Дж.В. Стретт - Теория звука (1124008), страница 65
Текст из файла (страница 65)
343. Исследование уравнений движения мгидкости с учетом снл вязкости едва лн можно считать относящимся к предмету настоящего труда, но для некоторых читателей может оказаться полезным подчеркнуть здесь его тесную связь с более широко известной теорией упругости твердого тела. Потенциальная энергия единицы объема равномерно растянутого изотропного вещества может быть выражена в виде Я) У = — т3Я+ — а (аз+ Яз+ гга — 2Я вЂ” 2 ге — 2ае + ! 1 2 2 +аз+да+»я) = = — хйа+ — и ! 2ез+ 2!"Я+ 23з — — йа+ аз+ Ь~+ са), (1) 1 1 г 2 3 где 3(=е+)+4) — растяжение, е, Т", д, а, д, с — шесть компонент деформации, связанных с действительными смещениями а, р, 1 уравнениями: д» ' дг да «З с= — + ду дх' да е=— дх д3 дт а= — + —, д» ду ' д3 д У=— у дт да д= — + —, дх д» ' (2) (3) а и, и, х †упруг постоянные, связанные уравнением 1 а=лг — — и, 3 (4) г) Махжей, «Оп Ше Н!зсоз!гу ог !и!егпа! Рг!снов о! А!г апд о!нег базе«а, РЛД.
Тгапе., том !56, стр. 249, !866. з) уйопыоп апа Та!г, Ага!ига! Рлггоеорау, Аррепддх С, где п — мера жесткости, или сопротивления сдвигу, а х — мера сопротивления изменению одзе»га. Компоненты напряжения Р, г~, Я, о, Т, (г', соответствующие е, У, 3; а„д, с, определяются из У простым дифференцированием по этим величинам. Так, Р =х3+ 2п ~е — — 3) н т. д., 1 8 (6) о" = па н т. д. (6) Если Х, у, е.— компоненты приложенной силы, отнесенной к еди- нице объема, то уравнения равновесия имеют вид: — + — + — +Х=О и т.
д,. дР д(Г дТ дх ду д» (у) откуда можно непосредственно получить уравнения движения, поль- зуясь принципом Даламбера. Выраженные через смещения а, р, т, 805 345) уРАВнения дВижзния эти уравнения принимают вид: дз ! да я — + — л — +лЧЯИ+Х=О и т. д., дх 3 дх (8) где 3= — + — + —. да дя дт дх ду дх ' (9) Обычная теория жидкого трения не содержит никаких восстанавливающих сил; но, с другой стороны, нам следует рассмотреть силы вязкости, отношение которых к скоростям элементов жидкости (и, е, те) имеет точно такой же характер, как отношение восстанавливающих сил к смещениям (а, р, Т) изотропного твердого тела. Так, если 3' — скорость растяжении, так что ди де дм 3г + + дх ду дх ' (10) то сила, направленная параллельно х и создаваемая вязкостью, есть как и в (8) да' 1 дз' х — + — л — + л7ви.
дх 3 дх (11) р (7~и+ — — ( — + — + — )~ и т. д., и (9 237) уравнения движения принимают вид: р !! — — Х) + — — р Чаи — — р — !А — + — + — ) = 0 (12) г1!л А др 1 д Рди де дмА '! 1!! ) дх 3 дх Адх ду дх) или„если приложенные силы отсутствуют и если пренебречь квадратом скорости, ди др я 1 д гди ди дге1 р — + — — рЧяи — — 9 — ! — + — + — ) = О.
(13) з дГ дх 3 дх Адх ду дх) Мы можем заметить, что рассмотренные здесь диссипативные силы соответствуют диссипативной функции, имеющей такой же вид относительно и, е, тв, какой имеет функция р относительно а, р, 7 в теории иаотропных твердых тел. Таким обрааом, 20 зам !г!В. Ря а, и До сих пор к и л были проиавольными постоянными, но, как с большой убедительностью аргументировал проф. Стокс, нет никаких причин для того, чтобы равномерное во всех направлениях растяжение приводило к силе вязкости или создавало давление, отличающееся от статического давления, соответствующего действительной плотности.
На основании этого аргумента нам нужно положить х = О; и, как вытекает из (6), л совпадает с величиной, обозначенной прежде через р. Поэтому члены, зависящие от трения, суть 306 [гл. х~х тгенив и теплопгояодность полагая к = О, из (1) имеем р =2р~ ~ [[2(~ )+2(~ 1+ (ды)з 2 (ди + ди + дсв)з+(ди + ды)з+ +(д +д )+(д +д )) (3) где 4нлз з лзаз ЗРо !61сзпз !6Рзпз ' а'+ 9Ро 9Ро При применении к воздуху при обычных давлениях Р мозкно рассматривать, как весьма ма~ую величину и пренебречь ее квадратом. Таким образом, (7) 2ипз а ЗР зз ') 8!охез, Салзветдгв угапгаст!опг, том !Х, $ 49, 1851.
