Дж.В. Стретт - Теория звука (1124008), страница 55
Текст из файла (страница 55)
В пределах величин, приведенных в таблице, этот эффект скрадывает препятствие, создаваемое увеличением сферы, так что при !А =- — 1 интенсивность больше, когда большая окружность сферы равна двойной длине волны, чем когда она равна половине длины волны, если при этом источник остается постоянным. Если источник — не простой гармонический во времени, то относительная величина каждой из составляющих будет в некоторой степени изменяться как с размерамн сферы, так и с ивменением направления точки наблюдения, обнаруживая таким образом фундаментальный характер разложения на простые гармоники.
Если ис значительно меньше половины, вычисление можно провести с достаточным приближением алгебраическн, В результате получим Р +~а= — + —,Д ~~~ — р~ —,1+ 1 1, /7 4а 4 12 А4 + — 7е'с'!1+ — р + — Р + — Рв — — йР + — Р )+ ! l, 3 50 25 7 6 4 (, 2 8! в 81 20 ' з 175 4 + члены, содержащие Йзсв. (10) Мы видим, что вплоть до члена с 7гэсв интенсивность является четной функцией от !А, т. е. одинаковой в любых двух диаметрально противоположных точках.
Для главных направлений !А =='1 или 0 численные определения коэффициента при й'с' легко произвести, вследствие того, что функции Р принимают тогда простые значения. 328) 249 дайствив малой сенты Так ге+ Оа = 4+ — (ьасв+ 0,777551гьс4+..., 144 (р = — 1) Рз+ Оз= 4 +144ьгасв+0,02755ггьс~-( (Р = 0) Р~+ Оз= 4 — Ис +0,195341г~с +...
Если можно пренебречь Уггс', то интенсивность меньше в боко- вом направлении, чем непосредственно впереди или позади сферы. Вследствие свойства взаимности источник, помещенный на неко- ~ором расстоянии, будет давать на поверхности малой сферы ббльшую интенсивность в точке, наиболее отдаленной от источ- ника, чем в боковой точке, Применяя эти формулы к случаю 1 Йс = —, получаем: (1ь=- 1) Рз+Оз=0,3073, (9 = — 1) Рз+ Оа = 0,2604, (Р = О) Ре+ Оз= 0,2344, что достаточно близко совпадает с результатами более полного вычисления.
Для других значений р коэффициент при Уг'с' в (10) можно вычислить с помощью таблиц лежандровых функций или из сле- дующего алгебраического выражения, содержащего р'): 3 50 25 а 7 6 + р+ Р + Рз 1ьР + 2 81 з 81 20 з 175 4 = 0,78138 + 1,59+ 0,859381ьв — 0,03056иь, Разность интенсивностей в направлениях (ь= — +1 и р= — 1 можно выразить очень просто. Так, Ов) (Рз + ОЯ) при Уес == — — Уг'с4 = 0,0148; 3 3 8 4 при /гс = — — й4с' = 0,0029; 2 3 8 4 при йс = — йьс4 0 0002 1 3 44 8 4 В то же время полное значение Рв+Оз приближается к 0,25, когда йс мало.
Эти числа весьма интересным образом связаны с ролью, которая принадлежит двум ушам в определении квадранта, из которого приходит звук, Следует заметить, что изменение интенсивности в различных направлениях, о котором мы говорили, обязано присутствию сферы г) Внд функции Р приведен в $334. пгиложвния етнкций лапласа 250 (гл. хчп как препятствия, но не тому факту, что источник расположен на периферии сферы, а не в ее центре. На большом расстоянии малое смещение источника звука влияет на фазу, но не на интенсивность в каком бь! то ни было направлении. Для того чтобы найти изменение фазы, имеем для малой сферы Р— + уввсв ~ — -+ — р — — Р ), О = увс ( — — + — !в ! 2 ! 2 4 18 в)' (, 2 4 )' !38 = — =ас !! — 1+.2 р), или О=увс! — 1+ — 9).
