Дж.В. Стретт - Теория звука (1124008), страница 54
Текст из файла (страница 54)
д. В случае сферы, как мы видели, ряд сводится полностью к первому члену, и этот член вообще будет преобладающим. С другой стороны, может существовать и колебательная система, симметричная относительно оси и относительно экваториальной плоскости, но совершающая колебания таким образом, что движения частей системы по обе стороны от этой плоскости противоположны. Под эту рубрику подходит идеальный камертон, составленный из одинаковых сфер или параллельных круговых дисков, расстояние между которыми периодически изменяется. Из соображений симметрии ясно, что потенциал скорости, будучи одинаковым в любой паре точек, представляющих собой зеркальные изображения друг друга в плоскости симметрии, должен быть четной функцией от 1а и, следовательно, должен выражаться рядом, содержащим только четные функции Рз(1а), Ря(в) и т.
д. Вторая функция Рэ(1а) обычно превалирует, хотя в частных случаях, как, например, в случае тела, состоящего из двух дисков, расстояние между которыми мало по сравнению с их диаметром, симметричныи член нулевого порядка может получить большое вначение. Сравнение с известным решением для сферы, поверхность которой совершает колебания по некоторому закону, в большинстве случаев дает достаточный материал для оценки относительного значения различных членов. 13 Заа !779 Раааа, Н 327[ 243 испускаемая энзггня 8 е' ки ф„=йо "' ~„(йг), да 3 еа (аг- ! или, отбрасывая мнимую часть, ф„= — —" [ Р' соз [з (ат — г) + а ' в[ и й (а1 — г) [, г а — '"= — — '"[асов(а! — г) — 3 з!пй(а1 — г)[, дг (2) где Р = а + [р и 7 = а' + ГР'.
Таким образом, 1'." =П'."" ='," ~ Ф„д" г[з= ~ ) ф„—" ° гзг[а= — ~ ~ Я~с[а[ар'созз[е(п1 — г)— — а'р з[пз[е(а1 — г)+(аа' — РР') ейп й(а1 — г) соз [з(а1 — г) [. Если проинтегрировать это выражение за большой промежуток времени, то периодические члены можно опустить и, таким образом, 1 Ц " .— '"'" = —:"( '-"»П'™ Но так как в пространстве, заключенном между концентриче- скими сферическими поверхностями, накопление энергии не может иметь места, то скорости передачи энергии сквозь эти поверхности должны быть олинаковымн, т.
е. г '(а'3 — ар') должно быть неза- висимо от г. Лля того чтобы определить это постоянное значение, мгя можем взять частный случай бесконечно большого г, когда Г„(йг)=йг, а=О, Р =Ь, ~„(йг)=1, а'=1, р'=О. Таким образом, тождественно а'Р— Р'а = 7зг. (3) Можно заметить, что левая часть равенства (5), помноженная на с', представляет собой мнимую часть произведения (а+1Р)(а' — [Р') или г) Репу, Рви. Маг„том ХХХЦ, стр. 516, !891. 16* [Приведенная на стр.
242 таблица, изображающая Рч в функции от 6 или агс сов Р, представляет выборку из таблицы Перри ').[ 327. Полное излучение энергии колеблющейся сферой определяется путем умножения переменной части давления (пропорциональной ф[) на нормальную скорость и интегрирования по всей поверхности (9 245). Благодаря сопряженности различные сферические функции, являющиеся членами разложения, можно брать порознь, без всякого ущерба для общности. Имеем (9 323) 244 ПРИЛОЖЕНИЯ ФУНКЦИЙ ЛАПЛАСА [гл.
