Дж.В. Стретт - Теория звука (1124008), страница 67
Текст из файла (страница 67)
Из их опытов следует, что уменьшение скорости пропорционально г-' в согласии с (22), но что при изменении и уменьшение пропорционально скорее и-'/ь чем и 8 . Так как !А не зависит от плотности (р), то в разреженном воздухе эффект был бы усилен. Теперь обратимся к рассмотрению другого крайнего случая уравнения (!1). Он возникает, когда труба такова, что слой, на который непосредственно влияет трение, образует не тонкую, прилегающую к стенкам, прослойку, а распространяется на все сечение, как это должно неизбежно случиться при достаточном уменьшении диаметра.
При этих условиях дгз)п' — величина малая, а не большая, как это было в случае, рассмотренном Кирхгоффом, и аргументы всех трех функций в выражении (12) следует рассматривать как малые. Один из результатов исследования можно заранее предвидеть. По мере уменьшения диаметра трубы передача теплоты внутри столба воадуха от центра к периферии становится все свободнее и свободнее. В пределе температура твердых стенок определяет температуру заключенного внутри газа, и сгушения и разрежения происходят изотермически. При таких условиях уже нет рассеяния, соадаваемого теплопроводностью, и зсе происходит так, как если бы теплота не образовывалась вовсе. Следовательно, коэффициент теплопроводности не входит в результат, который, помимо того, содержит ньютоновское значение 0 скорости звука, а не лапласовское а.
(гл. хаХ 818 тгениэ и тяплопвоводность Если ввести результаты приложения (23) к величинам (~, !',!о ~а 1 в выражение (11), то уравнение можно разделить на — г, и тогда левая часть его будет состоять из двух частей, первая из которых не зависит от г, а вторая пропорциональна га.
Первая часть приводится без дальнейших приближений к а(ла — а,), Для второй части следует удержать только главные члены. Таким образом, пользуясь выражениями (13), получаем лага ! та + йа(аа — Ьа) откуда зм'й йа~»' (аа За) за~ = —— вага за Отношение второго члена к первому имеет порядок йга!ж т.
е. по предположению есть малая величина, так что мы можем просто написать решение, применимое в предположенных условиях, в виде лаа = — = —, 8!аЧ э!игл (24) дага вага ' д!пО / й др Ув д!и!га ./ йла ду ЗГ ааа ' (25) но вместо второго из уравнений (14) получим д!пОг д =Ух('а У (26) Прежде, чем покончить с этим вопросом, целесообразно будет вкратце рассмотреть аналогичную задачу для двух измерений, хотя она имеет меньшее значение, чем задача о трубе кругового сечения, рассмотренная Кирхгоффом. Анализ здесь несколько проще; но поскольку он практически идет тем же путем, нам достаточно будет ограничиться просто указанием необходимых изменений.
Предполагается, что движение не зависит от л и происходит между параллельными стенками прн у = -у,. Уравнения (1) †(11) предыдущего исследования можно считать все еще применимыми к настоящей задаче, если подставить и вместо л и у вместо г, опустив члены, в которых г входит в знаменатель. Общее решение уравнений, соответствующих (1), (2) и (7), содержит две функции, состоящие иэ синусов и косинусов аргументов, кратных у. Но из (8), (9) н (10) очевидно, что условия задачи при у = 0 требуют, чтобы функция синус отсутствовала, так что в выражении (12) мы можем просто заменить функцию ае косинусом. В случае, когда !а' и т.
д. рассматриваются как бесконечно малые, мы имеем, как и в (!4), при у=у Э!9 35!! погистля стивка (!ри подстановке этих значений в (!1) уравнение останется без изменения, за исключением того, что произойдет замена г через 2уы Такую же подстановку следует сделать в (15), (20) и (22). Последнее уравнение дает для скорости звука а(!в 2уг г' 2л Стоит отметить, что выражение (27) имеет вид, который приняло бы выражение (11) й 347 для этого случая, если в нем заменить )/р' через Т', можно еще, пожалуй, отметить, что этой же замены достаточно для того, чтобы сделать это уравнение применимым к сечению любой формы для случая, когда термическими эффектами нельзя пренебречь.
Во втором крайнем случае, когда расстояние между стенками 2у, настолько мало, что величиной лу',7ч приходится пренебречь, мы имеем вместо (23) следующее выражение: (28) Таким образом, последующие уравнения могут быть приспособ! лены для нашей теперешней цели путем замены в них — гз через 8 1 — у'. Следовательно, аналогом выражения (24) будет 3 зр.~л З~" л лг (29) 351. Результаты й 350 имеют вамгное значение для объяснения поведения пористых тел по отношению к звуку.
Тиндаль показал, что во многих случаях звук проникает в подобные тела более свободно, чем можно было бы ожидать, хотя он отражается от тонких слоев непрерывного твердого вещества. С другой стороны, стог соломы, повидимому, представляет весьма совершенное препятствие.
