Дж.В. Стретт - Теория звука (1124008), страница 58
Текст из файла (страница 58)
Ц = (2 л + 1) — 1 з1 и ] и (а: — г + е) + Т ! Х В качестве примера выпишем члены !ф], включающие гармоники порядка О, 1, 2. Следующая табличка функций Р„(р) будет при этом полезной: ПРИЛОЖЕНИЯ ФУНКЦИЙ ЧЛПЛАСЛ 266 [Гл. хчп с успехом разложить результаты по восходящим степеням (ес> [ф ] = — — [ 1 — — Исз + — (44с4 — „-- Азсз + ...) )~ Лесе г 3 , 3 19 Зг [, 5 7 54 асов [(4(а( — г+с)+7О], (16) [ф ] = — — [ 1 — — (езсв — — (44с4 [ (еесв [ ) >г Лге> г 3 3 1 Зг ~ 10 28 27 )~[4 з!п [(4(а( — г+е)+7»>, (17) аеее г 25 13 [ф ] е — — '[~! — — (евся+ — (44с4+...) >с', 9г [, 126 567 )( ([4Я вЂ” — ) соз [(е (ат — г+ с) + 74].
(18) ! Оказывается, что в то время как [ф ] и [ф,] имеют одинаковый порядок относительно малой величины (ес, [>(е] двумя порядками выше. Мь> увидим сейчас, что более высокие гармонические состав- ляющие [ф] зависят от еще более высоких степеней йс. Если так, то в первом приближении мы можем ограничиться злементами порядка 0 и 1. Хотя [>( ] содержит косинус, а [ф>[ синус, опи тем не менее лишь незначительно отличаются по фазе. Сравнивая два значения д>„(дг в (21) 3 330, мы видим, что тождественно а З[П [ле+ — Ля] — р СОЗ 1>(ее+ — Ля) = 2 ) '> 2 п (ае)пь> = — ( — 1)" 1 ° 3 ° 5 ...
(2л+ 1) + высшие степени (>с. 1 разделив на а соз ((ес + — ля), получаем окончательно 2 ( 1)п л (Ле)п+> п соз ! де+ — пт.~ 2 Если п — чегиное, то зто уравнение, после подстановки вместо а главного члена из (16) $ 323, принимает вид: л (яе)ап4> !и нс — — =— (19) е (и+1) (2п+1) [1 3 5 ... (2п — 1)]з ' Так, например, если л=2, то 1и )ес — ( — ) = — + Если л вообще велико, то выражения для 165с и р(а становятся почти тождественными для небольших значений лс.
Если л — нечегиное, то примерно аналогичным методом получаем л(ае)зз > + а (и+ 1) (2п+!) [1 ° 3 ° 5 ... (2л — 1)]з + ' ' ' 267 3341 ИНТВНСИВНОСТЬ ВТОРИЧНЫХ ВОЛН 1Из (!9) мы видим, что когда а четно, то !д т или — р/а приближенно равны — !КЙс, и из (20) мы видим, что когда п нечетно, то с!КТ=!КЙс. В первом случае в силу (!6) 9 323 а имеет внак 1-" или ( — 1)'Ь", а во втором случае а имеет знак 1-"т' нли ( — 1)ж! -т1, В обоих случаях приближенное решение можно выразить в виде т = — Йс + — ик ') 2 (20').1 Поэтому потенциал скоростей возмущения, создаваемого небольшой жесткой и неподвижной сферой, приближенно равен Йзез / 3 !Фо)+® 3 (1+ 2р) = — —,2 (! + 2 р) соз Й (ат — г), ВТ/ 3 (21) (<Р1 = соз Й(а!+ х).
(22) Для данного препя ~ ствия и данного расстояния отношение амнлитуд рассеянной и прямой волн вообще обратно пропорционально квадрату длины волны, а отношение интенсивностей обратно пропорционально четвертой степени длины волны Я 296). Для того чтобы сравнить интенсивности первичного и рассеянного ввука, мы можем предположить, что первый исходит из простого источника, если он расположен на достаточном расстоянии (гс) от Т.
