Дж.В. Стретт - Теория звука (1124008), страница 63
Текст из файла (страница 63)
Таким образом, — уравнение, которое имеет такой же вид, как и в случае, когда движение независимо от е, причем дэ заменено через лз — рзпЧ Я. Поэтому частное решение можно написать в виде ф=(А„созна+В„Б1п п0) соя р — ° У„ф Р— рва-Я г) сов йа!+ +(Са созпВ+В„з(п пб) соз р — ' ° У„ф'йя — ряпЧ я г) яп йа1, (4) что следует обобщить в виде тронной суммы по всем целым значениям р и и, а также по всем значениям Й, определяемым уравнением ~„'д/и — 'р" г .,~ = о.
(5) Если г = 1 и если обозначить через К значения й, приведенные в таблице з 3 339 и соответствующие чисто поперечным колебаниям, то будем иметь 1зз = КЯ+Р—,. ~2 (б) Чисто аксиальные (продольные) колебания соответствуют нулевому значению К, не включенному в таблицу. 34!. Полный интеграл уравнения Чд+ — — '"+1уд — — ')ф =О, дгу г дг 1 гз) если нет никаких ограничений относительно отсутствия источника в полюсе, содержит вторую функцию от г, которую можно обозначить через У „(йг). Таким образом, опуская несущественные постоянные множители, мы можем положить 5 200) ага Ыг' 2 2+ 2л+2 4 ° 2+2п ° 4+2л = Аг+" (!— 2 ° 2 — 2л+2 4 2 — 2л ° 4 — 2п но второй ряд требует изменения, если и†целое число.
При и = 0 оба ряда становятся тождественными, а потому непосредственный результат подстановки и = 0 в (2) лишен необходимон обшности. Необходимое решение можно, однако, получить по обычным правилам, применимым к таким случаям. Обозначая коэффициенты при А и В в уравнении (2) через у(и) и /( — и), имеем по теореме Маклорена 6 = АУ(и) + ВД вЂ” и) = =(А+В)У(0)+(А — В) /'(0) и+(А+В)1а(0) ! — 2+ ...
(гл. хуш 294 СФВРИЧВСКИБ СЛОИ ВОЗДУХА Следовательно, приняв новые произвольные постоянные, мы можем предельную форму выражения (2) написать в виде Фо = АУ(0) +. В~'(О). В этом уравнении 7(0) есть Уо(йг). Для определения /'(О) имеем Л2го Л2,2 2 ° 2+2л+2 ° 4 ° 2+2л ° 4+2п ''')+ а2г2 + дп ! 2 ° 2+2п+2 ° 4 ° 2+2л ° 4+2п Если обоаначнть через и общий член (содержащий гвм) ряда, заключенного в скобки, беа учета его знака, то 1 ди д!пи 2 2 2 и дл дп 2-1 2л 4+2п '' ' 2т+2п ' так что ( — ) = — и„оВР, где В = †+ †+ +„— . 1 1 1 1 1 2 3 (3) найдем вместо (1) дот„2п + 1 дт„ — "+ — — "+р =0. дзо з дг Далее, уравнение (7) можно представить в виде дато дт„ ! д( „+(и+ цд— ,+ — 4Фи=0, (7) (8) Таким образом, його а2г2 лого 7'(О)=!пг(1 22+22 42 22 42 52+' ~'1 н полный интеграл при л = 0 имеет вид: Лога а2г2 Фо=(А+В!Иг) ~! — — +,—,,„— ..~+ Для любых целых значений и соответствующее выражение можно получить при помощи (15) 8 338 Фп=( 212г)и~,~ а 2) Фо (5) формулу (5) можно получить и непосредственно из дифференциального уравнения (1).
