Дж.В. Стретт - Теория звука (1124008), страница 69
Текст из файла (страница 69)
Если мы изменим произвольный множитель так, что максимальным значением и будет из, а для настоящего случая положим ие равным единице, то будем иметь и [ 1 [ е з ге+к [[ егю'еим гй гу И' (20) о = — —, ~ у +е-мш+з»~ мп йх е"", ~ й гу й ~», (21) Хотя й и не является действительной величиной, мы можем с достаточным для нашей цели приближением считать ее таковой. Мы можем, таким образом, положить в (14) (22) Г л где р' = ~г 2,. Применив это приближение в выражениях (21), 2н' где, конечно, и и о равны нулю при у= — у,. Если в выражениях (20) заменить й на — й и затем взять среднее, то получим и = [ — 1+е ыш+т 1[ сов йхе'"~, [гл. х>х 328 тРгние и теплопРОВОдность получим в действительных величинах: и = соз йх [ — соз пс+е-Е!з"з>>сов [пе — р(у+у>)[[, Аз!пах Гу > ! о = — !1 — соз ~пŠ— — я)+ Р Тг2 "у> 4 +е З!з'здсоз (пŠ— 4 — р(у+у,)]].
1 (23) Выражения, с которыми нам придется иметь дело, будут короче, если вместо того, чтобы отсчитывать у от плоскости симметрии, как до сих пор, отсчитывать их от стены (с отрицательной стороны), для чего нам нужно писать у вместо у +у,. Таким образом, и, = соз йх [ — соз и!+ е зе соз (п! — ру)[, Лз!и Лх Гу> — у / 1 О, = ~ СОЗ~ и! — — В)— 3)>2 !. у> 4 (24) 1 ( 4 >У)]' где индексы указывают порядок членов.
Таковы значения скоростей, если пренебречь квадратами смеше- ний. Переходя ко второму приближению, необходимо образовать выражения для правых частей уравнений (7) и (12), которыми при определении первого приближения мы совершенно пренебрегли. Дополнительные члены, зависящие от квадратов смещения, частично не зависят от времени, а частично имеют двойную частоту и со- держат 2п!. Последние не представляют большого интереса, так что мы ограничимся непериодической частью. Допустимы и даль- нейшие упрощения ввиду малой толщины загорможенного слоя по сравнению с шириной канала 2у~ и тем более по сравнению с дли- ной волны А, Таким образом, йГ~ представляет малую величину, и обычно ею можно пренебречь. Ив (24) имеем г 1 Чз>рт= р р 2 соз йхе Зз з!и ~и! — 4 в — ру)> (25) — '+ — ' = й з!и йх соз пс, дх ду (26) дязф~ два~ 1 и — '+ Π— — '= — йр з!и 2йхе-Ез ( — соз ру+е-Зз)+ дх ' ду 2 + члены, содержащие 2пе, (27) (ди> дог~, 1 — '+ — ' ! ЧвЕ! = — — йр з!и 2йхе Зз (Рйп ру+ соз ру) + +члены, содержащие 2пй (28) Следовательно, для непериодической части Ч второго порядка имеем из (12) Чь) = — —, з!и 2йхе-зз(з!и ру+3 совру — 2е-зз).
(29) л[> 4Р> 352! движение мвжля пхглллкльнымн стенками 329 гды Отождествим в этом выражении 74 с ( — >, так что (,ду> ' (30) или, как приближенно можно положить, если у, мало по сравнению с >э ф, =,, (А'(у, — у)+ В'(у, — у)з! (32) Уравнения (30) и (32) дают непериодическую часть ф второго порядка. Значение з во втором приближении надлежало бы исследовать при помощи уравнения (7). Оно будет состоять из двух частей— первой, не зависящей от Г, и второй, — являющейся гармонической функцией аргумента 2ий При вычислении части †, независимой дт дх' от1, из де де де 7зф = — — — и — — о —, дГ дх ду' член дл/дг не лает нам ничего.
В остальных членах правой части достаточно булет использовать значения и, о, г из первого приближения. Из де ди ди дГ дх ду в комбинации с (2б) мы получаем г = — — з(п йх з!и иг, ие . а откуда д~ИЗ 2 Зз""' -" ' йУ. Отсюда легко вилеть, что часть и, обусловленная дф(дх в (3), имеет порядок йз/рз по сравнению с частью (33), обусловленной ф, и но>нет быть опушена. Следовательно, в силу (30) введя значение р и (для восстановления олнородности) и'„ получим из з>п 2ахе ия — — — ' 3 (4з(пру+2созру+е зя), 2айе соз 2ххе 1 т>з —— — ( з(п ру+3 соз ру+ — е !>я~, (34) (ЗЗ) к этому выражению можно добавить произвольную функцию, удовлетворяющую услови>о Рфз= О, вида: ф = —,, (Аз)>22(у,— у)+В(у,— у)с(>21(у> — у)1, (3!) [гл, х~х тгвнив и теплопговодность а из (32) (39) Из (39) мы видим, что ия изменяет знак при переходе от гра- ницы у = 0 к плоскости симметрии у = у, причем критическое Г11 значение у равно ус(1 — )г — ~, или 0,423 у .
