Дж.В. Стретт - Теория звука (1124008), страница 53
Текст из файла (страница 53)
Полагая для краткости !гэга=4, имеем раа — д+ 1, !ьаа=(ф*+ 9д-'ь)а+(4 9д-г)а — д 2+ 9д-~ + 81д-а, зз — 2ла + йл + 8! аз !4 + 1) Минимальное значение уа определяется уравнением ф — блз — 84л — 54 = О, откуда приближенно д = 12,859, йс = 3,586, ра = 13,859, в = 12,049, !я = 0,86941, так что максимальное усиление звука, получающееся от бокового движения, достигает около 1бз/ . Перехожу теперь специально к экспериментам Лесли. Ничего не указано относительно формы, величины и тона его колокольчика; но даже если бы все это было точно описано, оставалось бы еще достаточно труда для определения размеров эквивалентной сферы, которою можно было бы заменить колокольчик.
Следовательно, все, что мы можем сделать †э выбрать такие значения 1е н с, которые сравнимы с вероятными условиями опыта. У меня имеется колокольчик, принадлежащий к типу старинных приборов 1Ье!1-!п-а!г), который, вероятно, несколько напоминает колокольчик, употреблявшийся Лесли. Он приблизительно полусфе- 8241 ЧИСЛОВЫЕ РВЗУЛЪТАТЫ о=О,оз с =0,49 Газ 7, ) 1 !ОЛ6067 О,ОО1О4В'О,'ООП 36 0,2427 1136 0,01674 284700 ЮВ9О 4604000 1 0,2627 воздух .... Водород Разреженный воздух то же при наполнении водоролоы Воздух той »хе плотности, Воздух, разреженный вдвое то же при наполнении во- лородоы 1 о,оао 1 о,оопж о,о! О,О1 1136 0,2427 о,о! 0,01 0,0067 0,001 440 0,0047Н О,О1 0,2798 О,О1 957 220037 Олмгу Пвб 0,2427 1136 3572ССО 0,001637 О,О!33 О,Оузв О,Оузв 0,0783 0,06067 О,О!83 О,в 0,5 0,5 О,уви 0,1297 4322 0,1921 0,0324 0,2039 0,5345 рической формы, диаметр его 1,96 дюйма, а тон его на октаву выше среднего с рояля.
Принимая число колебаний 1066 в секунду и скорость звука в воздухе 1100 футов в секунду, имеем А = 12,6 дюйма. Представлять колокольчик сферой такого же радиуса означало бы сильно недооценить влияние местной циркуляции, так как вблизи отверстия газ не имеет больших возможностей для движения снаружи во внутрь и обратно. Представление колокольчика сферой половинного радиуса означало бы, повидимому, все еще недооценку этого эффекта. Тем не менее, для того чтобы скорее недооценить, чем преувеличить влияние рассмотренной здесь причины, я сделаю последовательно оба эти предположения, принимая, соответственно, значения с = 0,98 и с = 0,49, кс = 0,4926 и кс = 0,2463 для воздуха.
Если бы не было бокового движения, то интенсивность изменялась бы от газа к газу пропорционально отношению плотности к скорости распространения, и, следовательно, отношению давления к квадратному корню из плотности газа при обычном давлении, если учесть, что множитель, зависящий от распространения теплоты (коэффициент теплопроводности) по существу одинаков для газов и газовых смесей, с которыми мы будем иметь дело. В приводимой таблице в первом столбце дается название газа, во втором — давление р в атмосферах, в третьем — плотность О при давлении р, отнесенная к плотности воздуха при атмосферном давлении, принятой за единицу, в четвертом 4;7„ — величина, которая представляла бы интенсивность, если бы движение было полностью радиальным, †отнесенн к интенсивности в воздухе при атмосферном дзвлении, принятой за единицу, или, другими словами, величина, изменяющаяся пропорционально давлению р)( (плотность при давлении единица)'7».