Так, если соз Й (а! — 77) Рр) (23) то ВТ l 3 141 = — — (1+ — р) соз Й(а! — г), г771а1 2 (24) так что на равных расстояниях от своих источников вторичная и первичная волны находятся в отношении (25) Следовательно, отношение их интенсивностей есть Р~М( +2Р)' (26) что для случая р=+ 1 дает приближенно 61,72 Тз 77ВХ4 (27) г) Кзк зта поправка, так и другие, вытекающие из иее, даны д-ром Бэртоном (Виг!оп). если обозначить через Т объем препятствия; соогветствующая прямая волна есть пеиложвния етнкций ллпллсл [гл. хчн Следует хорошо усвоить себе, что для возможности применения этого результата необходимо, чтобы ) была велика сравнительно с линейными размерами 7; а Я было велико сравнительно с х.
Для определения главного члена в выражении для фп, когда Йс мало, мы имеем прежде всего й 1 й з1пас ) и (п' (Гйс)/ п' (йс) йс пгп(йс)п ~ 1 (и+ 2) Лзсз + ... . (28) 1 ° 3 ° 5...(2п — 1) 1 2п ° (2п+ 3) ' ' ' '( Далее, аэ + рз = Гп (Йс) ° Гп ( — Мс) = =[1 ° 3 ° 5...(2а — 1)(а+1)(йс) и!'(1[- ( ) +...(, (29) так что в в ч (дс) 11 (п ""' ...',. ЗО +г ) ! ° 3...(2п — 1) (и+1) [ 2 ° (и+ 1)(2п — 1) +' Следовательно, из (10) с (Угс)зппгпР„(Н) ЫЬ !а~ с+с)+ Сп ~ Х г [1 ° 3 ° 5...(2п — 1)[в(п -1- 1) и†! и+2 Х ( ((2п + 2) (2п — ! ) + 2п (2п + 3) 1 + ' ' ' ( ' Когда а — четное, то С (ИС)апаспРп (Н) 1 !фв! г[1 ° 3 ° 5...(2п — 1НЗ(п+ 1) соз! (а )+ 2 ~%( Х и — 1 и+2 ( ~(2п+2) (2п — 1) 2п(2п+3)~ ! ' ' '( ( 1 так как приближенно 7 — йс+ — ая).
Когда же а — нечетное, 2 то мы можем просто заменить !" через 1п+т (и соа через з)п), причем результат все еще будет действителен. Прн помощи выражения (31) мы можем проверить первые дза члена в выражениях для [ф,! и [фа[ в (17) и (18). К случаю и=О (3!) неприменимо. Далее, з силу (31), [фа[= — (1 — — )е~св( (рз — — р( тяп [й(а! — г+с)+уз], (33) лзс" 6 3 3150 (! 7 ! +35( ! ( + )+7~!' (34) Складывая (17), (18), (33) и (34), мы получаем значение [ф! полное, вплоть до членов, имеющих порядок йесе, сравнительно с двумя главными членами, определяемыми выражением (21). При сложении частных выражений, необходимо точно учитывать как 269 3341 длвлзння нх пгвпятствив фазы компонент, так и их амплитуды; но в случаях, когда требуется только один гармонический элемент, фаза часто имеет второстепенное значение.
В таких случаях можно положить 1 т = — йс+ — пг. 2 Из (31) или (32) следует, что главный член з з„возрастает на два порядка по Йс при возрастании гармоники на один порядок н что сама )„ выражается рядом, содержащим только четные или только нечетные степени йс. Но помимо того что главный член имеет по йс более высокий порядок, он быстро уменьшается с возрастанием п за счет других множителей, которые он содержит.
Это очевидно, поскольку для всех значений и и р Р„(р) (1; то же самое верно и для и/(а+1); что же касается (ч, то он влияет только на фазу. В частных случаях какой-нибудь из гармонических элементов (б) может обратиться в нуль. В таком случае, поскольку (ав+рв)-Ч не может обратиться в нуль, из (11) и (12) имеем т. е. такое же уравнение, как уравнение, определяющее периоды колебаний и-го порядка в замкнутой сфере радиуса с.