хун мнимую часть г'„(йг)7„( — йг), так что наш результат можновыразить таким образом: мнимая часть )е„(сйг))'„( — йг) равна йг, илн Г„(йг) г „( — йг) — Г„( — йг) 7'„(саг) 2йг. (6) В этой форме мы и воспользуемся полученным выражением. К тому же самому заключению можно прийти и более прямым путем, применив теорему Гельмгольца Я 294); именно: если две функции и и о удовлетворяют в замкнутом пространстве о' уравнению (7в+ав)и=О, то И( '-:- '-')-=' (7) Если за Ю принять пространство между двумя концентрическими сферами, что дает Б„е+ "г„[ — йг) о= г Я„е ~~7„[йг) г то мы найдем, что г-' [г„(йг)7„( — йг) — г„( — йг)~„(!йг)[ должно быть независимым от г. Поэтому имеем ,~ е,) ~" дг 2 так что выражение для энергии, излученная ва время 1, будет иметь вид: [гг= — Й ра1 ~ ~ Я„асс (8) (так как 8р= — рс)!.
Более поучительно представить [сг как функцию нормального колебания у поверхности сферы радиуса с. Из (2) имеем дсà — —" [соз Йа1(а соз Йс+р з1п асс)+в!и Йа1(» в[п асс — р сов ас)[, дг сз У„, то мы имеем следую- так что, если амплитуда дс[с„/дг равна щее соотношение между Я„и У„: с У„=(а +рз) (9) Таким образом, ляссяа! [' [' с„ 2(аз+ Ря),[ [ (10) Эту формулу можно проверить для частных случаев в=О и а=1, рассмотренных, соответственно, в Я 280 и 325.
328. Если источником возмущения является нормальное колебание малой части поверхности сферы (г = с) в непосредственном соседстве с точкой [А=1, то в общем решении, применимом для 245 3281 источник нл повеРхности сеевы расходящихся волн, а именно ф= — — вы<а~-г+ю ч " у" (йг), С,.„(йв) ° мы должны принять У„= — (2п+ 1) Р„(р) ° ~ УР„(р) гор 1 -1 чг — (2п+ 1)Р (р) ~ Упр 4, Р (р) ~ ~ Уг(о, (2) -1 В этой формуле ~ ) Уг(5 является мерой интенсивности источника. Если йс весьма мало, то так что в конечном счете — ~ ~ УгЖ (4) и волны расходятся как от простого источника той же величины. Мы рассмотрим теперь задачу для случая, когда Йс не очень мало, взяв для простоты случай, когда ф определяется только на большом расстоянии, так что Г„(гйг) = 1. Множитель, от которого зависят относительные интенсивности в различных направлениях, выражается в виде 2П+1 Рп(Н) Х 2 Р„(йп) ' а полное решение задачи должно включать и исследование этого ряда как функции от р и йс.
Таким образом, если Х 2п+ 1 Рн(р) .+. 2 Р„(йс) то — — ~ у ля ()чя-~-Овнов ага(ш- +ю+и (у) 1 Г 2яг,~ где 0 188=в (8) так как, когда У имеет заметную величину, Р„(р) = 1. Таким образом, ф= — ° ~ ~ Уг)$ ° ~~~~~(2п+ 1)Р„(р) Р „. (3) !гл.
хчп 246 пгиложения етикций лапласа Интенсивность колебаний в различных направлениях, таким образом, определяется суммой Р~+бя. Если, как прежде, Р„=а+!р, то "ч,1 2п+1 чРв(и) 2 аз+ Рз д 2п+1 5Р„(и) ~4 2 аз+аз ' (9) Приводимая ниже таблица позволяет вычислить Р и О для лю- 1 бого значения р при 7гс = †, 1 или 2. В последнем случае необхо- 2 ' димо брать члены рида до п = 7 для того, чтобы получить результат с достаточной точностью, для больших же значений дс вычисление вскоре становится чрезвычайно громоздким.
