Дж.В. Стретт - Теория звука (1124008), страница 57
Текст из файла (страница 57)
Такое условие приближенно реализуется в случае, когда сферическая оболочка с газом, сначала находившаяся в равномерном движении, внезапно останавливается. Поскольку вначале нет ни сгущения, ни разрежения, все вели- чины О„обращаются в нуль. Если дф/дх вначале равна единице, то мы имеем ф = х = гр; это показывает, что решение содержит только члены первого порядка относительно сферических функций.
Поэтому решение имеет вид: ф = А, (й г) 'Мц, (й, г) 1ь соз Й1а1+ +Ав(йог)-Ч1Л~ (йвг)р,сов й а1+..., (6) где Й,, Й и т. д.— корни уравнения 2ЙЛ',, (й) =,А„(й). (6) Для определения коэффициентов мы имеем сначала, для значе- ний г от 0 до 1, г = А1(й,г) 'ьУ!,(Йгг) + А, (Й г) — г'3... (й г) +... (7) Умножив на гльуч,(йг) и интегрируя по г от 0 до 1, находим 1 1 г" 3г, (Йг) дг = Ай 'Л ) 17;, (йг)1э г г)г, (8) о о остальные члены в правой части исчезают в силу сопряженности. Но в силу (!6) й 203 и уравнения (6), 1 2 ~ Ы, (йг))эгг)г=(У.', (й))о+(1 — —,)!16(й))Я = о (1 Йо) 1"ч1(й)1 . 1 Вычисление интеграла ) гльйй(йг)г7г можно произвести, польо зуясь общей теоремой, относящейся к этим функциям.
Из основного дифференциального уравнения имеем 1 — (!' - а — )+(й — —,, ) Уп(йг)~а!г= О, Ъ 332! ПОСТОЯННАЯ НЛЧЛЛЬНЛЯ СКОРОСТЬ откуда, интегрируя по частям, получаем йз ~ г" ьа у„(нг) а(г = аг"/„Яг) — г" Ра ", (10) а' аа ("~) О или, полагая г = 1, (12) Первое значение 1з равно 2,08!5, а второе 5,9402, откуда 2 = 0,85742, = 0,06009; 2 это показывает, что первый член ряда для ф значительно превышает остальные. Здесь полезно вспомнить, что Г " а'я!Ня ,Ь,(а) = !à — ( — — сова). = $7 (16) Уравнение (14) можно проверить следующим образом: величины Й суть корни уравнения -„- ',а-'-"У;,(г)) = О, 1 ЙЯ ) гЯРа.ан(1ег) гаг = пу„(1з) — Йу„()1). (11) О Так, в случае, с которым мы имеем здесь дело, в силу (6), 1 аз 1 гч У „(Ь) И = — У ч Я вЂ” Мч, Я = уч, Я О Уравнение (8) поэтому принимает вид: 2ааЛа (ааа — 2) ОЧ (я) " и окончательным решением будет ч-1 2г '15а Уа (Ат) (13) где суммирование должно быть распространено на все допустимые значения аз.
При ! = 0 и г = 1 мы должны иметь ф = !а и соответственно (14) Напомним, что высшие значения 1з приближенно равны 1(3) 9 3311 Й=ОЯ вЂ”вЂ” (15) 262 [гл. хчп пгиложвния эвикций ллпллсл или, если е=г-'М,„(л), корни уравнения 17'=О, где е удовлетворяет уравнению 1р'+ — е'+(! — —,,) е = О. (!7) Но поскольку главный член в разложении е' по восходящим сте- пеням г не зависит от г, мы можем написать <~ — сопя! [11 — — ~ [11 — — [.. 1 2 откуда, логарифмируя и дифференцируя, имеем Чл 2г 2в 1в 1+ яв в+ ''' 1 В Если теперь мы положим гв= 2, то, в силу (!7), получим Х тФ = — — =1 (вв=2). Лв — 2 гт' 333. Подобным же образом мы можем исследовать задачу о колебаниях воздуха, заключенного между жесткими концентрическими сферическими поверхностями с радиусами г, и гв Действительно, в силу (13) $323, если дф„/дг исчезает для этих значений г, то г„( — 1лг1) в11 В„( — глгв! 7: (! 1яг) 1' р ( ! !Лг.~ э откуда „,(, (-'.),-(-.')в '+(-.'),(-.').
' где, как прежде, ° — — (в!п 0 — )+, — +йвгве = О. ! д г. дфх ! двф в!и Э дв ~ дз ) в1пв З д„,а ' (3) Решением этого уравнения является просто ф„= 5„, (4) а допустимые значения [вв определяются соотношением Йвгв = и (и + 1). Г„(+ Йг) = сс+!р. (2) Бели Равность ме1кдУ г, и гв весьма мала сРавнительно с самими величинами, то задача тождественна с задачей о колебаниях сферического слоя воздуха, и ее лучше всего решать независимо. В уравнении (1) 2 323, в случае если ф не зависит от г, как это очевидно доляп1о быть приближенно при наших предположениях, мы имеем 334! 263 ПЛОСКИЕ ВОЛНЫ и решение задачи требует разложения ет"га по сферическим функциям.
