Дж.В. Стретт - Теория звука (1124008), страница 59
Текст из файла (страница 59)
Таким образом, мы получаем следующее симметричное выражение: ф= — — е'"Ш'-д-г~ю у (2п+1) " 'р( ага с-~, Р„(И) 4тсгя .уя l=„(йс) ~(~~(йй) ° уч(йг)Р„~ц(гас))д( )- «с ' (39) определяющее эту часть потенциала в одной из точек, когда другая точка служит единичным источником. Следует заметить, что общая часть рассуждении не зависит от того, будет ли препятствие сферическим или жестким. Из разложения е'"'Р по сферическим функциям мы можем вывести разложение потенциала волн, исходящих из простого единичного источника А, расположенного на конечном расстоянии (г) от начала координат. Потенциал в точке В на бесконечном расстоянии К от начала в направлении, составляющем угол агс соз р с г, есть е -а ~в-~ ~ 4ЕЯ причем временной множитель опущен. 272 (гл.
хчп ПРИЛОЖЯННЯ ФУИКЦНй ЛАПЛАСА Следовательно, из разложения е'А"Р имеем 4яо Х(2п+1) Р 1,,( А )) м™л ° Р„(Р), откуда мы переходим к случаю конечного Я простым введением множителя у„((ЛК). Таким образом, потенциал расположенного в точке А единичного источника на конечном расстоянии, в точке В, равен 4 ~ ~(2Л + 1) Р„1 — ) Л ~„(йК) ° Р„(р). (40) 335. Рассмотрев в некоторых подробностях случай твердого сферического препятствия, мы набросаем теперь вкратце схему исследования для случаев, когда препятствие газообразное. Хотя для всех природных газов сжимаемость почти одинакова, предположим ради общности, что вещество, содержащееся внутри сферы, отлично по сжнмаемости„а также по плотности от среды, в которой распространяются плоские волны.
Вне сферы и в точности такое же, а ф имеет тот же вид, что и прежде. Для движения внутри сферы, если длина волны внутри равна л'= 2п/Л'[(2) 2 330), ф„= — "" (е-'ь'$„(Гй'г) — ( — 1)"е г'ь' у „( — й'г)), г 1 — — ( ~ и 51п (й г+ — ЛT) — р СОВ(л Г+ — ля) ~, что удовлетворяет условию непрерывности в центре. Если а и а' — естественные плотности, а т и пг' — сжимаемости, то й'а а' и йя о ж'' (1) и условия, которым должен удовлетворять каждый отдельный гармонический элемент, суть дт дф дф — + — — (снаружи) = — (внутри), дг дг дг (2) е ( ф+ф (снаружи) ) о'ф (внутри); (3) зги условия выражают соответственно равенство нормальных движений и давлений по обе стороны от граничной поверхности.
Из этих уравнений можно получить полное решение; здесь, однако, мы ограничимся нахождением значения главных членов в случае, когда лс н л с весьма малы. 333> 273 газовой пввпятстзиа В атом случае, при г = с, ф, (внутри) = — 21й ао, — (внутри) = — (й сао. дфо 2,3 г дг 3 'то= 1 дво 1 йяс (4) ф (снаружи) = —, по с ' — (снаружи) = —— дфо ао дг со Подставив зти выражения в (2) и (3) только главный член„ получим (6) исключив а', и сохранив йооа Ллг — т а = — — ° 3 лог (7) Подобным же образом для члена первого порядка ф, (внутри) = — — а й ср, Рз 3 — (внутри) — — а й р. дфа 2 г,а дг 3 ~Р,=сйсР, ~ ф„(снаружи) = — ', ° р, Гасо доП 2аг дг — (снаружи) = — — ° р, ейсо (3) (9) (1О) что лает ф= — ""' "'(а +,р)- 1 г — — его 1ос-г7 ~ — + 3 аосо .
~ ла' — ла о' — о Зг ! т' о+ 2о' Если ввести обозначения 4 Т= ао- исз, (12) й=— 2я Х и отбросить мнимую часть, то получится выражение: 7зг — Ла о' — о ф — — „о ~,— + 3, ~а) соя й(аг — г), (13) 13 Заа 1779. Раааа, Н (11) На некотором расстоянии от сферы возмущение, создаваемое сферой, выражается в виде 274 пгиложвния эвикций лапласа 1гл.
хчп которое представляет важнейшую часть возмущения и соответствует (21) 9 334 для неподвижной жесткой сферы. Оказывается, как и можно было ожидать, что член нулевого порядка получается в результате изменения сжимаемости, а член первого порядка — в ревультате изменения плотности. От (13) мы можем опять вернуться к случаю жесткой неподвижной сферы, полагая как о', так и ле' бесконечными. Положить бесконечным только о' недостаточно, повидимому, потому, что если пе' в то же самое время остается конечным, то (с'с не будет мало, как это предположено при нашем исследовании.
Когда пс' — ле и о' — о малы, то (13) становится эквивалентным выражению г «7 ~пе' — + '- ~ с ай(аг г) соответствующему ч= соя)са( в центре сферы. Это находится в согласии с результатом (13) 9 296, где препятствие могло быть любой формы. В реальных газах т' еп, и член нулевого порядка исчезает. Если газ, занимающий сферическое пространство, несравненно легче другого газа, то о' = 0 и «7 ф = 3 —, р соз л (а1 — г), (14) так что в члене первого порядка эффект будет вдвое больше, чем в случае твердого тела, и будет иметь обратный знак. Ббльшая часть настоящей главы заимствована из двух статей автора: «О колебаниях газа, заключенного внутри жесткой сферической оболочки» и «Исследование возмущения звуковых волн, создаваемого сферическим препятствием»') и из статьи проф.
