Дж.В. Стретт - Теория звука (1124008), страница 51
Текст из файла (страница 51)
е. вместе с потоком воздуха. Рассмотрим случай цилиндрической трубы, открытой с дальнего конца, в которой воздух колеблется с такой частотой, что четверть длины волны равна длине трубы. Конец столба, где расположен ') Ргос. 77оу. глаг., том Ч1Н, стр. 536, 1879; Иа1вге, том ХЧП1, етр. 319, 1878. 1гл. хч!) теОРия Резо!итогов язычок, приблизительно совпадает, таким образом, с узлом, и воздушное колебание может поддерживаться только при условии, что проход открыт в момент наибольшего сжатия, так что воздух вводится в трубу с силой. Язычок поддерживается в движении переменным давлением внутри трубы, и фаза его лвижения будет зависеть от того, открывается ли он внутрь или наоужу.
В последнем случае фаза его почти противоположна фазе действующих на него сил; язычок открыт, когда давление, стремящееся его закрыть, наибольшее. Таково положение вещей в губных инструментах, где губы мало подвижны сравнительно с быстрыми действительно совершающимися колебаниями Я 46). Если язычок легкий и жесткий, он должен быть сделан открывающимся внутрь, как в кларнете; тогда его фаза приблизительно совпадает с фазой сил. Незначительное отклонение в движении от точной противоположности или точного совпадения фаз, могущее иметь место, позволит сообщать энергию, достаточную для поддержания движения вопреки диссипации.
Более полная аналитическая формулировка вопроса была дана Гельмгольцем '), которому принадлежит вся теория. Характер звуков различных пуховых инструментов, применяемых в музыке, очень различен. Сильно разнящимися качествами обладают тромбон и баритон; звук первого блестящий и резкий, звук второго мягкий. Блэйкли а) проанализировал звуки большого числа инструментов и указал на различные обстоятельства, такие, как размер выходного устья и форма мунлштука, примыкающего к губам, от которых, вероятно, зависят эти различия.
Давления, применяемые на практике и достигающие 40 дюймов !102 см) воляного столба в случае баритона, были измерены Стоном з). ~) Не!пйойх, Толетр~тдпллеп, 4-е издание, дополнение ЧН. Я) В1а1К!еу, Рлг! Мал., том Ч1, стр. 119, !й78. з) 6!опе, РЫ. Л4ау., том Х1.Ч!11, стр. 113, 1674. ГЛАВА ХЧ!! ПРИЛОЖЕНИЯ ФУНКЦИЙ ЛАПЛАСА 323. Общее уравнение потенциала скоростей, отнесенное к полярным координатам, имеет вид (9 241): гз — „+ 2г — + — ! з!п 8 — 1+ — — + >сэгвф = О.
(1) зд"ф дф ! и Г. дфт 1 дэф дга дг в!па да (, дву з!пэв де>в Если !с равно нулю, то мы имеем уравнение обычного потенциала, которому, как мы знаем, удовлетворяет функция ф= гидов, гле В„обозначает сферическую двухмерную гармоническую функцию и-го порядка '). Полставляя, убеждаемся, что ураннение, которому удовлетворяет Яш есть ! д Г. д5' ! 1 дэВ„ Но какой бы вид ни имела функция ф, она может быть разложена в рял по сферическим функциям: ф=фе+фт+фа+ +ф + ° ° (3) где ф„удовлетворяют уравнению вида (2).
Сравнивая (1) и (2), мы видим, что для определения ф„как функции от г имеем в двфе дфи гв —" + 2г д " — и (и + 1) ф„+ )аэгэф„= О, что можно также написать в виде дэ (гф ) л (и + 1) — (лг), (гев) + гф„= О. (4) гф =Аезаг+ Ве-'"". н >) Новсйшне английские руководства по тсорнн этих функций следующие; Тодйпп>ет, Таз Гиле!Гола оу Варгасе, Вата алд Взззеб репет, Врдег!са! ггагтол!сз; ОтаУ а. Ма!)>свез, Всззз!'з Виве!!опз, Маспц!!ап, 1898с Чтобы найти решение этого уравнения, заметим, что если г очень велико, то срелним членом, имеющим малое относительное зна.
чение, можно пренебречь, так что тогда решение будет иметь вид: 236 ПРИЛОЖВНИЯ ФУНКЦИЙ ЛАПЛАСА [гл. хчп Можно считать, что такого же вида решение будет удовлетворять и полному уравнению (4), если рассматривать А и В не как постоянные, а как функции от г, природу которых следует еще определить. Подставляя в (4), находим для В (и+!) В 0 д (Иг)в + д (!Лг) + (Йг)» (6) Положим В = Во-[-В,(гйг)-»+ Вэ(~юг)-э+... + В,(йг)-'+... (У) и подставим это в (6). Приравнивая нулю коэффициент при (йг) — '-э, получим и (и+ !) — з(з+ !) (л — з) (и+ з+ 1) в+! в 2(з [„!) в 2(з [ !) Таким образом, В! — — — и (и + 1) Ве, 1 В = В (" — !) (" + 2) ( — !) ' (л + !) (" + 2) В 2 ° 2 2 4 Вэ и т.
