Дж.В. Стретт - Теория звука (1124008), страница 60
Текст из файла (страница 60)
е. в отношении 3:!. Средняя эффективность резонатора при и = 1 тогда будет такой же, как и при а =0; тот же самый результат применим и к любому п. Увеличенную эффективность, выражаемую множителями 2и + 1, следует рассматривать как результат совместного действия 2п + 1 степеней свободы. Г Л А В А ХН111 СФЕРИЧЕСКИЕ СЛОИ ВОЗДУХА. ДВИЖЕНИЕ В ДВУХ ИЗМЕРЕНИЯХ 336. В одной из предыдущих глав !ф 135) мы видели, что можно получить доказательство теоремы Фурье, рассматривая механику колеблющейся струны, Аналогичное рассмотрение задачи о сферическом слое воздуха приведет нас к доказательству разложения Лапласа для функции произвольной в каждой точке сферической поверхности. Как и в 0 333, обозначая через ф потенциал скоростей, получим уравнение непрерывности, отнесенное к обычным полярным координатам 0 и а в виде Каков бы ни был характер свободного движения, его можно разложить на ряд простых гармонических колебаний, характер которых определяется соответствующими функциями ф, рассматриваемыми как вависящие от положения в пространстве.
Так, если ф е'"'о', то уравнение, определяющее ф в функции от 0 и а, имеет вид: — — з!п 0 — + — +Аэсэф=О, Далее, какова бы ни была функция ф, ее можно разложить, по теореме Фурье' ), в ряд синусов и косинусов углов, кратных а. Таким образом, е г ф = фо+фх соз а+ фт з!и а+фх соз 2а+фа з!п 2а+... ... + ф соз за+ ф„з!п еа+..., (2) где коэффициенты фо, ф„..., ф„ф„...
являютСя функциями только 0 и вследствие свойства сопряженности круговых функций каждый член ряда должен удовлетворять уравнению независимо от других. г) Здесь мы вводим условие, что ф повторяется после одного обхода вокруг сферы, (33б) 279 ОБЩЕЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ В соответствии с этим з!па да( да1 з!пза — — з!и 3 — "' — —," + Й сзф = 0 (3) представляет уравнение, из которого можно опрелелить характер функций ф, или ф„'. Это уравнение можно написать различными способами.
Выраженное через р( = соз 3), оно имеет вид: Р— ((1 — !зз) — '" ~+Изфе — — — Фе= О, (4) или, если з = з!и 3, то "'(1 з') д з + з(! — 2.з) ф+ з'йзфе — вэфе = О, (5) д'-фе дфе где вместо йзсз полставлено йз. Когда начальная функция ф симметрична относительно полюса, т. е. зависит только от широты, то в исчезает, и уравнения упрощаются. Этот случай нам удобнее будет рассмотреть первым.
Ураннение, выраженное через р, имеет вид: дзфе дфе (1 — р') ", — 29 — '+ йзфв = О. (б) Решение этого уравнения содержит две произвольные постоянные, умноженные на две определенные функции от р, и может быть получено обычным путем, если взять ряд по возрастающим степеням и определить показатели и коэффициенты посредством подстановки. В результате лз з, вз(йз — 2.
3) 4 фа=А!1 — 1 2!е ! 1 2 3 Лз(лз 2. 3) (Лг 4.5) 1 ° 2 3 ° 4 ° 5 б ' + '''( Дз 1. 2 „(йз 1. 2) (Вз 3. 4) +~(9 123 Р~ 12345 где А и  — произвольные постоянные. Предположим теперь, что ф симметрична не только относительно полюса, но и относительно экватора (который, слеловательно, является узловой линией) или, лругими словами, что ф является чеизной функцией синуса широты ((з). Прн этих условиях ясно, что В лолжно исчезнуть, и значение ф будет выражено просто первым рядом, умноженным на произвольную постоянную А. Это значение потенциала скоростей получается как логическое слелствие первоначального дифференциального уравнения и наложенных двух ограничений, касающихся симметрии.
Значение Ьз может показаться произвольным, но по тому, что нам известно из механики рассматриваемой задачи заранее очевидно. что йз в действитель- (гл, хуш 280 СФЕРИЧЕСКИЕ СЛОИ ВОЗДУХА ности ограничено последовательностью частных значения. Остается еще условие, которое нужно ввести и которое определяет Ь, а именно, что первоначальное уравнение удовлетворяется в самом полюсе или, другими словами, что полюс не является источником; и это заставляет нас рассмотреть значение ряда при и = 1.
