Дж.В. Стретт - Теория звука (1124008), страница 61
Текст из файла (страница 61)
Ограничиваясь случаем, когда в полюсе (й = 1) нет источника, мы должны будем исследовать прелельный вид функции ф=СР„((в), где п(п+1)= !ввсв, когда св и пя бесконечны. В то же время р — 1 и в бесконечно малы и св переходит в радиус-вектор г на плоскости, так что пв = йг.
Для этой цели наиболее удобным видом функции Р„(р) будет вид, указанный Мерфи в): Ри (соа 0) = 1 — — в(~ — + пба+ !) Э + (п — 1)п(п+1)(и+2) 0 1в 2в 2 Предел очевиден: Т =С!1 — кв + 2в !в — 2в 4в бв+ ...~=С"е(вг) (14) и показывает, что функция Бесселя нулевого порядка представляет собой экстремальный случай функции Лежандра. Когда мы имеем неполную сферу, то задача требует иного подхода. Так, если газ ограничен стенками, расположенными вдоль двух кругов широты, то, вообще говоря, необходим полный интеграл, содержащий две произвольные постоянные. Отношение постоянных и допустимые значения Ив следует определять при помощи двух граничных условий, выражающих то обстоятельство, что на обеих параллелях движение целиком направлено по долготе. Поскольку значение р всюду численно меньше единицы, ряд всегда сходится.
Если часть поверхности. занимаемая газом, заключена между двумя кругами широты, расположенными на одинаковых расстояниях от экватора, то задача упрощается, так как одна или другая из постоянных А и В в выражении (7) исчезает для каждой нормальной функции. 337. Если рассматриваемая часть сферической поверхности содержит полюс, то, так же как в случае полной сферы, необходимо ввести условие, что полюс не является источником.
Для этой цели более удобно взять решение, выраженное через , т. е. з!п О. в) Тцогавоп апо Твп, г(а!ига! РИ((оеорву, 0 782 (! = в1пв —,О, а ве 1 2 4 в(цв — Э). Тоаьап!ег, (ар!асе'е Рипа(!опе, 0 19. 1 337( 283 КОЛЗВАНИЯ СФВРИЧВСКОГО СЛОЯ Если мы ограничимся здесь симметричным случаем, то, положив в (5) 3 336 г = О, будем иметь и (1 — Р) — + (1 — 2Р) — ' + Дзпбз = О.
д~фп дфп дпз дч Одно решение этого уравнения сразу получается обычным путем, если взять ряд по возрастающим степеням и подставить в диффе- ренциальное уравнение для определения показателей и коэффициен- тов. Мы получаем') 0 ° 1 — !Р в, (О ° 1 — (Р) (2 ° 3 — гР) ( +(О. ! — Лз) (2 3 Лз) (а.б Ла), 2з Фз бя ' + ~ (2) Это значение Фз является наиболее общим решением уравнения (1) при условии конечности решения при ч=О. Полное решение, со- держащее две произвольные постоянные, предполагает источник произвольной интенсивности в полюсе, и в этом случае фэ имеет при ч = О бесконечное значение.
Поэтому всякое решение, которое ос- тается конечным при т= О и содержит одну произвольную постоян- ную, является наиболее общим возможным решением при наложенном ограничении, что полюс не является источником. Следовательно, для нашей цели нет необходимости дополнять решение. Характер второй функции (содержащей логарифм ч) будет показан на частном случае плоского слоя, который мы теперь и должны рассмотреть. Подставив п(а+1) вместо Ьз, получим для ряда, заключенного в скобки, п(и+1) з < (и — 2) п(п+1)(и+3) в 2 Ф 23.
Лз или, после приведения к стандартному гипергеометрическому виду, причем ! 1 ! 2 л+ 3 Так как с + г( — а — д = †, то ряд сходится для всех значе- 2 ' ний и от О до 1 включительно. Для значений 3 (= асс з1п и) боль- 1 ших, чем — я, это решение неприменимо, 2 1) Не!пе, Киде!уипмлзпеп, $ 26, 284 (гл.
хчш саьгичвскив слои Воздуха Это уравнение связывает значение й(= 2-.!)) с кривым радиусом г для случая малого круга, угловой радиус которого равен 33'53'. Если бы слой был плоским ($339), то значение вг было бы 3,8317, таким образом, разница в высоте основного тона в случае, когда радиус (г) данной длины прямолинеен или когда он изогнут по дуге в 33', неощутима.
Однако результат сравнения был бы существенно отличен, если бы мы считали длину окружности одинаковой в обоих случаях, т. е. если бы заменили сб =- г через сч = г. 7(ля того чтобы получить симметричное решение для плоского слоя, необходнио только положить с бесконечным, причем так, чтобы сч осталось конечным. Вследствие бесконечности Ьз решение принимает простой вид: лзФ ааы лм 2з + 2з 4з 2з 4з бз + ' ' '1 ' (4) ф=А (! или, положив ст=г, где г — радиус-вектор в полярных коорди- натах на плоскости, азгз азы 1 2Я + 2з,лз ' ' '1 з( как в (14) 9 336. Дифференциальное уравнение для ф, выраженного через ж при с бесконечном и сч = г, имеет вид: ',"я+ ' Ф+ИФ=О.