Вследствие симметрии сферические функции приводятся к функциям Лежандра Р„(р), так что мы можем положить Етяга = Аз+А Р + +АаРг + (2) где Аз, А,, ... — функции от г, но не от р. Из доказанного уже выше мы можем предвидеть, что А„, рассматриваемая как функция от г, должна изменяться пропорционально тз1паг Р„ ( „ ) , или пропорционально г-'пра„ч,()сг); непосредственно. Пор= — ! по р=+1, этот же результат можно легко получить и множив (2) на Р„(р) и интегрируя по р от находим т1 .1.1 Р„(р)е" а згр =А„~ (Р„)вс(р -1 -1 и, так же, как в й 330, 1 Р„(р) ег "га пгр = 2Рл ( —.— ) — 1 так что, в конечном итоге, 2Аа =2л11 (3) 11п Ь.
лг 2л-!-1 — — Ра (~у(.л )! ° л — — 1" )г 2лг Уаыь(Ь). (41 В рассматриваемой задаче все движение вне сферы можно разделить на две части; первую, изображаемую функцией й и соответствующую невозмущенным плоским волнам, и вторую, представтяющую возиущение, создаваемое присугствием сферы и расходящееся 1) С1пее, Меааелаег оу Ма'Лата:гса, том ХЧ, стр. 20, 1886. Интервал мскду низшим тоном (п = 1) и ближайшим к нему таков, что два таких интервала вместе дали бы дуодециму (октава плюс квинта). Задача о сферическом слое газа будет рассмотрена дальше, в следующей главе. !По вопросу об отклонении соотношения (5) от фундаментального определителя, эквивалентного (1), отсылаем читателя к небольшой статье Кри ').) 334.
В качестве другого применения сферических функций мы проведем исследование возмущения, которое получается, когда плоские волны звука встречают преграждающую сферу. Принимая центр сферы за начало полярных координат и направление прихода волн за ось р, обозначим через са потенциал невозмущенных плоских волн. Тогда, отбрасывая ненужный комплексный коэффициент, имеем ,р етз га1+ М е11ат . егьгт (1) [гл. хтп пеиложвния вянкций ллпллсл 264 наружу от сферы. Если потенциал второй части обозначить через ф, то, заменяя функции Ьн через а„Р„(р), получим [(2) $ 324[ (5) гв д"'= — а„Р„(р,) ° е са" Р„(юйг).
~ дг Потенциал скоростей движения в целом найдем путем сложения ч> и С, причем постоянные а„определяются граничными условиями, форма которых зависит от характера препятствия, представляемого сферой. Простейший случай — зто случай жесткой неподви>кной сферы; тогда условие, которому нужно удовлетворить при г = с, есть де дф дг дг = — + — =0 (6) — соотношение, которое должно, конечно, выполняться для каждого гармонического элемента в отдельности. Для эленента порядка п получаем целиком действительно или целиком мнимо, так что этот множитель не доставляет ватруднений. Однако [Рн(йс))-> комплексна, и так как Рн(дис) = а+1р, то с — дэ ег> [Рн (йс) ) где 167= — р/а.
[Если во всех случаях брать положительное зна- а =(2и+1) Р [ — ) — ° —. Ыс>еаж I и Л Н л1п Лс я Г„(Гас) [,д(Гас)) д(ас)' Лс ' (7) Соответствующее плоским волнам ~у = ега>с'™> возмущение, создаваемое наличием сферы, выражается в виде г Ьы Р„(гас) "М(йс)/д(ас) ас »=о На достаточном расстоянии от источника возмущения мы можем положить 7„(1йг) = 1. Для того чтобы перейти к решению действительной вадачи, мы можем разделить действительную и мнимую части и отбросить последнюю.
В этом предполо>кении плоские волны представляются функцией [у[ = сов и(ае+х). (6) Ограничиваясь ради простоты областями пространства, находящимися на большом расстоянии от сферы, где 7'„(1>сг)= 1, выделим опять действительную часть выражения (8). Поскольку функции Р— целиком четные илн целиком нечетные, выражение 334] 265 тввгдов севгичвсков пгвпятствив З ~~я 8 (~ 7 1 +35)' 35 6, 3 2 (~ 59)' 83/ 10 е 5 Имеем: и=О, св+ра=1+йвсв, !яте= — йе, аея а з!и Йе !фе] = — (! +!евсв)-Ч „— — ° соз ]!е(аà — г+с)+Те]! (13) =1.
аэ+Р=й'е'+ — „„, 18Т = — „, 4 Лзез — 2 Заее /,, 4 ь-ж со з!и Фе !Ц = — ! аэев+ Ла,) —,, ° — рэ!и ]ге(аà — г-!-е)+Т,]! (14) 9 81 Ле (Лясе — 9) а=2, и~+~в=йвеэ — 2+ г я+Л4 е 1КТв= 4дд з — 9 45аеэ ! 9 811 !ф ! = — — '1 геэев — 2+ —,—, + — 1 Х 4г Лзея Аее4 ) Х 1„(,,+ 3,— 'а)1' — '",". (Рв — з) со ]Д(аà — г+е)+Тэ!. (15) Полученное здесь решение задачи, хотя аналитически и вполне общее, едва ли может принести практическую пользу, за исключением случая, когда !ее — малая величина.
В этот случае мы можем чение 1' ив+рв, то т нужно выбрать так, чтобы сов т имел тот же знак, что и а.! Таким образом, ф = ~~14 (2п -]- !) е е'!ь!е' г+егг11Х г Поэтому, когда а четно, то лез Р)! =(2а+1) — соз ]!е (аà — г+е)+т! Х Когда же и нечетно, то /геа ..
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