Заменив иг череа в и положив Фи = «игл (5) 341) 293 РЕШЕНИЕ В ВИДЕ НИСХОДЯШВГО РЯДА откуда непосредственно следует, что д так что и ~ая л О (9) (10) или, в силу (б), 'ть =В" ( — ) фа (11) да (ВЧ'ф„) (12) дзз откуда, в силу выражений (4) и (12) 2 323, находим общее решение уравнения (1) в виде: С ,й , „,„ 11 1Я вЂ” 4ла, (1Я вЂ” 4ла)(Зо†4ла) (1 — 4лз) (З — 4лз) (5Я вЂ” 4ло) 1 ° 2 ° 3 ° (8таг)а + ' ' ') + „РШ ( + 1Я вЂ” 4ла (1а — 4ла) (Зг — 4лз) 1 8таг 1 2 (8Игр (1 — 4лз) (З — 4лз) (5 — 4лз) 1 2 ° 3 ° (81аг)з При л целом эти ряды бесконечны и в конечном счете расходятся, но (см, 28 200, 302) это обстоятельство не мешает им быть практически полезными. Наиболее важным применением полного интеграла уравнения (1) является представление при его помощи возмущения, распространяющегося из полюса; эта задача была рассмотрена Стоксом в его статье о сообщении колебания газу.
Условие того, что возмущение, представленное выражением (13), будет исключительно расходящимся, есть просто О = О, как это непосредственно видно при введении фактора времени е'"о', если предположить г очень большим; главным затруднением в этом вопросе является отыскание соотношения между коэффициентами возрастающего ряда, соответствующего этому условию; для этой цели Стокс применяет решение уравнения (1) в форме определенного интеграла. Мы достигнем той же цели, пожалуй, проще, применяя результаты $ 302.
что эквивалентно выражению (б), поскольку постоянные в выражении для ф произвольны в обоих уравнениях. Последовательные выражения для ф„, получаемые таким образом, сходятся для всех значений аргумента, но практически они бесполезны, если аргумент велик. В таких случаях мы должны были бы обратиться к полусходяшемуся ряду, соответствующему (10) ф 200. Уравнение (1) можно представить в виде (гл.
хуш 296 СФЕРИЧЕСКИЕ СЛОИ ВОЗДУХА В силу (22) и (24) ф 302, ~2117 ~ 1 ° 81л + 1 2 (8ГУ)1 + ( К(л) -~- 1,Цл)) — ~~ ', (14) ! ! и~яр 2 ~/81.! аа и, таким образом, задача сводится к определени1о вида правой части уравнения (14) при малом з. В силу (5) 9 302 и (5) $200, имеем ! 1 — и ( К(я)+ !7з(г)) = г+ — !и+ члены высшей степени г, (15) так что остается только найти вид определенного интеграла в выражении (14) при малом я.
Положив !/рз+зз5 у — р, имеем При л малом гз/2у также мало во всей области интегрирования, и, таким образом, мы можем написать СО СО Первый интеграл правой части есть ела!и "йи /1 1 1 — ду= ! — = — Ч вЂ” 1п( — г)+ — л+... 1), (16) Р . и (2 ) 2 а 1 я' где Ч вЂ” постоянная Эйлера (0,5ЧЧ2...); и, как мы можем легко убедиться, интегрируя по частям, другие интегралы ничего не прибавляют к главным членам. Таким образом, если л весьма мало, то -Н ( — + в ')'Л ) 11 !з ° Зз 11 31. 51 — — ') в- )!в 2гл/ 1 1 ° 81» + 1 ° 2 ° (8!а)1 1 ° 2 ° 3 (8!1)з = (+1п ~ — л)+ — !и+...
(17) Заменяя я через лг и сравнивая с аидом выражения (4) при г малом, мы видим, что для того, чтобы сделать ряды тождественными, мы должны положить А= !+!п — + !п)з+ — 1п, В=!, 1 1 2 2 так что последовательность волн, расходящихся из полюса, кото- 1) Ве Могяап, ОП1егелГ1а! аль! ЧЛГехта! Са!си!ив, с1р. 653. 297 341) РАСХОДЯЩАЯСЯ ВОЛНА рая выражается убывающим рядом можно представить также в виде возрастающего ряда Фэ=( !+! 2 ) ( — — „-+2 з.4,— . )+ азгз Ляля (,вгв + 2з ~я 2з,4з ~з+ 2з. 4з. Вз ~э ° ° (19) При применении формулы (11) к убывающему ряду части, содержащие е-Язг н е«гзг в качестве множителей, очевидно, будут оставаться заметнымн, и полный интеграл дла общего значения и Прн УСЛОВИИ, ЧтО ЧаСтЬ, СОдЕржащая Ея-яз", НЕ дОЛжНа ПОяВЛятЬСя, получится путем дифференцирования из полного интеграла для п= 0, подчиненного тому же самому условию. Таким обрааом, поскольку в силу (б) ф(я = дфэ(дг, мы имеем е-втм) !в !«(!э .