(6) В следующем разделе мы проведем независимое исследование для плоской задачи и дадим решение. Если и†целое число, то ряд становится тождественным с функцией Лежандра Р„(р). Если целое число — четное, то ряд обрывается, в противном случае он бесконечен. Так, при и 1 ряд тождественен с разложением р, т. е. ф' 1 — з, по степеням ж Выражение для ф через ч удобно применить к исследованию свободных симметричных колебаний сферического слоя воздуха, ограниченного малым кругом, кривой радиус которого меньше квадранта. Условие, которому нужно удовлетворить, есть просто дф/гЬ =-О, т. е, уравнение, связывающее возможные значения лз, или вася, с заданным граничным значением ч.
Некоторые частные случаи втой задачи можно исследовать при помощи функций Лежандра. Предположим, например, что в=6, так что па = 7гзса= 42. Соответствующее решение есть ф=АРз(9). Максимальное аначение р, для которого г(,'/г(9=0, есть 9=0,8302, оно соответствует 6 = 33'53' = 0,59137 рад. Если положим гб = — г, так что г будет радиусом малого круга, измеренным вдоль сферической поверхности, то получим нг = )7 42 . 0,59137 = 3,8325, 338! ннсимметвичнов движения 338. Если з отлично от нуля, то дифференциальное уравнение, которому удовлетворяют коэффициенты при сйпза и соззы, есть «э(1 — «э) — — '+ «(1 — 2«в) — '+ «эйвфв — зэфв = О, (1) и легко найти решение, удовлетворяющее условию конечности при «=От), з(в-(- П вЂ” Лз ф,=А~'~1+ «в+ з (з+ 1) Вз (в+2) (в+3) — Лз 4 2(2в+2) 4(2з+4) или, полагая йв=п(п+!), А»в 1+ ( + + »в+ фв 1 2.
(2в+ 2) +(в — л)(з — л+2) (в+л+ 1) (в+л+ 3) 2 ° 4 (2з+ 2) (2з+ 4) Это — полное решение задачи о колебаниях сферического слоя газа, ограниченного малой окружностью, с кривым радиусом, меньшим четверти окружности. Для каждого значения з имеется совокупность возможных значений и, определяемых условием дфв/д» = О. При ка- ждом из этих значений и функция, стоящая в правой части выраже- ния (2), умноженная на соз эм или з!п зм, представляет нормальную функцию системы.
Совокупность всех нормальных функций, соответ- ствующих всем допустимым значениям з и п, с произвольным коэффициентом для каждого значения дает выражение, которое мо- жет быть отождествлено с начальным значением ф, т. е. с функ- цией, произвольно заданной по всей плошади небольшого круга. Когда радиус с бесконечно велик, то и йв бесконечно велико. При с«=г, йэ«э= йзгэ и (2) принимает вид: лзгз Й'гв фв = ( 2 .(2з + 2) + 2 ° 4 ° (2з + 2) (2з + 4) т.
е. функции от г, пропорциональной з,(лг). Выраженное через р дифференциальное уравнение, которому удовлетворяют коэффициенты при сов вы или з!и хм, есть д ~ дф, )( зз др 1 1(1 рз) 1+йзф,— — ф, = О, дэ) в 1 Рз в (4) Полагая ф,=(! — Рэ)чв»ры находим уравнение для <рв1 (1 — рз) — — 2(в+ 1)РЛ+(Ьв — (3+ !))»р = О, (б) с которым гораздо легче оперировать. в) Решение можно было бы пополнить добавлением второй функции, полученной из (2), путем изменения знака прн з, который входит з (1) только в квадрате; однако, если з — положительное целое число, необходимо изменение. Метод вычисления мы пояскам на примере плоского слоя, 285 (гл.
хшп СФЕРИЧЕСКИЕ СЛОИ ВОЗДУХА Для решения его положим <Р (га+и (еа+г ( и рРФ4+ +и (еаеет+ и подставим это в уравнение (5). Коэффициент при наименьшей степени (е есть а(а — 1), так что а=О или а=-1. Соотношение между аа а н аз найдем, приравнивая нулю коэффициент прн (га~.ат ° (а+ 2т+ г — л) (а+ 2т+ г+ и+ 1) з'"ч э ®а (а + 2т + 1) (а + 2т + 2) где и(п+1) =)1э. Следовательно, полное значение ~Р„ есть ~р,=А~1+' и" +и+" рэ+ 1 ° 2 + (г — и) (г — л -1- 2) (г + л + 1) (г+ и+ 3) 1 ° 2 ° 3 ° 4 (а + + (г — л) (г — и+2) (г — п+4) (г+л+1) (а+и+3) (г+л+5) 1 ° 2 ° 3 ° 4 ° 5 ° 6 (г — л+1)(г — и+2) з ~ 2 ° 3 + (г — л + 1) (г — и + 3) (г + л + 2) (г + и + 4) 2 ° 3 ° 4 ° 5 где А н В произвольные постоянные и ф, = (1 — (гэ)чл Р,.
(7) Теперь нам следует доказать, что условие, чтобы полюс не был источником, требует того, чтобы п — г было целым положительным числом; в этом случае один или другой из входящих в выражение для ~Р, рядов обрывается. Для этой цели недостаточно будет показать, что ряды (если только они не обрываются) бесконечны при (ь = - 1; необходимо будет показать, что ряды остаются расходящимися после умножения на (1 — рэ)ны или, как это мы представим в более удобном виде, что они бесконечны при (г = 1 ио сравнению с (1 — (ьэ)-чн.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