Значение и, из (24), соответствующее (39), есть и, = — и соз йх соз лг, так что йучности соответствуют вначениям йх= О, я, 2вс, 1 3 а узлы — значениям (сх= — я, з к, ... 2 Стационарное движение, выражаемое формулами (39) и (40), имеет очень простой характер. Оно состоит из ряда вихрей, перио- дичных по х с периодом — )с. Из соотношения (40) видно, что о 1 2 положительно в узлах и отрицательно в пучностях, обращаясь, конечно, в нуль в обоих случаях у стенки у = 0 и у плоскости симметрии у =ус. На фиг. 65 АВ изображает стенку, С — пло- ив в(п 2ах ия — — [ А'+ ЗВ' (у — у)в ), (35) 2ди~ сов 2лх оя = — 3 а ) А'(Ус — У)+ В'(У, — У)') (36) Полные значения членов второго порядка по и и о получатся путем сложения (33) с (35) и (34) с (36).
Постоянные А' и В' определяются из условия, что зтн значения обращаются в нуль прн у = О. Таким образом, мы получаем в качестве полного выражения членов второго порядка й Мп 2дх [ ия = — ' „1 е Зв(4 в!и Ру + 2 соз ЗУ+ е-ав)+ + — — — - ' У), (Зс) 2 2 Ув 2ливв сов 2лх [ г 1 и — — в — с[е-за[в(п Зу+3 сов яу+ — е ее) + Зйа 2 й(у у) 3 .
(ЗЗ) 1 Вне тонкой пленки воздуха, подверженной непосредственному влиянию трения, мы можем положить е-Зя = О, и тогда Зив в!и 2дх / ! 3 (ус у)в 16а с Зив ° 2хсов2ях ( (Ус — У) [ 331 3521 ВихРи и, следовательно, средняя скорость в направлении, параллельном х, не равна обязательно нулю, а равна среднему значению величины (42) где опять а=~и,д~, т) ~ о,Ж, (43) В нашем случае среднее значение величины (42) есть и — — з!и 2йхе-зе (е-Ь вЂ” соз ру), о 4а (44) которое следует рассматривать как дополнение к (37). Однако на небольшом расстоянии от стенки можно пренебречь величиной (44), так что (39) остается справедливым. скость симметрии, а направление движения в вихрях показано стрелками. Следует особо отметить, что скорость вихревого движения не зависит от р', так что этот эффект нельзя устранить, принимая вязкость бесконечно малой.
Таким путем можно, конечно, уменьшить тенденцию к вихреобразованию, но при этом в одинаковом отношении облегчается сохранение вихрей, так что по достижении конечной стадии движения вихри столь же существенны при малой вязкости, как и при большой. Тот факт, что, когда пренебрегают вяакостью с самого начала, такие вихри совершенно не входят в рещение, показывает, какая исключительная осторожность необходима 3 при рассмотрении М -Э' задач, относящихся к поведению слабо вяаких жидкостей, " р (айаг ег,ЯГРЗт,-ат соприкасающихся с Фиг.
б5. твердыми телами. Вычисляя среднее движение до второго порядка, следует рассмотреть еще один пункт, которого мы пока не касались. Значения и, и о, в выражениях (24), правда, строго периодичны, но это свойство не относится к определяемым ими движениям частиц жидкости. В нашем обозначении и является не скоростью какой- либо индивидуальной частицы жидкости, а скоростью той частицы — независимо от ее индивидуальности, — которая в рассматриваемый момент занимает положение х, у (9 237).
Если действительное положение в момент 1 частицы, среднее положение которой на протяжении нескольких колебаний было (х, у), есть х + с, у + т), то действительные скорости этой частицы в момент 1 будут не и„о„а и + — $+ — т), о + — $+ — ть диг диг дог до1 дх ду ' г дх ду 332 [гл, хвх[ тгенив и твплопговодность Мы видели, что ширина прямого потока вдоль стенки у = 0 равна 0,423у,, а ширина возвратного потока, измеренная до плоскости симметрии, равна 0,577у,. Отношение этих величин не изменится от введения второй половины канала, расположенной за плоскостью симметрии; таким образом, прямой поток заметно уже, чем возвратный. Эта диспропорция увеличивается в случае трубы круглого сечения.
Рассматриваемый вопрос зависит фактически только от дополнительной функции, аналогичной (32), и настолько прост, что, пожалуй, стбит указать вкратце ход вьшислений. Уравнение для ф таково '): — — — — — 4Ив1ф =0; ( — — — — )— дв 1 д дгв г дг ) (45) но если мы предположим, что радиус трубы мал по сравнению с вь то можно опустить Йв. Общее решение имеет вид: ф„= (А+ Вгв+ В'гв 1и г+ Сг') сйп 2Их, (46) так что 1 дф ив = — +' = [2В+ В'(21и г+ 1)+ 4Сгв[в!и 2Фх, (47) откуда В'=0 — из условия в точке г= О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