Затем идут значения »7, 72 И 4;7, причем последняя величина представляет действительную интенсивность, отнесенную, как и выше, к Воздуху. пгиложания Функций лАплАОА (гл, хуп Как показывает рассмотрение чисел, содержащихся в столбце ьг, приведенная здесь причина вполне достаточна для объяснения фактов, упомянутых Лесли». Важность этого предмета и мастерскую трактовку, которая была дана проф. Стоксом, можно, пожалуй, считать достаточным оправданием столь длинной цитаты. Простотаистинногообъяснения представляет замечательный контраст с различными предложенными ранее гипотезами. Так, например, сзр Дж. Гершель думал, что смесь двух газов, в которых звук распространяется с различными скоростями, могла вызвать турбулентность, приводящую в результате к быстрому затуханию звука.
(рассматриваемый здесь вопрос можно иллюстрировать еще проще задачами Я 268, 301. Например, случай, рассматриваемый в 9 268, можно считать крайним случаем настоящего, когда сферическая поверхность обращается в колеблющуюся плоскость, разделенную на прямоугольные части. Если допустить, что размеры этих частей, определяемые сторонами и и д, заданы, и проследить, какой эффект производит постепенное увеличение частоты, то мы увидим, что только когда частота достигает известного значения, заметные колебания распространяются до бесконечности, причем закон ослабления колебаний с расстоянием имеет экспоненциальный вид.
С другой стороны, колебания, частота которых превышает критическое аначение, распространяются беа потерь, не подвергаясь ослаблению, которое сферические волны необходимо должны испытывать.) 325. Член нулевого порядка ф 0 ага(аг-ю 5 о=— где Яа †комплексн постоянная, соответствует потенциалу ирослгого исаочлкка произвольной интенсивности и фазы, расположенного в центре сферы (2 279).
Если, как это часто бывает на практике, источником звука является твердое тело, колеблющееся без существенного изменения объема, то этот член относительно невелик. В случае жесткой сферы, колеблющейся около положения равновесия, этот член вовсе выпадает'), поскольку все движение в целом тогда изображается членом первого порядка; и во всех случаях, когда тело очень мало по сравнению с длиной волны, член нулевого порядка должен быть незначительным. В самом деле, если мы проинтегрируем уравнение движения Ч' ~+ ввф = О по малому объему, заключенному между телом и сферой, описанной вплотную вокруг него, то мы убедимся, что все количество жидкости, которое входит внутрь этого пространства и выходит из него, мало и что поэтому имеется лишь небольшой полный поток сквозь поверхность сферы. г) центр сферы принят за начало координат.
$26) возглстлнив инвРции и следовательно, для значения ф на поверхности сферы из (5) й 324 имеем ф = — йасЦь ! (4) Сила Е, возникающая вследствие сгущений воздуха, ускоряющих движение, определяется выражением В= — ~ ~ р3р (З=рДр,'„Ю= з'Ус (йс) 1 Я . 4ясс;ус (йс) Г' (1ас)) " "р = ' а 3 р' Г,(1Л~) Если положить 1~ (йс) — р — 12, ~,(йс) (6) то Е = — р ° вЂ” прс 1 — д)га ° — ярсз;, 4 3 3 поскольку (= йа(. Роль воздуха, таким образом, состоит в увеличении аффективной инерции сферы, именно на усиленную в р раз инерцию смещенного воздуха, и в замедлении движения силой, пропорциональной Положив и = 1, получим для члена первого порядка (2) причем 8, пропорционально косинусу угла между рассматриваемым направлением и некоторой неподвижной осью. Это выражение имеет такой же вид, что и потенциал двойного источника (й 294), расположенного в центре и состоящего из двух равных и противоположных простых источников, лежащих на рассматриваемой оси, расстояние между которыми бесконечно мало, интенсивности же таковы, что произведение интенсивностей на расстояние конечно.
В самом деле, обозначим ось через х, а косинус угла между х и г †чер р; тогда очевидно, что потенциал двойного источника пропорционален Отсюда следует, что возмущение, создаваемое колебанием сферы как твердого тела, — такое же, как возмущение, соответствующее двойному источнику в центре, ось которого совпадает с направлением колебаний сферы. Реакцию воздуха на малую сферу, колеблющуюся как твердое тело по гармоническому аакону, можно легко вычислить из предыдущих формул. Пусть 1 обозначает скорость сферы в момент 1, ц ссссс — ср (3) 1гл.