Так как ряд представляет четную функцию от )4, то если полюс р = + 1 не является источником, то никак не может им быть и полюс )4 = — 1, Непосредственно очевидно, что если Ьв имеет вид и(и + 1), где и— четное число, то ряд обрывается, а потому остается конечным при р = 1; но теперь нам нужно доказать, что если ряд остается конечным при р=!, то йя необходимо имеет вышеуказанный вид. На основании обычного правила непосредственно ясно, что каково бы ни было значение Ьз, отношение последовательных членов стремится к пределу )4з, а потому ряд сходится для всех значений р, меньших единицы. Но для экстремального значения р = 1 необходим более точный метод определения, Известно '), что бесконечный гипергеометрический ряд аЬ а(а+ 1) Ь(Ь +1) а(а+ 1)(а+ 2) Ь (Ь+ 1)(Ь+ 2) + СЛ с (с + 1) 4((и + !) с(с + 1)(с + 2) И (Л + 1)(41 + 2) + ' ' ' сходится, если с+44' — а — Ь больше единицы, и расходится, если с+с( — а — Ь равно или меньше единицы.
В последнем случае значение с+с( — а — Ь дает критерий степени расходимости. Из двух расходящихся рядов вышеуказанного вида, для которых значения с + 4( — а — Ь различны, тот Отлосил4ельло бесконечен, для которого значение с +4( — а — Ь меньше. Наш ряд (7) можно привести к стандартному виду, полагая Ьв = и(и +-1), где не предполагается, что и целое число. Таким образом, ряд йа Дз(РР— 2 ° 3) ! — — )4Я+ — )44 —... = 1 2 ! ° 2 ° 3 4 л (и+ 1) в л(л+ 1) (и — 2) (и+3) 1 ° 2 1 ° 2 ° 3 ° 4 ( 2 )(2 +2) 1 =1+ р'+ 1 °вЂ” 2 ( — — и) ( — — и+ 1) ( — л+ — ) ( — л+ — + 1) 1 ° 2 ° — °вЂ” 2 2 имеет стандартный вид, если 1 1 1 1 а= — — и, Ь= —,и+ —, с= —,, а4=1, 2 ' 2 2' 2' 4) Воо!е, Г(лйе 7)177сгелсес, стр.
79, 281 ЗЗО1 кгитегий глсходимости Следовательно, поскольку с + Н вЂ” а в Ь = 1, этот ряд расходится при р. = 1, если он не обрывается: а он обрывается только, когда и — четное целое число. Таким образом, мы пришли к заключению, что когда полюс не является источником, а О„ — четная функция от р, то лв должен иметь внд п 1л + !), где и — четное целое число, Подобным н<е способом мы можем доказать, что если ф; нечетная функция от р и полюсы не являются источниками, то А О, и лз должно иметь вид и!л+1), где и- — нечетное целое число.
Если и — дробное, то оба ряда расходятся при р = :ь: 1, и хотя можно найти такую комбинацию обоих рядов, которая останется конечной на одном или на другом полюсе, нет такой комбинации которая оставалась бы конечной на обоих полюсах. Следовательно, если мы поставим условием, чтобы никакая точка на поверхности сферы не являлась источником, то у нас не будет иного выхода, как только положить и целым, и даже тогда мы не обеспечим конечности на полюсах, если не предположим еше, что А = О, когда и нечетно, и В = О, когда и четно.
Отсюда мы заключаем, что для полного сферического слоя единственно допустимые значения ф, которые являются функциями только широты и пропорциональны гармоническим функциям времени, заключены в выражении где Рч!р) — функция Лежандра, а п — любое нечетное или четное целое число. Возможность разложения произвольной функции широты в ряд по функциям Лежандра является необходимым следствием из того, что только что было доказано, Любое возможное движение такого слоя газа выражается рядом: ф=Аз+Р, !р) (А,соз + В, з!и )+... ... +Р„(р)(А„соз ) + В„з1п )+... 110) При 1=0 ф = Аз+А,Р, !р)+, . +А,Р„!р) + ... !11) и значение ф при 1= 0 представляет ироизвольную функцию широты.
Метод, который мы здесь применилн, имеет еще то преимушество, что доказывает свойство сопряженности ьь ~ Р„® <р) !и=О, 112) -1 когда и и т — различные целые числа. В самом деле, функции Р1р) являются нар иальныжи функциями Я 94) рассматриваемой колебательной сисгемы, и следовательно, выражение для кинетической 282 сфвгичвскив слои воздтхл [гл. хвчп энергии может содержать только кеадрапвы обобщенных скоростей. Если соотношение (12) не удовлетворяется, то должны входить также и произведения скоростей. Значение ф, относящееся к плосколву слою колеблющегося газа, можно, конечно, вывести как частный случай общего решения, применимого к сферическому слою.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