у' ) Так, в (7) т (~а!-г+- ге) евь (ие-г+Ю+ев е отсюда мы можем заключить, что фаза на расстоянии такая же, 8 как если бы источник был расположен в точке !в=1, г= — с 2 (вместо г= с) и препятствия не существовало. 329. Функциональные символы / и Г можно выразить через Р. Известно, что ') л л+ 1 1 — и л (л — 1) (л+1) (л+2) (1 — й)в Р (!в)=1 — — ° ° — + 1 1 2 1 ° 2 1 ° 2 2в или, ваменяя 1в через 1 — р, л л+! н, л(л — 1) (л+1)(л+2) 1!2!12 122в а! Рассмотрим теперь символический оператор Р (1 — †), и пусть и ! г(у)' он действует на у '. Так как (') а!в 1 — ) ° — =( — 1)( — 2)... ( — е)у-'-', ау) 'у то ( гГ~ ! +л(л+1) в+(л — 1)...(л+2), + 2 ° 4 Сравнение с (9) 2 323 показывает, что /„(у) = уР„(1 — — ) ° —, (2) откуда, пользуясь известной формулой, выводим е" ( а)1 (а~ е" и и! Му)у и!~ )' у — (у) = е еР 1 — — ~ — = ( — 1)иР ( — 1 ° —.
(3) Подобным же обрааом +в е+" '— уу.(-у) ='(.у)— г) Тпошвоп апо Тз!1, 1гаеигаь Раиоеорду, 9 782 (цнт. по Мпгрйу). 251 ззо! ОТСУТСТВИЕ ИСТОЧНИКА В НАЧАЛЕ Если теперь мы отождествим у с Йг, то увидим, что общее решение (12) $323 можно написать в виде второй член этого выражения следует опустить, если ни одна часть возмущения не распространяется внутрь. Из (14) $ 323 мы видим также, что откуда Р„(у) = уэР„(! — — ) (! — — ~! °вЂ” (6) Аналогично Р„( — у)е+" ( и") е е " Р ( — 1 — —.
(7) уэ и 1ку~ку у Подставив эти выражения в уравнение (13) 3 323, получаем ЛА -йь. т"- =( — 1)"е'!Е~Я Р ег " "~ЕГ(Йг) Л(Йг) Иг э~ е Л х Л е+~ — й'Я„Р„~ — ), ° —. (8) "(аг(ЙГ)) Л(ЙГ) Йг ' 330. Мы уже рассматривали в некоторых деталях форму, принимаемую нашими общими выражениями в случае отсутствия источника в бесконечности. Столь же важный класс случаев соответствует условию отсутствия источника в начале. В настоящем разделе мы исследуем, какое ограничение налагается благодаря этому на наши общие выражения. Обрашая ряд для Д„, имеем + ( — 1) Я„е "(1 — Йг+ ...) ); это показывает, что при безграничном уменьшении г значение гф„ приближается к 135...(2п — 1) + па Таким обрааом, для того чтобы фп было конечным в начале, необходимо соблюдение условия 3„+( — 1)"3,', = О; что это условие также достаточно, мы увидим позже, 252 ПРИЛОЖВНИЯ ФУНКЦИЙ ЛАПЛАСА (гл.
хуп В соответствии с этим (12) $ 323 принимает вид: г)„= 3„(е я 7 (!Йг) — ( — 1)"е+! 1„( — гвг)) (2) то выражению (2) можно придать вид: гф„= — 21АФ13„1а' гйп ~йг + — ая) — р' соз ~йг + — пп)~, (4) Другой вид можно получить из (4) й 329. Мы имеем д 1 е+га — е-1в = — 2й( — 1)" Б Р ! л' 1 з!наг е ч 1л (аг)7 аг (5) Поскольку функция Р„ или целиком нечетная, или целиком четная, выражение для ф„ либо действительное, либо чисто мнимое. Для того чтобы доказать, что значение ф„ в (5) остается конечным при г-+ О, начнем с замечания, что 2 з!и аг = ! Е-1ь„,ф, лг -1 (6) так что 2Р„(„, ) — = ~ Р„( ) е'!"!' г!р = ~ Р„(р) е1вге г7!А.
