредолить р. Уравнение (9) доставляет нам первое условие для кинеметических элементов, которые выражаются уравнением (а, н) =о. (а) Символ (А, В) обозначает скалярное произведение векторов А и В. Уравнение (а) показывает, что динамический градиент ортогоиален своему вихрю, а следовательно, принадлежит к тем самым векторам, которые проф.
Жуковский называет незакручивающимися векторами. Условие (а) назоном у ел о в и е и к е з а к р у ч и в а е м о с т и. 3. Уравнение второго условзя. Для того чтобы получить дальнейшие условия динамической возможности движения сжимаемой я;идкости, мы должны ввести в рассмотрение величину р, которая определяется уравнениями р = (В, а) =. (В, д аб р) = ы,'-'",-;- — -',—,';. (1О) Эта величина означает работу за одну секунду, совершаемую силами давления при действительном перемещении.
Если зта работа отличается от нуля, то такие движения мы будем называть н о р и а л ь н ы м и; если же р =-- О, то будем называть движения, которые обладают этим свойством, полуконсерва>ивяыми. В дальнейшем мы будем рассматривать только нормальные движения; однако необходимо отметить, что исследование полуконсервативных движений не представляет каких- либо существенных трудностей. Условие незакручиваемости позволяет доказать, что в случае нормальных движений система уравнений (9) равносильна системе и+ б ау=-д бр, ар причем ]н, в]+ за а= Ь == — — —., 0.=- >]]чВ.
(12) и Для того чтобы получить уравнение (11) из уравнения (9), достаточно умножить векторно уравнения системы (9) соответственно на — В и на Я и сложить результаты. Наоборот, чтобы из уравнения (11) вывести пер- О Вихгевоы дВижении сжимхемой жидкости 23 вое уравнение (9), необходимо умножить векторно уравнение (11) на хт, и, наконец, чтобы получить второе уравнение (9), нужно умножить скалярно (11) на В. Назовем вектор а турбомомеитом, а вектор Ь приведенным градиентом. Применив к обеим сторонам уравнения (11) операпию го$, получим уравнение с+И вЂ”., =О, а<р в котором векторы с и Ф определяются уравнениями с =гога+ [-а[-, Ь1, г~ == гор Ь + ~,~~, Ь 1 .
(14) Если выразить оба зти вектора через динамические элементы, то по- лучим дыр ар р,'с =- — ю — ~ ягаб —, афтаб р1, ас~ ж' [АИ1 —.— оР[дгай —,, бган р~. [с, И) =-О, илидругими словами: тепловые векторы должны быть п а р а л л е л ь н ы. Соотношение (Ь) представляет следующий шаг на пути к определениро условий динамической возможности движения сжимаемой жидкости,. Назовем его т е п л о в ы м у с л о в и е м. Хотя тепловое условие, по-видимому, может быть сведено к двум скалярным уравнениям, однако в действительности второе скалярное уравнение является следствием первого уравнения и условия незакручиваемости. Итак, тепловые условия сводятся к единственному скалярному уравнению, которое можно записать следующим образом: (Л [НИН[) + [А (Н, 6тад Йч Л)— — [Н1+ [дгай 61ч В, хт), — + дгай[А) =.
О, (16) р аа где Н,= [зе[ш Н. 4. Дальнейшие условия. Нормальные движения сжимаемой жидкости распадаются на два класса: 1) общео нормальное дви- Тесная связь этих векторов с количеством тепла, подведенным к единице объема сжимаемой жидкости, дает нам право назвать нх соответственно первым и вторым тепловыми векторами. Уравнение (13) показывает, что тепловые векторы должны удовлетворять соотношению ГИДРОМЕХАНИКА СЖИМАБМОЙ ЖИДКОСТИ ж е н и е, если с1 отлично от нуля, и 2) мальное движение, если Ф равно дованием общего нормального движения.
Введем следующими уравнениями скаляр О+Хо1=0, специальное норнулю. Ограничимся иссле- А и вектор в, В = а+ АЬ. (18) Принимая во внимание роль, которую играют зти величины при определении удельных объемов, назовем их соответственно стереоскаляром и стереовектором.
Уравнения (11) и (13) позволяют определить ~р следующим образом: йгапв = Л, д, — — А. (19) Для того чтобы найти у иа уравнений (19), необходимо и достаточно выполнение следующих условий: — = бгайХ. дв м го~ л = О, (с) ~ м„во+. ао+.,а*-~ьа1 ю = юов (20) С„дв+ С„дд+ С, дв р = +до(т) где ыо и р, (1) означают произвольную константу и нроиавольную функ- цию времени; А„, А„, А, — компоненты вектора А по осям координат. Эти условия оказываются одновременно условиями динамической воз можности движения; назовем их объемными условиями.
Простые вычисления показывают, что первое уравнение (с) является следствием второго, так что условия объема дают только три скалярные уравнения. Итак, условия динамической возможности движения сжимаемой жидкости ааключаются: 1) в условии незакручиваемости (уравнение (а)); 2) в тепловом условии (уравнение (Ь)) и 3) в условиях объема (уравневие (с)) — всего в пяти скалярных уравнениях. Если только зти условия выполнимы, из уравнений (19) можно определить у с точностью до адднтиввой проиавольной постоянной (зто означает, что еще одна произвольная постоянная будет входить как множитель в в = ео, а давление р будет определено иа уравнения (8) с точностью до аддитивной проиавольной функции времени).
Отсюда легко видеть, что согласно (8) и (19) а и р будут определены следующим образом: О ВихРБВОм дВижении сжигсгемой жидкости 25 р=о, Р = и (С, з), с» = О. Эти уравнения соответствуют встречающемуся в метеорологической практике случаю горизонтального ветра, который не изменяет с высотой свое направление и только испытывает незначительное изменение направления с иаменением географических координат. Составляя для данного движения требуемые векторы, получим а„ = О, а„ вЂ” О, а =дд ., Ь =О, Ь вЂ” Ь дсдг ' дС' " ' г г ' г дС дг )с = — ю— дс ( дг дгг дгг дгг ) х ~ дС дпдг дя дсдг С ' )сс =Р~ — — — — —, рс,=О, )сс =О, р,(„=О, рЧ,=О, р х=адг— дгг дсг гце ось г направлена вертикально вверх и д — величина ускорения силы тяжести. Из вышеприведенных уравнений видно, что условие неаакручиваемости и тепловое условие выполняются сами собой.
Объемные условия приводят к следующим уравнениям третьего порядка, которым должна удовлетворять функция и (С, г): дгг а С' дгг дхг дг д'и ~ дг Сдг ~г 21 г ди + 2(С ~дсдг ди дс дгдс' ! дг ~ дс / ( ) где сс означает произвольную константу. Стереоскаляр и стереовектор будут определены из формул дгг Р+ дсдг г„.= О, Яг =— 6 дг дС (22) ), = — — Р. 25 д Из этого следует, что если Р удовлетворяет уравнению (21), то давление и удельный объем легко можно определить квадратурами из уравнений (22) и (20). 5.
Пример горизонтального движения ветра. Приведем пример для того, чтобы выяснить практическое применение изложенных методов. Предположим, что движение жидкости аадано следующими кинематическими уравнениями: гидгомехА11ИКА сжимаемой гкидкости Уравнение (21) позволяет найти ряд частных решений, одно из них соответствует, например, случаю, когда ветер определенной силы на известной высоте постепенно падает.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