Небольшое рассуждение покажет, что такого результата и следовало ожидать. Таблица, приведенная в % 331, применима также и здесь и показывает, между прочим, что когда Йс мало, нн один из гармонических элементов Я не может обратиться в нуль. Вследствие сгущений воздуха на сферу действует сила, параллельная оси р, которая стремится привести сферу в колебание. Величина этой силы есть тя 2 а | (у+1) р Фр, -я если через е обозначить плотность жидкости; в этом выражении благодаря свойству сопряженности функций Лежандра только член первого порядка влияет на результат интегрирования. Если г=с, то 3 аас ы а!и ье Н (1дс) Лс за г у,(гас) и 4 миле "'~ — — 3)гсе р, (где) Ы (йс) л (ьс) * лс где ~, (()ес) = 1+ —, Г, (йс) = йс+ 2+— Для того чтобы эта сила могла обращаться в нуль, необходимо было бы, чтобы мп ла й Л (гла) 4 мп лс О.
и' лс лс г'~(гас) л' (дс)а лс )гл. хтп 270 пгиложяния этнкцнй ллпллсл и, таким образом, выражение в квадратных скобках можно написать в виде еслв У'„(Гее)Ув( — Ве) — би( — йс)У„(йе) 2йс Р„(сас) что, в силу (6) Э 327, тождественно с е'"' [Р„(йс)) '. Таким образом еСЛ ЮС-Вес! Р ср+ лс =- — У (2п + ! ) 4п)с Р„(Ие) ' Это выражение — такое же, как если бы источник бьи расположен на сфере, а точка, в которой отыскивается потенциал, находилась бы на большои расстоянии (э 328); оно представляет пример применения общего принципа взаимности.
Принимая этот принцип и пользуясь результатом (3) э 328, мы видим, что если источник первичных волн находится на конечном расстоянии К, то значение полного потенциала в любой точке сферы есть (37) ср+ф= — — еысчс-и+ю '~Ь (2п+1)Р ()л) " (38) ! 4в)с Р„(сйс) ' этому условию не может удовлетворить никакое действительное значение йс. Мы заключаем, что если сфера имеет свободу движения, то она всегда может быть приведена в колебание.
Если первичные волны не абсолютно плоски, а исходят из некоторого единичного источника, располоясенного на большом, хотя н конечном, расстоянии 74 от центра сферы, то мы имеем ср = — — еслсчс-и! У (2и+ 1)Р (!л) ° Р 4я)с лсе " (се(Мсье/ ф= — — 'есл<вс-в-гтм Э (2и+1) "(и) " Х 4яяг4сл 1 г„(йе) Х Р„(„, ) — — .
(36) На самой сфере г = с, так что аначение полного потенциала в какой-нибудь точке поверхности есть ысчс-в! ср+ сэ= — )> (2и+ 1) Р„()с)Х ! с; '1 л!пле й гв(йе) Р 7 сс 1 с в!пес ) " (ст (йс)) яе + Р„(сйс) "слсе (йс)/ е' (ее) яе Это выражение можно упростить. Мы имеем: л мплс 1 Р„(,„, г) = —., 1 — ( — !)"е-'л'7„(спс) + е+сл'1; ( — йс)), сс (' с! ') Мп яс 1 с( (йе) сс ~, се (йс) ! /гс 2й'ея — ° Р ( ~' — = —, )( — 1)"е сл'Р (йе) — е слсР ( — йс) ), 2у( 3341 симметРичное ВыРАжения Если А и  — две точки, внешние по отношению к сфере, то единичный источник в точке А даст такой же полный потенциал в точке В, какой дал бы в точке А единичный источник, расположенный в точке В.
В обоих случаях полный потенциал состоит из двух частей, первая из которых такая же, как если бы не было никакого препятствия для свободного распространения волн, а вторая — представляет возмущение, создаваемое препятствием. Из этих двух частей †перв очевидно остается неизменной, какую бы из двух точек ни рассматривать в качестве источника, а следовательно, вторые части должны быть также равны, т. е.
значение ф в точке В, когда А является источником, равно значению ф в точке А, когда В является таким же источником. Если источник А находится на большом расстоянии К, то значение ф в точке В, угловое расстояние которой от А равно агс соя р, а линейное расстояние от центра равно г, есть (36) ф агжчг — Я вЂ” хею (2п+ () алея . я-ч Р„(р.)У'„(йг) 44кгВ 2И Р„(йс) р / л ) л 3!Пас Х Р.(„(„,)) „— „,,- и соответственно таково же значение ф на большом расстоянии В, когда источник расположен в точке В. Но поскольку ф представляет возмущение, расходящееся наружу от сферы, его значение на любом конечном расстоянии Я можно получить из значения на бесконечном расстоянии, вводя в каждый гармонический член множитель )„(йй).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