(7) -1 -1 Это станет очевидным, если учесть, что результатом дифференцирования е1А"з любое число раз по 1вг будет умножение его на соответствующую степень р. Остается разложить выражение, стоящее в правой части, по восходящим степеням г. Мы имеем Р„(!1) е1ьгв 1(р = -1 ,~ 1 Ф(!А)1 + 1+ 1 ° 2 ! +'''+! ° 2...л -1 Но всякая целая положительная степень )1, например р.л, может быть разложена в конечный рял функций Р, причем функцией высшего порядка будет Ртг Отсюда, в силу известных свойств Если, разделив действительную и мнимую части у„, мы напишем (как выше) У.
= а'+Ф' (3) 830! 258 АИАлитичвскив ВЫИАжвния таких функций, следует, что при р с. и +1 ~ АР„(„) 7р=О. -1 +1 Таким образом, низшая степень йг в интеграле ~ Рл(!А)е'агег7!1 — 1 есть (йг)л. Удерживая только главный член, мы можем написать 41 Из выражения для Ри(!1) через !А, а именно Р 1 3 5...(2л — 1) ( „п(л — 1) „з + и (п — 1) (л — 2) (л — 3) 2 ° 4 (2п — 1) (2п — 3) !Аи-' —..., (8) ! ° 2 З...п мы видим, что р"= ''' Р„(р) + члены, содержащие р в степени ниже !1и, а потому 1 ° 3 ° 5... (2п — 1),~ -1 -1 1 ° 23...п 2 (9) 1 3 ° 5...(2п — 1) 2л+ ! В соответствии с этим, вследствие (5) и (7), (Иг)и " 1 3 ° 5... (2п + 1) + ' ' (10) (1!) можно также написать в виде Ла (ул'5), ( 4п11 — 1) йаа + ! 4аа + 1 — у» '=О. (12) откуда видно, что фи обра1цается в нуль вместе с и, за исключением случая, когда л = О, Полный ряд для фи, в случае, когда в полюсе нет источника, удобнее получать при помощи функций Бесселя.
Дифференциальное уравнение (4) 9 200, которому удовлетворяют эти функции, именно 254 ПРИЛОЖВНИЯ ФУНКЦИЙ ЛАПЛАСА !ГЛ. ХУП Р( +1)=!'3'5"'(2л+') 4/л (14) Обращаясь теперь к (12), мы видим, что решение уравнения ~,+(1 '— ,', ') 3-0 (15) при том же условии конечности прн г = 0 будет иметь вид: 3 =Аз'4./ (г). (16) Функция ф„, с которой мы теперь имеем дело, удовлетворяет уравнению (4) 5 323, а именно лз(гфл)+41 л(л+!) ! ф 0 (17) „(,„), у — () 1 которое имеет тот же вид, как (15) в случае, если т = в+ —; следовательно, решением будет ф„= А(5г) '~'3„,. Л()зг) = А ~1 — — + (лг)л 1' 2 ! (Лр )А 1 ° 3...(2л-(-1) игл 1 2(2л+3) — 18 + 2 ° 4 ° (2л + 3) (2л + 5) Определив постоянную путем сравнения с (10), находим полное выражение для ф„ по восходящим степеням !". фл = — 2 ( — 1)щл+'44Ол (2Л ) .У„+,„(йГ) = (йг)л [ Лагз "1 ° 3 ° 5...(2л+1) 1 2(2л+3)+ Л4Г4 аагв ! ( 19Ъ +2 4 (2л+3)(2л+5) 2 ° 4 6 (2л+3)(2л+3)(йл+7) ' 1 Сравнивая различные выражения для ф„, именно (5) и (19), получаем: Рл (л(гл )) а = !" (~~ ) .У„.„,, (лг).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