Возможно, что пористые стены дают ослабленное отражение, так что внутри здания, ограниченного такими стенами, резонанс менее продолжителен, чем он был бы в случае, если бы стены состояли из непрерывного вещества. Если рассматривать вопрос с механической точки зрения, то очевидно, что звук не уничтожается просто самими препятствиями. При отсутствии диссипативных сил та часть звука, которая не прошла сквозь препятствие, должна быть отражена. Уничтожение звука может быть обусловлено вязкостью или теплопроводностью, но влияние этих факторов в огромной степени увеличивается при соприкосновении с твердым веществом, обладающим обширной поверхностью.
У такой поверхности как тангенциальное, так и нормальное движения задерживаются, и происходит передача тепла (гл. х~х 320 тгянив и твплопговодность й1 "+ — 'И '=' и ~ ) е е(и+ и Ц и еЬ = О. так что Это уравнение применимо к точкам, отстоящим от отверстия на рас- стояние, превышающее более чем в несколько раз, диаметры каналов. Расположив теперь начало оси х на поверхности стены, составим соответствующие выражения для волн вне стены; здесь мы можем пренебречь влиянием вязкости и теплопроводностн. Если и†скорость звука в отверстии канала и йз = и~а, то для волн, падающих и отражающихся перпендикулярно, мы можем написать: е = (еиь" + Ве-'еее) е'"', и=а( — еев +Ве-'" )е'"', так что падающая волна есть е = еещ'+МА, (4) (2) (3) к стенке и от стенки, поскольку соседний воздух нагревается и охлаждается при его сгущениях и разрежениях.
При той быстроте изменения, с какой мы имеем дело в случае слышимых звуков, эти аффекты распространяются лишь на очень тонкий слой воздуха и твердого тела, и потому влияние их в значительной степени усиливается, если вещество разбито на тонкие поры. Предположим, что стена, представляющая гладкую поверхность, разбита, будучи в других отношениях непрерывной, на большое число подобных узких каналов, равномерно распределенных и ограниченных поверхностями, всюду перпендикулярными к поверхности стены. Если число каналов достаточно велико, то переход, прн соприкосновении звука со стеной, от простых плоских волн вне стены к колебаниям воздуха, соответствующим внутренности канала неограниченной длины, аанимает пространство, небольшое сравнительно с длиной волны колебания, и тогда связь между положением вещей внутри и вне стены допускает простое выражение.
Рассматривая сначала внутренность одного из каналов и располагая ось х параллельно оси канала, предположим, что компоненты скорости и, в, ш и сгущение е, если рассматривать их как функции от х, пропорциональны е1в', а если рассматривать их как функции от 1 — пропорциональны е'"', где и — действительное число. Соотношение между уе и и зависит от природы газа и от размеров и формы канала и было определено для некоторых важных случаев в й 350, где й обозначено через ле. Предползгая зто соотношение известным, мы теперь покажем, как подойти к задаче об отражении.
Для втой цели рассмотрим уравнение непрерывности, проинтегрнровзнное по поперечному сечению з канала. Поскольку стенки канала непроницаемы, 351! 32! ОтРАжение От НОРистой стены или, отбрасывая мнимую часть, з = соз (лг+ (з х). (б) Этн выражения применимы, когда х превосходит в несколько раз расстояние между каналами. Непосредственно вблизи поверхности движение будет более сложным: однако нам нет необходимости исследовать его подробнее.
Отношение и к з вблизи стены получим с достаточной точностью, положив в (2) и (3) х=О, и  — 1 ал В+1 (6) л а( — 1) а В+1 (а+ а'). Обозначим отношение непробитой каналами части стены к пробитой ее части через д, так что п=е'/е. Таким образом, — ло 1+В Ф(1+А') (7) Если у=О, то (а=йе, т.
е, если бы стена исчезла или если бы она была сведена к бесконечно тонким перегородкам между каналами и в то же время мы пренебрегли бы диссипативными эффектами, то отражение не имело бы места. Если совсем нет отверстий (и= со), то В= 1, что означает полное отражение. В общем случае вместо (7) мы можем написать В= (+ а( +л)+за что и является решением предложенной задачи. Предполагается, что волны, однажды вошедшие внутрь стены, не возвращаются назад. 21 Зак 1779 Раама, Ц Предположим теперь, что слой, заключенный между параллельными плоскостями, расположенными по одной с обеих сторон от х = О, можно взять настолько тонким сравнительно с длиной волны, что средние давления существенно одинаковы на обеих границах и что поток внутрь этого промежуточного слоя у одной границы практически равен потоку из внутреннего пространства наружу на другой границе, причем в то же время этот слой достаточно широк по сравнению с поперечными равмерами каналов, так что допустимо применение соотношения (6) на одной граничной плоскости и соотношения (1) на другой граничной плоскости.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