чщ1 пяиложвния етнкций ллпллбх 4 скорости и равной --арса диас; оба эти эффекта вообще являются 3 функциями частоты колебания. Вводя значения 7', и Ем находим уа (Еес) 2+ васа — )ласс (7) Р, (Ис) 4+ Мсз так что 2 + васа васа 4-1 Ьнсз 7 4+Исз (8) ь) Сггееп, Ейгпаигел Тгапзасгсопз, декабрь, 16, 1833. Также Отсев, Ма~легпасссаг Рарегз, еййей Ьу Реггегз, Мзспн11ап Га Со, 187!.
а) Ро1ааоп, Метолез йе РАсайегпсе лез Зс(епсез, том Х1, стр. 321. а) Мзхаге11, Е!ессггсжу апсг Маапе11зт, гл. 1Х. аа Когда )сс мало, мы имеем приближенно р= — и д= — )васа. 2 4 Следовательно, эффективная инерция малой сферы увеличизаегся на половину инерции смещенного воздуха — величину, не зависящую от частоты, и такую же, как если бы жидкость была несжимаемой. Член, выражающий рассеяние и соответствующий испускаемой энергии, есть член высшего порядка по 7сс; поэтому (если пренебречь влиянием вязкости) колебания малой сферы затухают медленно.
Движение эллипсоида в несжимаемой жидкости было исследовано ! рином '), и результаты его можно применить к вычислению увеличения эффективной инерции благодаря сжимаемости жидкости, если размеры тела малы по сравнению с длиной волны колебания. Для малого круглого диска, колеблющегося перпендикулярно к своей плоскости, увеличение эффективной инерции относится к массе жидкой сферы, радиус которой равен радиусу диска, как 2;к, Результат для случая сферы, описанной выше, был получен Пуассоном а) несколько раньше появления в печати статьи Грина.
Максвелл а) показал, что различные члены разложения по гармоническим функциям обычного потенциала можно рассматривать как члены, представляющие крапаные точки соответствующей кратности см г!1 на комплексной плоскости. Так, 1г, пропорционально — „8„3„- ( — 1, где г-' 1 раз дифференцируется ио осям йы Ьа и т. д., причем некоторое число этих осей может в частном случае совпадать. Пожалуй, можно было бы ожидать, что подобный же закон сохраняет силу и для потенциала скоростей, если подставить г 'е '"" вместо г-'. Однако это не имеет места; можно показать, что потенциал Ьа е-иг квадруполя, представляемый в виде — „— ~-„- °, соответствует е — сяг вообще не просто члену второго порядка, т.
е. Яа 7а(гаг), г а комбинации этого члена с членом нулевого порядка. Поэтому аналогия сохраняет силу только для случая двойной точки илн источ- 32б) 241 СИММЕТРИЧНАЯ СИСТЕМА ника, хотя, разумеется, функция 7 †-аа" после любого числа дифференцирований продолжает удовлетворять основному уравнению (~ +и)ф=о. Целесообразно, пожалуй, отметить, что возмущение вне любои воображаемой сферы, полностью охватывающей источник звука, можно представить как результат нормального движения поверхности некоторои меньшей концентрической сферы, нли, в частном случае, когда радиус сферы бесконечно мал, как исходя~нее из источника, сконцентрированного в точке, именно, в центре сферы.
Этот источник вообще будет состоять из комбинации кратных источников всех порядков. 326. Когда источником возмущения является колебание твердого тела параллельно его оси вращения, то различные сферические функции Ял сводятся к простым кратным зональной функции Р„(1а), которую можно определить как коэффициент при еа в разложении (1 — 2е1а + ез)-Ч по восходящим степеням е. (Вид этих функций приведен в э 334.) Когда же твердое тело симметрично не только относительно оси, но также симметрично и относительно экваториальной плоскости (пересечение которой с осью принято за начало координат), то разложение получающегося возмущения по сферическим функциям будет содержать только члены нечетного порядка. Так, например, если колеблющимся телом является круглый диск, совершающий колебания перпендикулярно к его плоскости, то разложение ф будет содержать члены, пропорциональные Р,(17), Ра(1а), Рз(1а) и т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
