Дж.В. Стретт - Теория звука (1124008), страница 56
Текст из файла (страница 56)
Известно (9 200), что решение уравнения (1!) при условии, что оно конечно при в=О, есть у=АУ (л), где 13 2™Р(т+1) ( 2(2т+2)+2 ° 4 ° (2т+2)(2т+4) '"1 есть функция Бесселя т-го порядка. Если и — целое, Г(т + 1) = 1 ° 2 З...т; но здесь мы имеем 1 дело с т дробным, вида л+ —, где л — целое. В етом случае 2 33П 255 чхотныв слзчли Если гч = а+ /р, то соответствующие выра>кения для ео/!и/Нг будут: дф — „" = — — ", (е-'егЕ„(/Йг) — ( — 1) е 'Р„( — /Йг)) = аг гз 2/ т~5п ! . / 1 / 1 " !а гйп (Йг-+ — пя/! — !3 соз (Йг+ — пя)~ = га ( 1 2 2 1 3 ° 5... (2п+1) 1 2п(2и-)-3) Полезно выписать для справок вид функций 6 и д//)дг первых трех порядков: < з!и Йг Фо = 2!Йоо 0 ! 25а 1 е!и Ггг! 6 = — соз Йг —— г Йг 1 ~' = — —,' (2 соз Йг+(Йг — — ) з!и Йг~.
( 2/3з ! / 3 = — — ° ! 1 — — ! гйп Йг+3Йг соя Йг~, э г "(( Йзгз/ 2 ~ о ((4 — — ) з!и Йг — (Йг — — ) соз Йг~. 331. Одним из наиболее интересных является применение этих результатов к исследованию движения газа внутри жесткой сферической оболочки. Для определения периодов свободных колебаний достаточно предположить, что д///дг равно нулю, когда г равно радиусу оболочки. Так, в случае симметричных колебаний имеем для определения Й !яЙг = Йг, т. е. уравнение, которое мы уже рассматривали в главе о мембранах, й 207.
Первый конечный корень (Йг= 1,4303я) соответствует симметричному колебанию низшей частоты. В случае корня более высокого порядка рассматриваемое колебание имеет сферические узлы, радиусы которых соответствуют корням низшего порядка. Любой конус с вершиной в начале можно превратить в жесткий, нисколько не влияя на условия нашей задачи. Пучности, или места, где отсутствует изменение давления, определяются уравнением (Йг) ' з!и Йг= О, или Йг= тя, где и — любое целое число, кроме нуля. Случай, когда и = 1 и когда колебания можно назвать днаметральными, пожалуй, наиболее интересен. Яы будучи гармоникой пгиложвния фхнкций лапласа (гл.
хвп первого порядка, пропорционально сов О, где 0 — угол между г и некоторым фиксированным направлением отсчета. Так как дфх/д0 исчезает только в полюсах, то конические узлы ') с вершиной в центре отсутствуют. Но всякая меридиональная плоскость †узловая, и ее можно считать жесткой. Вдоль каждого отдельного радиуса-вектора фт и дф>/д0 исчезают и меняют знак вместе с соз1сг — (/сг) ' з1п /сг, т.
е. когда 1д/сг = /сг. Для определения сферических узлов имеем (Дй =2 2аг (2) Таким образом, тон сферы выше тона цилиндра приблизительно на одну кварту. Рассматриваемое здесь колебание есть колебание самой низкой частоты, возмо>кной для сферы; оно более чем на октаву ниже, чем низшее (основное) радиальное колебание.
Следующим колебанием такого типа будет колебание, для которого /ах= 340,35 ° л/180, или г — = 0,9454, и которое, следовательно, выше наинизшего (основного) радиального колебания. Если /сг велико, то корин уравнения (2) удобно вычислять при помощи рядов. Если 1сг = сл — у (где о — целое число), то 2( -,.— у) гяу = (ал — у)в — 2 откуда находим 2 16 /сг= ол — — — —,— + сл Зсалт (3) >) Узел является поверхностью, которую можно предположить жесткой, т, е.
сквозь него не проходит никакое дан>ксиве. Первый корень есть /сг=О. Вычисляя с помощью тригонометрических таблиц методом последовательных приближений, я нашел для ближайшего корня, соответствующего важнейшему колебанию в сфере, /сг= 119,26 ° л/1ЗО, так что г/),=0,33!3. Воздух движется от одной стенки к другой, в значительной степени подобно тому, как в трубе, закрытой с двух сторон. Без всякого анализа мы можем предсказать, что тон будет выше для сферы, чем для закрытой трубы такой же длины, так как сферу можно получить из цилиндра с закрытыми концами, частнч>ю наполняя последний препятствием нз некоторого материала, влияние которого должно усилить пружинящее действие, между тем как перемещаемая масса остается почти без изменения. И действительно, для замкнутой трубы длины 2г — = 0,25.
ь 257 33Ц колкзАния ВТОРОГО пОРядкА Если и = 2, то общее выражение для З„будет Зя=Ао(созЯΠ— — )+(А,сова+В, гйп па) гйп О сов О+ 1ч +(А соя 2м+В. з1п 2а) з)пЯО, (4) откуда мы выберем для специального рассмотрения следующие залзечательные случаи. а) Зональная гармоника 5 Ао (созэ Π— — ) . !т 3)' (4а) Здесь дфя/д0 пропорционально з!и 20, а потому исчезает при 1 0 = — ".. Это показывает, что экваториальная плоскость есть увло- 2 вая поверхность, так что движение — такое же, какое могло бы иметь место внутри замкнутой полусферы. Кроме того, поскольку 3 не содержит а, любую меридиональную плоскость можно считать жесткой.