д., так что В = В ! 1 + п(в+1) [ (и — 1) ... (и+2) 2 ° йг 2 ° 4 ° (Йг)в (и — 2)... (л+ 3) ! ° 2 ° 3... 2п 2 4 ° 6 ° (йг)в + '''+2 4 ° 6...2Л ° (йг)в~' 9 Обозначая, вместе с проф. Стоксом ') ряд внутри скобок через у„(йг), получим В = ВэУ„(йг) (10) Подобным же образом, меняя знаки при г, получаем А = АеУ„( — Йг).
(11) Хотя символы Ае и Ве и не зависят от г, тем не менее они являются функциями угловых координат: в самом общем случае они представляют две какие-нибудь сферические поверхностные функции порядка и. Поэтому уравнение (6) можно написать в виде гЧ!„$„е-вагу„(вй г) + Б' е» влг~„( — Йг). (12) Дифференцируя (12), имеем д)„Я„ д !в "( ) э где Г„(йг) =(1+ Йг)У„(йг) — АРУП(йг). (14) !) Я!окев, вОп !Ье Сопипип!са!!оп о! Ч!Ьга!!опв !гош а Ч!Ьгабпя Воду !о а впггоппб!Пя Оав», в»ЛИ. Тгзлз„1868, 23! 324] Расходящиася волны Вид функций Р до седьмого порядка представлен в следующей таблице: го (У) = У + 1. Га (у) =у+ 2+ 2у-', г"э(у) =у+4 ]- 9У-'+ 9у-э, Гз(у)=у+ 7+27у "+60у а+ 60у з, Р,(У) =У+ 11+ 65У-'+ 240у-э-] 525У-а+525У-е Ге(У) =У+ 16+135У вЂ” а+735У-Я+2625У-а+5670У вЂ” е+5670У-а, Ге (У) = У + 22+ 252У-а+ 1890У вЂ” Я+ 9765У-в+ 34 020У-4+ +72765у-а ' 72765у-е Рч(у) =у+ 29+ 434у-а+4284у-я+ 29 925У-в+ 148 995У-4 ] +509355у а +! 081 080у я+1 081 080у '.
Для того чтобы определить главные члены функции Р„(йг), когла йг мало, обратим ряд (9); получаем У'„(йг)=! ° 3 ° 5...(2п — 1)(йг) ")С К ~ 1+ йг+ (Йг) +...~, (15) откуда при помощи (14) находим Р'„(йг) = 1 3 ° 5... (2п — 1) (и+ 1)(йгГ" Х 824. Важным частным случаем полученных общих формул является тот, когда ф представляет возмущение, распространяющееся полностью наружу. !.!а большом расстоянии от источника 7„(йг) =- = 7„( — Йг) = 1, и слеловательно, если мы восстановим временной множитель (еы"'), то получим .с га1щ- ! ~ у га<аеч- Ь и и И второй член этого выражения представляет возмущение, распространяющееся внутрь. При рассматриваемых обстоятельствах нам следует поэтому положить ~„'=0; таким образом, получим гф„= 5 ~„(йг) ега 1а'-г1, (2) что представляет в самом общем виде а-ую гармоническую составляющую возмущения с заланным периодом, распространяющегося наружу в бесконечное пространство.
Источником возмущения может быть заданное нормальноедвижение поверхности сферы радиуса с. Положим, что в некоторой точке сферы скорость, направленная наружу, прелставляется функцией (7е'"", тле в общем случае с7 — функция положения рассматриваемой точки, 232 ПРИЛОЖВНИЯ ФУНКЦИЙ ЛАПЛАСА (гл. хн!1 Разложив (l в ряд по сферическим функциям и = (уо+ и, + и, +... + и„+ .. (3) мы должны имегь, в силу (13) э 323, 0„= — —," л гл'Р„(1)гс).
ба (4) Таким образом, полное значение ф есть ф= — — Лг" 1Ч1-кЬЮ Ъ " )„(МГ), 1 „ 1) Предположение, что () имеет действительное значение, эквивалентно требованию, чтобы нормальная скорость имела одну и ту же фазу по всей сфере к=с. Для того чтобы учесть наиболее общее движение воздуха, )геобходимо рассматривать 11' как комплексную величину, где суммирование следует распространить на все (целые) значения и. Действительная часть этого соотношения даст потенциал скоростей, образованный нормальной скоростью (усоз1аат1) на поверхности сферы к=с. Проф. Стоке применил это решение к объяснению замечательного опыта Лесли, в котором звук колокольчика, колеблющегося в частично эвакуированном пространстве, ослаблялся при ввелении водорода.
Это парадоксальное явление происходит благодаря увеличению длины волны вследствие добавления водорода, в результате чего колокольчик, так сказать, теряет свою власть над окружающим газом. Общее объяснение этого нельзя выразить лучше, чем словами проф. Стокса: «Предположим, что человек движет рукой вперед и назад в небольшом промежутке. Движение, которое создается в воздухе, почти в точности одинаково с тем, которое возникло бы, если бы воздух представлял собой несжимаемую жидкость.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