Во всех вадачах подобного рода гармонический анализ, повидимому, теряет свою силу, если волны весьма малы по сравнению с размерами тела. 1 !гс = 2 (л + 2а + ! — 7 — 35 + 853 + 8 141 — 321 419 + 2 + 4 — 64 466 + 14 902 + 175592 + 0,4 + 0,18 — 0,060 — 0,00 + 0,000 + 0,000 Ас=! 1 ) ~ ( 2)~ аз )- аа аз+. 5з + 1 + 2 5 53 + 296 + 495! — 40 613 — 936 340 + 1 1 — 8 + 34 + 461 — 3 179 — 63 251 + 60! 217 + 0,25 + 0,6 — 0,140449 — 0,046784 + 0,004438 + О,ООО787 — 0.000047 — 0,000006 + 0,25 — 0,3 — 0,224719 + 0,030013 + 0,006912 — 0,000505 — 0,000073 + 0,000004 247 328! числовые Результаты ас = 2 (л+ у)а ( +2)6 аа+ аа + 0,2 + о',з — 0,67114 — 0,175 + 0,10567 + 0,01115 — О,'ОО456 — о',ооозз + 2 + 1 2,5 — 4 35,! 25 85,4375 — 1177,3 — 3945,8 + 1 + 2 + 1,75 — 8 — 16,1875 + 186,625 + 538,80 — 8621,7 + О,! + О,'6 + 0,46980 — 0',35 — О,'04870 + 0,02436 + О,'00209 — 0,00072 0,521503 + 0,149417 7 0,294291 0,159149 — 0,484149 ! 0,259729 0,430244 — 0,216539 ! ) 0,231999 1 — ! 0 0,667938 + 0,238369 7 — 0,440055 — 0,302609 ! + 0,321903 — 0,364974 К 0,502961 — 0,285220 0,236828 ! — ! 0 0,79683 + 0,23421 1 0,24954+ 0,50586 à — 0,15381 — 0,57662 7 0,6898 0,3 182 0,3562 1 — 1 0 Наиболее интересным обстоятельством, которое вскрывает этот анализ, является влияние, которое оказывает твердая сфера, расположенная вблизи источника, на интенсивность звука в различных направлениях.
Вследствие принципа взаимности !$ 294), источник и место наблюдения могут обменяться местами. Поэтому, если мы внаем относительные интенсивности в двух отстоящих друг от друга точках В и В', являющиеся результатом наличия источника А на поверхности сферы, то мы имеем также относительные интенсивности !Измеряемые потенциалом) в точке А вследствие наличия источников в точках В и В'. С этой точки зрения задача имеет двойной интерес. В качестве численного примера я определил значения гт+ Ж и Рз + бя для приведенных выше значений Йс при р = 1, р = — 1, р=о, т.
е. если смотреть из центра сферы в направлении источника, в противоположном направлении и вбок. Если 7зс= О, значение гчз+ ОЯ равно 0,25, что, следовательно, представляет при той же шкале, которая принята в таблице, ПРИЛОЖЕНИЯ ФУНКЦИЙ ЛАПЛАСА !Рл. хуп интенсивность, получаюшуюся от источника равной величины при отсутствии препятствий, Мы можем истолковать 7гс как отношение длины большого круга сферы к длине волны звука. Рассматривая цифры, приведенные в таблице, мы прежде всего обращаем внимание на сравнительно малые отклонения от равномерного распределения интенсивности звука между различными направлениями, Даже в случае, когда длина большого круга сферы вдвое превышает длину волны, едва ли можно наблюдать что-либо, могушее быть названным звуковой тенью.
!.!о что, пожалуй, является еше более неожиданным, это то, что в первых двух случаях интенсивность позади сферы превосходит интенсивность в поперечном направлении (по бокам от сферы). Этот результат зависит, главным образом, от преобладающего значения члена первого порядка, обрашающегося в нуль вместе с р, Порядок членов, имеющих большее значение, увеличивается вместе с йс; когда 7гс равно 2, то главным членом является член второго порядка. До известного предела увеличение сферы будет приводить к увеличению полного количества излучаемой энергии, так как простой источник излучает вдвое больше энергии, когда он расположен вплотную к твердой плоскости, чем когда он совершенно открыт.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