р) Секториальная гармоника Вв=Аасоз 2еа з!пз0, (5) Здесь опять дфя!дО изменяется пропорционально з1п 20, и экваториальная плоскость †узлов. Но дф !дае изменяется пропорционально Гйп 2аа, а потому не исчезает независимо от О, за исключением случая, когда гйп 2а О. В соответствии с этим оказывается, что две и только две меридиональные плоскости †узловь и что они расположены под прямым углом друг к другу. т) Тессеральная гармоника 5я = А, соз м з!и 0 соз О.
(6) В этом случае дф /дО исчезает независимо от м вместе с соз 20, 1 3 т. е. когда О = — в или — к, что приводит к узловому конусу 4 4'' вращения с прямым углом при вершине. дфэ/дм изменяется пропорционально з!и м, и следовательно, имеется одна и только одна меридиональная узловая плоскость ').
Сферические узлы определяются уравнением Дзгз 9Ь. !о!зг= 4дз з 9 первое конечное решение которого есть йг = 3,3422 и дает тон ниже любого тона радиальных колебаний. 17 Зак !779 Раааа, П т) (Я обязан проф. Лзмбу замечанием, что различие между случаями р и т заключается только в отношении к осям координат.) 258 пгиложвиия еункций лапласа [гл. хтп ц(йг+ — ', ))= 3, (8) или Р— — 0 Р„(„— „,,)„„„,, =0, (9) нли же г 2йгlос н(йг) = У„+.г,(йг). [Лля корней уравнения — [я-'йг', (я)) О, эквивалентного уравнению (10), проф. Мак-Магон дает') 1, т+ Т 4(утз+154т+95) 3рг 3 (врг)з 32 (33тз + 3535тз + 3561т + 6133) 15 (33г)з (10) (11) (12) где т= 4чз, и ~' = — (2ч+ 4з+ 1). (13) 3 Если л=!, так что ч= —, то т=9, р'=с+1, и (12) дает результат, согласный с (3).[ Таблица А дает значения й для сферы единичного радиуса, соответствующие наиболее важным типам колебаний.
В таблице В даны частоты различных колебаний относительно основной частоты всей системы. Таблица содержит достаточно много значений, охватывая две октавы. Таблица А, дающая значения Х для сферы единичного радиуса Число внутрен них сфе рических узлов т) МсМаиоп, Алла(з ор Ма!лета((сз, тои !Х, И 1. В случае общей гармоники уравнение, определяющее возможные тоны в сфере радиуса г, можно написать в виде (2!) ч 330 332) 2И ПОСТОЯННАЯ НАЧАЛЬНАЯ СКОРОСТЬ Таблица В Высота каждого тона по отношению к ос" новной частоте Высота каждого тона по отношению к основной частоте Число внутренних сферических узлов Число внутренних сферических узлов Порядок гармо- ники Пзрядок гармо- ники 1,0000 1,6056 2,1588 2,169 2,712 2,8540 3,2458 3,5021 3,7! 14 3,772 ~ г Вг ° (й,г)-чхуа... (йхг) ° (йзг)-' Ауа ...
(йаг) = О, (3) о 1) Тпошзоп а. Тап, 57асига! Рд!1озорлу, стр. 151. 17А 332. Если отбросить ненужные постоянные, то частное решение для колебаний газа внутри сферической оболочки единичного радиуса можно представить в виде ф„= За(йг)-'АУААН,(йг) соя(йа( — 6), (1) где й — корень уравнения г 2йУаыз(й) = Уа+,А(й).
(2) Обобщая зто, мы должны вспомнить, что Яа может быть составлена из нескольких членов, причем каждому члену может соответствовать колебание произвольной амплитуды и фазы. Далее, каждый член, входящий в Ва, может быть связан с каким-нибудь или со всеми значениями й, определяемыми уравнением (2). Так, например, под рубрикой и = 2 мы могли бы иметь фя = А (созе 6 — — ) (й,г)-" ./„+,А(й,г) соз (й,ау+ 8,) + 1х + В соя 2ю з1 па 8 (йяг)-'А йа+~, (йзг) соз (йапу + 6я), где й, и йз †различн корни уравнения 2й./н(й) = .Й,,(й).
Любые две составляющие ф сопряжены, т. е. обращаются в нуль, если их перемножить и проинтегрировать по всему объему сферы. Это следует из свойства сферических функций для случаев, когда оба рассматриваемых члена соответствуют различным значениям и или двум различным составляющим Яа '). Единственный случай, который еще остается рассмотреть, требует от нас доказательства того, что 260 (гл. хш! ПРИЛОЖЕНИЯ ФУНКЦИЙ ЛАПЛАСА где Й, и й, — разлачные корни уравнения I 2ЙУЛ юл (Й) =./„,.,ь (й); (4) но это — непосредственное следствие основного свойства таких функ- ций (Э 203), Поэтому приспособление общего решения к предпи- санным начальным условиям не представляет никаких трудностей. Для иллюстрации возьмем случай, когда газ вначале находится в положении внутреннего равновесия, но движется с постоянной ско- ростью параллельно оси х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
