Дж.В. Стретт - Теория звука (1124008), страница 52
Текст из файла (страница 52)
Здесь имеется просто местное возвратное движение, при котором воздух непосредственно впереди руки толкается вперед, а непосредственно сзади †устремляется за движущимся телом, между тем как вообще в пространстве впереди воздух отступает в стороны в результате движения тела, а в пространстве сзади вообще притекает со всех сторон для заполнения пустоты, которая стремится здесь образонаться; таким образом, с боков течение жидкости направлено назад и так, что часть избытка жидкости впереди стремится заполнить недостачу саади.
Теперь допустим, что период этого движения непрерывно уменьшается. Постепенно изменение направления движения становится слишком быстрым для того, чтобы могло вполне установиться чисто местное возвратное течение; воздух заметно сжимается и разрежается, и заметная звуковая волна (илн волна такой же природы, если период ее находится вне пределов человеческого слуха) распространяется иа известное расстояние. То же самое происходит и в любом газе; 3 241 влияния вокового движвния и чем быстрее распространяются сгущения и разрежения в газе, тем более черты явления будут приближаться, в отношении тех движений, которые мы рассматриваем, к условиям, существующим в несжимаемой жидкости; тем ближе будут условия смещения газа на поверхности твердого тела удовлетворяться простым местным возвратным течением».
Обсуждая решение (5), проф. Стоке продолжает: «На большом расстоянии от сферы функция >в(йг) ') в пределе становится равной 1, и мы имеем ЕИ(а>-гэс> ~ с . и г 2а г"в(Ис) (6) С' ЕИШ>- Еч> Ра (Ие) Это выражение применимо к любому отдельному каналу, если считать, что Уз обозначает нормальную скорость на поверхности сферы для данного канала; поэтому, для того чтобы получить выра>кение, применимое непосредственно ко всем каналам, достаточно просто писать Сг вместо Уз. Для облегчения сравнения с (5) и (6) я, однако, буду писать ~~Р„ У„ вместо (Л Тогда — — еинм "+'> —- ся,лла бе г г"з (Ис) >) Я здесь несколько изменил обозначения проф.
Стоксд, Оказывается (из значения дф/дг), что компонента скорости вдоль радиуса-вектора имеет порядок г-', а в любом направлении, перпендикулярном к радиусу-вектору, — порядок г-а, так что боковым движением можно перенебречь всюду, за исключением непосредственного соседствз со сферой. Для того чтобы исследовать влияние бокового движения вблизи сферы, сравним действительное возмущение на большом расстоянии с тем, которое имело бы место, если бы всякое боковое яви>кение было предотвращено, например, путем разделения всей жидкости на элементарные каналы бесконечно тонкими коническими трубками, каждая из которых представляет коническую поверхность с вершиною в центре.
При этом предположении, очевидно, движение в каждом канале будет таким же, каким оно было бы во всех направлениях, если бы колебания сферы сводились к одинаковому в любой точке расширению и сжатию ее поверхности, причем нормальная скорость поверхности совпадала бы со скоростью в точке, где рассматриваемый канал выходит на поверхность. Если бы У было постоянным, то в Разложении Сг был бы только пеРвый член Уе, и, пРинимаЯ во внимание, что уе(>>аг) = 1, мы имели бы из (5) нгиложания еянкций ллнллсл [гл.
хчн Следует помнить, что это — выражение, применимое непосредственно ко всем каналам, в каждом из которых движение происходит целиком вдоль радиуса-вектора, и, следовательно, зто выражение нельзя дифференцировать но 8 или а с целью найти поперечные скорости. Сравнивая (7) с выражением функции ф для действительного движения на большом расстоянии от сферы (б), мы видим, что оба они тождественны, если не считать того, что делителями У„служат в них две различные постоянные, именно Рз(йс) в первом случае и Р„(Г(ас) — во втором.
То же самое справедливо н для главных членов (членов порядка г-') в выражениях для сгущения и для скорости. Следовательно, если тип колебания сферы таков, что нормальная скорость ее поверхности выражается функцией Лапласа какого-либо порядка, то возмущение на большом расстоянии от сферы будет изменяться в зависимости от направления по такому же закону, как если бы боковые движения были задержаны, причем амплитуда смещения на данном расстоянии от центра изменяется в обоих случаях как амплитуда смещения в нормальном направлении самой поверхности сферы. Единственным различием адесь является то, которое выражается символическим отношением Р„(ю)гс): Ра(йс).
Если предположить, что Р„(где) приводится к виду р„(соз а„ + ) з!н к„), то амплитуда действительного колебания будет относиться к амплитуде в гипотетическом случае, как иа: р„, а фазы в обоих случаях будут отличаться на аз в э„. Если нормальная скорость поверхности сферы не может быть выражена при помощи одной функции Лапласа, а только при помощи ряда, конечного или бесконечного, таких функций, то возмущение на данном большом расстоянии от центра уже не будет изменяться в зависимости от направления по тому же закону, что и нормальная скорость поверхности сферы, так как модуль )г„, а равно и амплитуда ая мнимой величины Г„(Г)гс) изменяются с изменением порядка функции.