з) Роызоп,доигпа! ае РссоГеро!у1есвп!дие, том Х111, вып.20, стр.139. з) 8!окез, Сатвггаде Ттапгаспопе, том Ч!11, стр. 287, 1845. в согласии с вычислением проф. Стокса '). Теория трения для случая сжимаемых жидкостей была впервые дана Пуассоном з). 346. Применим теперь дифференциальные уравнения к исследованию плоских звуковых волн. Предполагая, что о и тп равны нулю и что и, р и т. д. являются функциями только от х, получаем из (13) 9 345 ди др 4и дзи рс — + — — — — = О.
дг дх 3 дхз (1) Уравнение непрерывности (3) 9 238 в етом случае илзеет вид: (2) а соотношение между переменной частью давления Вр и сгущением г, как обычно (9 244), есть Зр = азрсг. Таким образом, исключая из (1), (2) и (3) Зр и г, получаел! дзи, дзи 4И дзи — — аз — — — ' — =0; (4) дзз дхз Зро дхаде это н есть уравнение, данное Стоксом з). Исследуем теперь, каким образом аатухает с воврастанием х последовательность гармонических волн с длиной волны А, возникающих в начале (х = О). Предполагая, что и изменяется пропорционально евп', найдем, как и в 9 148, и =Ае "*соя(п! — Рх), (3) 347! РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЗВУКА З УЗКИХ ТРУБАХ 307 Оказывается, что при таком порядке приближения трение в жидкости не влияет на скорость звука.
Заменив и церез 2яаЛ-', мы придадим выражению для коэффициента затухания вид: 8ЯЯР ЗЛ»Р»а ' показывающий, что вяакость оказывает наибольшее влияние на короткие волны. Амплитуда уменьшается в отношении е:1 при х = а — '. В единицах С65 можно положить рв = 0,0013, р = 0,00019, а = 33200, откуда х = 8800ЛЯ. (9) (8) т) адсоизцса1 ОЬ»етчагюпэ», РдГЛ Л4ая» том 111, стр. 456, 1877.
Следовательно, амплитуда волн длиной в 1 см уменьшается в отношении е:1 после прохождения расстояния в 88 м. Длина волны в !О см соответствует примерно д четвертой октавы; для этого случая х равняется 8800 м. Таким образом, оказывается, что при атмосферном давлении влияние трения не должно быть заметным прн обычных наблюдениях, эа исключением только звуков, расположенных вблизи верхнего предела музыкальной гаммы. Смягчение внуков на расстоянии, как это замечается в гористых странах, пожалуй, следует приписать трению, благодаря которому более высокие и более резкие компоненты постепенно выключаются. Часто, должно быть, замечалось, что звук «с» едва-едва передается, а то и вовсе не передается эхом, и я обнаружил'), что на расстоянии 200 м сильный свист утрачивает свой характер даже при отсутствии отражения.
Возможно, что и этот эффект также обязан вяакости. В сильно разреженном воздухе значение а, определяемое выражением (8), сильно возрастает, так как р остается постоянным. Тогда даже низкие тоны могут изменяться на небольших расстояниях. Иэ наблюдений Колладона па Женевском озере следует, что в воде низкие звуки затухают быстрее, чем высокие. Он обнаружил, что на небольшом расстоянии от колокола, возбуждаемого ударом под водой, звук становится коротким и резким, теряя музыкальный характер. 347. Эффект вязкости, заключающийся в изменении движения воздуха, соприкасающегося с колеблющимися твердыми телами, можно лучше всего понять из решения задачи, данного Стоксом для весьма простого случая.
Предположим, что бесконечная плоскость уз совершает гармонические колебания в направлении у, параллельном самой плоскости. Так как движение происходит влоль параллельных слоев, то и и тв равны нулю, и переменные величины являются функциями только отх. Первое из уравнений (13) й 345 показывает, что давление постоянно; соответствующее 308 !гл. юх тявннв н тяплопроводность уравнение для о получает вид: дв н дав д( р дха' подобный виду уравнения линейной теплопроводности.