Стокса, уже цитированной выше, 333а. Любопытная функция, которую исследовал проф. Лэмба), связана с максимальным возмущением, которое может быть создано бесконечно малым резонатором, поставленным на пути плоских волн. Значение ч для распространяющихся первичных волн дается выражениями (1), (2), (4) 9 334. В силу (5) 9 334 и (3) 9 329, значение ф для вторичных волн можно представить в виде ф=((сап( 1) Рп()е) 'Рп(4 ел )( гл ) где е) Маса. Яо«1есу'з РгосееЮпйз, 14 марта 1872; 14 ноября 1872. Я) Ьашэ, Ьопаоп МаСЛ. Кос. Ргос., том ХХХ)Ь стр. 11, 1900. 836а! ввсконвчно малый Рвзонатоа 2п + 1 — ( — !)зевав ( — 1)ааааа должно быть действительным.
Если представить а„, которое может быть и комплексным, в виде Аее", то получим ЙА = — ( — 1)" (2п+ 1) з!и а. Следовательно, А имеет максимум, когда з1п а = — ( — 1)", (3) причем максимальное значение его есть А 2п+! Ф В силу (3) и (4), а„= — ( — 1)"Е 2а+! так что в (1) (4) 2п+! — ( — 1)" йа„= 0; (6) однако, сумма ф+ф сама не исчезает. Если рассматривать падающие плоские волны, как исходящие из источника, расположенного на большом расстоянии /с, то для того чтобы обеспечить, как это предположено, значение 1 у резонатора, мы должны иметь /7е еав 9= с этим выражением мы можем сравнить ае е' ф= Р (!ь).
Работа, отдаваемая первичным источником, +1 (7) (8) выражается в виде 18* Если мы опустим общий множитель Р„(р), то получим ф+ф=(2п+1 — ( — 1)"йа„)Р„(„~ )'— '+ Единственное условие, накладываемое на приспособления, помещаемые на расстоянии г, состоит в том, что они не должны производить работу. Это требует, чтобы ф + ф были в той же фазе, что и дф/дг+дф/дг, а именно, чтобы отношение (1) к его производной по г было дебеевиглельным. Поскольку Р„ является либо целиком четной, либо целиком нечетной функцией, отсюда вытекает, что 276 ПРИЛОЖЕНИЯ ФУНКЦИЙ ЛАПЛАСА [гл :тп а работа, отдаваемая или скорее отражаемая резонатором, будет +2 шобва„[ Р„(р) ф..
— 2 Но Р„;(р)др= — н ~ г!9=2; 2 2л +1 кроме того шобв а„= (2л+ 1)2 л2 так что отношение работ равно 2л+ 1 л22т"2 (9) (10) (11) где вместо !2 подставлено 2Я/л. Эта формула, полученная проф. Лэмбом, выражает полную энергию, отдаваемую резонатором, через энергию первичных волн на единицу площади. Стбит отметить, что мы нигде не предполагали, что г на поверхности резонатора мало. Поэтому результаты применимы к резонаторам конечных размеров, если только они симметричны, как это предполагается в гармоническом анализе.
Максимальная же отдаваемая энергия одинакова, каковы бы ни были размеры резонатора. Случай а=! в некоторых отношениях является простейшим, поскольку тогда резонатор может состоять из жесткой сферы, удерживаемой в фиксированной точке упругими связями. В качестве частного случая выражения (1) имеем л 2!и Лг и' СОЯ ЛГ !(~, +ф,) = [А(З+ !йа,) — „— — йагрл — „. (12) Это выражение можно рассматривать как представляющее силу, действующую на сферу и обусловленную давлениями.
Производная этого выражения по г будет подобным же образом представлять ускорение сферы, и при подходящем выборе массы и упругости можно удовлетворить всем условиям, если только отношение этих Это находится в согласии с результатом 2 319 для симметричного резонатора (и = О). Проф. Лэмб выражает свой результат через энергию, передаваемую первичными волнами сквозь единицу плошади. Приняв последнюю за единицу, мы получим, что работа, отдаваемая резонатором, равна площади сферы радиуса гс, т.
е. 4ЯЩ умноженной на (10). В соответствии с этим получаем (2 + !) Л2 г. 277 33ба1 Бвсконячно малый Рвзонлтог величин действительно. Максимум а„, как и в выражении (б), равен: и 3! !13) и так же, как в (11), энергия, отдаваемая резонатором, в принятом там масштабе, равна ЗАэ!и. Может показаться удивительным, что отдаваемая энергия в настоящем случае втрое больше энергии, отдаваемой симметричным резонатором; но от множителя 3 можно избавиться при ином изложении материала. До сих пор мы предполагали, что сфера может колебаться вдоль линии симметрии, определяемой направлением распространения первичных волн.
Если сфера, рассматриваемая как бесконечно малая, может колебаться только вдоль одной линии, то ее эффективность, как резонатора, пропорциональна квадрату косинуса угла между этим направлением и направлением первичных волн. Такое колебание, ограниченное единственным направлением, в действительности и представляет собой нормальный случай, рассмотренный же прежде случай предполагает трн степени свободьь Если теперь мы станем исследовать, какова средмяп эффективность резонатора для первичных волн, встречающих его в одном направлении, то убедимся, что полученные выше, особенно благоприятные, эффективности должны быть снижены в отношении 3 1 т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