Предположим, что возмущение выражается функцией Лапласа какого-нибудь порядка, н будем искать численное значение изменения интенсивности на некотором расстоянии, вьшванного боковым движением, которое существует в действительности. Интенсивность будет измеряться живой силой, развитой за данное время, и следовательно, будет изменяться пропорционально плотности, помноженной на скорость распространения н на квадрат амплитуды колебания.
Из ннх первые два множителя такие же, как если бы никакого бокового движения не было. Амплитуда я г изменяется в отношении рз: р„так, что если р„/й, = 7„, то ӄ— величина, на которую нужно разделить интенсивность, которая имела бы место, если бы боковое движение жидкости было задержано. Если ), †дли ввуковой волны, соответствующая данному периоду колебания, то э = 2л/А, так что )гс †отношен длины большого круга сферы к длине волны. Если считать, что рас- 324) исследование стокса сматриваемый газ есть воздух и что ), равна двум футам, что соответствует примерно 550 колебаниям в секунду, а большой круг сферы 2яс имеет длину 1 фут (эти размеры и высота тона соответствуют примерно обычному домашнему колокольчику), то 1 мы будем иметь 7ге = †.
Приводимая ниже таблица дает значе- 2 ' ния квадратов модуля и отношения 1„лля функций 1''„(йс) пер- 1 1 вых пяти порядков и для значений 7гс, равных 4, 2, 1, — и —. 2 4 Таблица продолжена более далеко в направлении значений, ббль- 1 ших —, чем в противоположном направлении, причина чего выяснится ниже. Сохранены по меньшей мере пять значащих цифр.
н=3 ~ н=4 л=! ! н=2 Ю,!77 1495,8 300!37 72086371 18!6ОХ10' 13,848 80 3965 236291 14837899 !6 5 5 16,25 64,062 14,879 9,3125 89 1330,2 20878 17 5 2 1,25 1,0625 4 2 1 0,5 0,25 0,81459 16 1982,5 !88953 13965Х10ч 1,1869 299,16 150 068 57 669 097 17092Х! ое 0,87523 1,8625 44,5 1064,2 19650 0,95588 1 2,5 13 60,294 4 2 1 0,5 0,25 При 7гс = со мы получаем из аналитических выражений 1„= 1. Из таблицы мы видим, что когда 7гс сравнительно велико, 1„, повидимому, должно быкь немного меньше, чем 1, и следовательно, звук должен быть немного интенсивнее, чем если бы боковое движение было уничтожено.
Это легко объясняется, если учесть, что волны сгущения, исходящие из тех частей сферы, которые в данный момент колебания движутся в положительном направлении, т. е. наружу, по истечении полупериода могут распространиться на соседние части, которые теперь в свою очередь движутся в положительную сторону, так что эти последние части при движении наружу производят работу против сил несколько большего давления, чем если бы они встречали только то колебание газа, которое в!язвано ими самими; то же самое объяснение применимо пш1а11з шп1апйз к волнам разрежения.
Однако усиление звука, получающееся благодаря существованию бокового движения, во всяком случае мало, между тем как если 7гс относительно мало, 1„увеличивается чрезвычайно сильно, н звук становится ничтожным по сравнению с тем, каким он должен бы быть, если бы боковое движение было предотвращено, 236 [гл.
хчп пгиложвния екнкций ллпллсл Чем выше порядок функции, тем на большее число частей, колеблющихся попеременно в положительном и отрицательном направлении, будет разделена сфера в каждый данный момент. Из таблицы мы видим, что для данного периода, а также для данного радиуса значение 1и становится большим при и достаточно большом. Однако практически колебания этого рода возникают в случае, когда упругая сфера совершает колебания не с основной частотой, а с одной из вторичных частот, причем соответствующая частота повышается с порядком колебания, так что !г увеличивается в соответствии с этим порядком. Именно вследствие этого таблица продолжена в направлении высоких частот от лс = 0,5 дальше, чем в направлении низких: она продолжена на три октавы выше )гс = 0,5 и только на одну октаву ниже.
Если сфера колеблется симметрично относительно центра, т. е. так, что каждые две противоположные точки поверхности в каждый данный момент движутся с равными скоростями в противоположных направлениях, или, более обще, когда тип колебаний таков, что положение центра тяжести всего объема не изменяется, то член порядка 1 отсутствует. Для сферы, колеблющейся по типу колокольчика, основным колебанием является колебание, выражающееся членом порядка 2, к более подробному разбору которого я и перехожу.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
