Дифференциальные уравнения турбулентного движения сжимаемой жидкости (1124010), страница 2
Текст из файла (страница 2)
дг Это свойство позволяет, как увидим ниже, сразу доказать обе теоремы Гельмгольца для несжимаемой жидкости. Обозначая череа ю удельный объем (со = 1/р) и через Х вЂ” внешнюю заданную силу, действующую на единицу массы данной жидкой частицы, можем уравнения гидродина- * У, о г а и а !г ! К. 1)Ьсг д[с ЕгЬа!!осе дег %1гЬе!Ьекесаггс.
— Ва1!. Асад, ас!. Сгасос! е, 1900. Перед тем как перейти к краткому изложению получения указанных условий динамической возможности движения сжимаемой жидкости, остановимся на вопросе о необходимых и достаточных условиях соблюдения обеих теорем Гельмгольца для векторных трубок поля данного вектора А. Первая теорема Гельмгольца, как иавестно, состоит в том, что жидкие частицы, расположенные в некоторый момент времени на вихревой трубке, остаются расположенными на вихревой трубке и во все последующие моменты.
Вторая теорема Гельмгольца утверждает, что напряжение вихревой трубки не меняется с течением времени. Необходимые и достаточные условия применимости обеих теорем Гельмгольца к векторным трубкам поля вектора А были установлены впервые Зоровским (Х о г а н з Ь !)*; они заключаются в выполнении равенства о двияшнии сжимакмои жидкости мики сжимаемой жидкости написать в следующем виде: Ые —, =- — ю Огай р + ~х, ьч (4). что и докажет обе теоремы Гельмгольца.
Переходя теперь к вопросу о получении условий динамической возможности движения сжимаемой жидкости, введем два вектора Я и Л' равенствами ию Я =- Х' — — = айгай р, и = (б) .Н =- — гоЬ С = (ягай р, атай в) . Первый из этих векторов назовем по аналогии с известным метеорологическимтерминомдинамическим градиентом, второй— турбулиаирующим вектором, имен в виду его роль з образовании вихрей. Разрешая первое из уравнений (4) относительно дгайр, без труда найдем О дгайр = —.
и (8). Исключая из уравнений (4) давление р, получим следующие уравнения для определения ф = 1п го, долженствующие иметь место, чтобы моясно было определить р, удовлетворяющее уравнениям (4): [1, ягайф) = Н, (9) Коль скоро ф будет удовлетворять уравнениям (9), то р определится из уравнения (8). Уравнения (9) дают нам первое условие для кинематическнх элементов, выражающееся равенством (а,Н)=-О, (а) Полагая, что сила Ю консервативна, и рассматривая несжимаемую жидкость (го = сопзФ), будем иметь по исключении р из уравнений (4) равенство гоВ- — ", = Ье1шгоВи =- О, (б) гидгомехАникА сжимАемОЙ жидкости где символ (Я,лл) означает скалярное проивзедение двух векторов 1Р и г1.
Равенство (а) показывает, что динамический градиент ортогонален своему вихрю и, следовательно, принадлежит к векторам, называемым проф. Н. Е. Ж у к о в с к и м невакручивающимися векторами. Условие (а) будем называть условием н е з а к р у ч и в а е м о с т и. Для получения дальнейших условий динамической Возможности движения сжимаемой жидкости нам необходимо обратить внимание на величину р, определяемую равенством (1О) Величина эта, которую мы назовем м е р о ю д и с с и п а т и в н ос т и, представляет собой работу, совершаемую на действительном перемещении силами давления. Если эта работа отлична от нуля, то такого рода движения условимся называть н о р м а л ь н ы м и движениями; если хге р =- О, то движение, обладающее этим свойством, будем называть полуконсервативным. В дальнейшем мы займемся исключительно нормальными движениями; следует заметить, что изучение полуконсервативных движений не представляет никаких существенных затруднений.
Пользуясь условиями незакручиваемости, нетрудно для случая нормальных движений показать, что система уравнений (9) эквивалентна системе уравнений и+р — дг =9 бч др (Ы, е)+ОО р (12) (+й ш =О д1р (19) яде векторы ( и 6 определяются соотношениями (14) причем О = С!т и. Вектор а назовем т у р б о м о м е н т о м, а вектор р — п р и в еденным градиентом. Применяя к обеим частям уравнения (11) операцию го$, найдем равен- ство О движении сжимАемОЙ жидкости Выражая оба эти вектора через динамические элемецты, будем иметь р'т= — — „~бгай —,—, 8 йр~, ав г др дг ( Ыг ' рзй = ю' ~бгай —, дгай р| .
Ыр (15) Близкая связь этих векторов с количеством притекающего к едивице объема сжимаемой жидкости тепла дает нам право назвать их соответственно первым и вторым тепловыми векторами. Уравнение (13) покааывает, что тепловые векторы должны удовлетворять соотношению (у, Е) = О. (Ь) Иначеговоря,оба тепловых вектора должны быть пар а л л е л ь н ы д р у г д р у г у; соотношение (Ь) является следующим шагом по пути установления условий динамической возможности движения сжимаемой жидкости. Эти соотношения (Ь) мы назовем т е ил о в ы м и у с л о в и я м и. Хотя тепловые условия по внешнему виду приводятся к двум скалярным уравнениям, но по существу второе уравнение является следствием первого и условий незакручиваемости; таким образом, тепловые условия сведутся лишь к одному скалярному уравнению, которое может быть написано в виде соотношения (н, (Н„Н) ) + р (Н, 8гай й|т н)— — ~Нд+ (ягайй1чи, Я), — + бтай(А) =- О, аа (16) где Н1 = Ье1ш Н.