Если теперь предположить, что о пропорционально е'"', то получающееся уравнение для о будет дтв лр — =1 — и, дх'- а его общее решение— и =Ае м*+Веь"', где (2) (3) и = в — (1+1). У 2р. (4) Если газ находится по положительную сторону плоскости, совершающей колебания, то движение должно прекратиться при х =+ со. Следовательно, В = О, и, отбрасывая мнимую часть, получим значение ец чр г 2р, (5) соответствующее скорости Г=А сов лг (6) при х = О. Скорость жидкости, соприкасающейся с плоскостью, обычно принимается одинаковой со скоростью самой плоскости, исходя как будто бы из достаточного основания, а именно, что в противном случае предполагалась бы бесконечно ббльшая гладкость жидкости по отношению к твердому телу, чем по отношению к самой втой жидкости. При атом предположении уравнение (5) выражает движение жидкости на положительной стороне плоскости, создаваемое движением плоскости, определяемым уравнением (6).
Тангенциальная сила на единицу площади, действующая на плоскость, равна (дх)х=е' или, если А = 1 р. ~7 — ( — соз лг+ з1п лг) = — Ь' — лрр ( Ъ'+ — — 1. (7) Гвр Г! г 1д(г~ Р' 2н 2 ' (, л дГ7' Первый член выражает диссипативную силу, стремящуюся остановить движение; второй член выражает силу, эквивалентную увеличению инерции колеблющегося тела. Величина обеих сил зависит от частоты колебания, Полученным результатом мы воспользуемся для приближенного вычисления скорости авука в трубах, столь узких, что вязкость воздуха оказывает заметное влияние. Так же, как в ф 265, допустим, что Х обоаначает полный поток жидкости сквозь сечение трубы в точке х.
Сила гидростатического давления, действующая на 3!О [гл. хлх ТРЕНИЯ И ТГПЛОПРОВОДНОСТЬ Пренебрегая квадратом перемещения, получим «уравнение непрерывности» (3) $ 237 в виде до ди до дш до дх ду дх — + — + — + — =о, так что динамические уравнения (13) 9 345 можно записать в виде — + — — = — 7аи+ — —.
ди 1 др Р а Р дал (2) дг ро дх ро зро дх до Относящиеся сюда термические вопросы уже были рассмотрены в 9 247. В силу уравнения (4), иллеем до до — = р — +ч7Я0, д! дг (3) где ч — постоянная, выражающая коэффициент температуропроводности. В силу (3) 5 247, Р = Ьа(1+з+а0), (4) Ро где д — ньютоновское значение скорости звука, а именно[7 Гр, Ро Если обозначить лапласовское значение этой скорости через а, то — аа =7-1+иР. (б) так что аа аа Ьао Мы упростим уравнение, введя вллесто 0 новый символ 0', связанный с 0 соотношением 0'=0(р, Тогда уравнение (3) принимает внд: дз' дз — — — = ч7а0, д! до и типичное уравнение (2) можно записать в виде — + да — + (аа — да) — = р'Чаи — !л« вЂ” йди дг а а дзч, «даз до дх дх дхд7' (8) где р'= р[ро; ро выражает вторую постоянную, значение которой, 1 согласно теории Стокса, есть — р'.
Это соотношение находится 3 в согласии с кинетической теорией Максвелла, которая, прн введении более специальных предположений, дает, далее, 5 ч= — !л 2 (9) Во всяком случае р', р" и ч можно рассматривать как величины одинакового порядка. 348[ 311 Влияние теплопгоВодности Теперь, следуя Кирхгоффу, введем предположение, что переменные и, о, те, з, 0' являются функциями времени, определяемыми только множителем е"', где Ь вЂ” постоянная, которую далее мы будем считать мнимой. Дифференцирования по 1 теперь выражаются введением множителя Ь, и уравнения принимают вид: ди де дм — + — + — +ЬЛ= О, дх ду дг Ьи — [4'Чяи = — — —, дР дх ' Ьо — р'71о = —— дР ду ' Ь вЂ” р'Ч* = — д дР (11) Р = (ЬЯ+ Ьр") а+ (аа — ЬЯ) 0', (12) з = 0' — — ЧЯ0'. Ь (13) Если исключить а, то, в силу (13), выражения (12) и (10) получат вид: Р=(ая+Ь|")Π— — „"(Ь +Ь|'>ЧЯ0', (14) да [ де [ д4а [ Ь04 — ЯЧЯ0' — О, дк ау дг (16) Дифференцируя уравнения (11) по х, у, е, складывая их и приме- няя затем выражения (14) и (16), находим для 0' уравнение ЬЯ0' — [аа+Ь([4'+р" +ч)[ ЧЯ0'+ — [ЬЯ+Ь([4'+р")[740' О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