1 — 13 — 1135 (,2дг ( ) 1 ° В!Лг + 1 ° 2 ° (В(яг)з — 1 ! ° 3з ° 57 1 2 ° 3 (В(дг)з + ' ' '~' или, выражая в виде возрастающего ряда, ! ! Лзгз Ляля Лг ( 2Я 2з ° 4з лг Лзгз Лвгв + 2 О' †, Оэ + з боэ .. (21) Эти выражения применены проф. Стоксом для того, чтобы показать насколько слабо передаются окружающему газу колебания струны (соответствующие члену первого порядка). Для этой цели он сравнивает действительно получающийся звук и звук, который распространялся бы в том же самом направлении, если бы боковое движение газа вблизи струны было залержано. Для струны рояля, соответствующей среднему С, радиус проволоки может иметь размер около 0,02 дюйма, а А равна приблизительно 25 дюймам; оказывается, что звук приблизительно в 40 000 раз слабее, чем он был бы, если бы движение частиц воздуха происходило в плоскостях, проходящих через ось струны.
«Это показывает жизненную важность деки в струнных инструментах. Хотя амплитуда колебаний частиц деки крайне мала сравнительно с амплитудой колебания частиц струны, но поскольку дека представляет собой широкую поверхность, соприкасающуюся с воздухом, она способна возбужлать громкие и звучные колебания, в то время как струна, натянутая абсолютно жестко, возбуж- 298 (гл. хчш СФЕРИЧЕСКИЕ СЛОИ ВОЗДУХА (2) (3) л) 8!о!леа, Рlил Угапу» том !58, стр. 447, !868, дала бы непосредственно в окружающем воздухе колебания настолько малые, что они были бы почти или даже совсем не слышны.
Усиление звука, создаваемое путем задержки бокового движения, легко показать при помощи очень простого эксперимента. Возьмем камертон и, держа его в руках, после того как его привели в колебание, поместим листок бумаги или лезвие широкого ножа так, чтобы его край был параллелен оси л4 камертона и настолько близко к камертону, насколько это возможно без прикосновения к нему. Если И ГЧ плоскость препятствия совпадает с одной из плоскостей симметрии камертона, как это представлено Фнг. 64. на чертеже линияии, помеченными буквами А или 8, то мы не получим никакого эффекта; если же мы поместим препятствие в промежуточном положении, например в положении С, то звук станет значительно сильнее л)». 342.
Действительное выражение для потенциала скорости симметричных волн, распространяющихся в лвух измерениях, получается из выражения (13) 9 341, после введения фактора времени елао' путем отбрасывания мнимой части; оно имеет вид: где, как обычно, содержатся лве произвольные постоянные — одна в виде множителя всего выражения, а другая — в качестве добавления ко времени. Задачу о линейном источнике равномерной интенсивности можно также исследовать общим методом, применимым к трем измерениям. Так, в силу выражения (3) $277 мы можем положить лр=2 =2 ~ р ! )Гра га' о где р — расстояние от некоторого элемента л7х до точки О, в которой надлежит определить потенциал, и г — наименьшее значение р, так что ра = га+ ха; это выражение должно иметь такой же вид, как (!).
Положив у =р — г, мы можем вместо (2) написать Лала Лау Лу лр = 2 уу аГзг+у 299 342] линейный источник откуда вытекают различные выражения, как и в,'14) $ 34!. Если /гг велико, то можно получить приближенное значение интеграла, пренебрегая вариацией )/2г+у, так как, учитывая быстрые изменения знака, вызываемые множителем е-'вя, мы должны брать только малые значения у. Но СО СО 1" ./ соз хп.г ( в1п лги / я (41 так что / 1 яа(~+я ~) <р = ф/ — е Яю'(1 — 1) = '$У вЂ” е Й ).
Вводя множитель е'"" и отбрасывая мнимую часть, в конечном итоге получаем выражение Гь~ / 1 р= 1/ — сов й~а/ — г — — Л) 8 (6) для потенциала скорости на большом расстоянии. Аналогичное рассуждение применимо и для того, чтобы показать, что выражение (1) представляет также выражение потенциала скорости по одну сторону от бесконечной плоскости ($ 278), получающегося при равномерном нормальном движении бесконечно малой полосы, ограниченной ~араллельнымн линиями.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