Нормальное движение сжимаемой жидкости разделяется на два класса: 1) обще е нор и ал ь н ое движение, когда В+О, н 2) специа л ь н ое н о р м а л ь н о е движение, когда В = О. Ограничимся изучением общего нормального движения. Введем скаляр Х и вектор н равенствами (и) (+) В =О, а = а+Х~. (18) Учитывая значение, которое этн величины имеют в определении удельного объема, нааовем их с т е р е о с к а л я р о м и с т е р е о в е к т ор о м. ГИДРОМЕХАНИКА СЖИМАЕМОЙ ГКИДКОСТИ Очевидно, что для возможности определения гр из равенств (19) необходимо и достаточно выполнение следующих условий: гог о == О, де — —..- райХ.
дг (с) Условия эти являются также условиями динамичестсой возможности движения; мы назовем их объемными условиями. Простые вычисления показывают, что первое из равенств (с) — следствие второго; таким образом, объемные условия дают всего три скалярных равенства. Итак, условия динамической возможности движения сжимаемой нгидности состоят: 1) из условия незакручиваемости (равенство (а)), 2) из тепловых условий (равенство (Ь)) и 3) из объемных условий (равенства (с)), всего из пяти скалярных условий.
Коль скоро условия зти выполнены, то гр определится из равенств (19) до аддитивно входящей произвольной постоянной (значит, ог = ет будет иметь множителем произвольную постоянную), а давление р определится из равенства (8) до аддитивно входящей произвольной функции времени. 9 аагуггаа 7921 г. О ИИХй ЕИОМ ДВИжЕИИИ СИьИМАЕМагаа йИИДИагС"а И а В противоположность теоремам Лагранжа для несягимаемых жидкостей при движении сжимаемой жидкости, как зто показали исследования Бьеркнеса (В)ег)гпез)а и Зильберштейна (ВПЬегз1е1в)*а даже в том случае, когда действуют только консервативные силы, могут возникать и исчезать вихри, поскольку давление зависит не только от плотности, но а В 1е гй ве з Ч.
Ваа дувагв1асЬе Гг1по1р дог С1гйп1а11овзЬекеяовзеп 1и дог АггаозрЬаге.— Мегеого1. 7, 1900, 17, Я, 97; 1900, 17, 8. 145. *а В | 1 Ь е г а ге 1 п 1..— Вп11. Асад. ас1. Сгасот1е, 1896, 8. 280. Уравнения (11) и (13) дают возможность определить гр с помощью равенствв йгайгр =- а, (19) — — Х. О Вихрявом двеежкееии сжимАГИОЙ жидкОсти является также функцией температуры. Согласно аэрологическнм наблюдениям а поверхности постоянного давления и постоянной температуры в атмосфере пересекаются, нз чего следует, что давление в ней действительно не является функцией одной только плотности. Вследствие этого основной задачей динамической метеорологии оказывается изучение такого движения сжимаемой еееидкости, при котором давление не является функцией только плотности. Если плотность — постоянная илн некоторая определенная функция давления, то остаются в силе основные уравнения классической гидро- механики с четырьмя переменными: три компоненты скорости и давление.
Три уравнения движения вместе с уравнением неразрывности, вообще говоря, позволяют яайти, при известных начальных и граничных условиях, значения компонент скорости и давление. При исследовании общего случая движения сжимаемой жидкости число переменных возрастает до пяти, так кзк к указанным четырем переменным добавляется пятая — плотность. Вследствие этого упомянутых четырех уравнений оказывается не достаточно; для того чтобы определить движение сжимаемой ясидкости, мы должны применить еще одно дополнительное уравнение, так называемое уравнение притока энергии; оно является следствием первого начала термодинамики. Составление уравнения притока энергии — задача сложная, и это обстоятельство так затрудняет полное решение вопроса о движении сжимаемой жидкости, что кажется целесообразным изучить сначала особенности движения сжимаемой жидкости, не используя это уравнение.
При этом мы будем следовать путем, аналогичным рассуяедениям Гельмгольца при доказательстве теорем о вихрях. Как известно, свои уравнения и вытекающие из них основные теоремы о вихревых нитях Гельмгольц получил, исклеочив давление иа уравнений гидродияамики. Обобщив эти идеи Гельмгольца, мы разделим переменные, встречающиеся в наших уравнениях, на два класса. К первой группе отнесем компоненты скорости и их производные различных порядков по времени и координатам; ко второй — давление, плотность и их производные различных порядков по времени и координатам. Величины первой группы будем называть к и н е м а т и ч е с к и м и э л ем е н т а м и, второй — д и н а м и ч е с к и м и э л е м е н т а м и. Исключая из четырех уравнений гидродинамики динамические элементы, получим ряд соотношений между кинематическими элементами, аналогичных уравнениям Гельмгольца.
Эти соотношения мы мояеем рассматривать как условия динамической возможности движения сжимаемой а В Ее г !е по Я У. Вуе1аеа!ЯС!ея Мегеого!оре ций Нуцгодгзр!1!е, Во. !!. ВгяциясЕеке!з, 1912, В. 90. 2а ГИДРОМГХАНИКА СЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ 0 жидкости, так как из всех кинематически возможных движений мы выделяем как раз те, которые возможны динамически. Практическое значение этих условий состоит в следующем. Очень часто свойства исследуемого движения позволяют указать некоторую определенную общую форму для представления движения, которое содержит несколько произвольных постоянных или функций. Исходя из условий динамической возможности, можно большей частью определить эти константы и произвольные функции.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
