Дж.В. Стретт - Теория звука (1124008), страница 66
Текст из файла (страница 66)
(16) Решение уравнения (16) можно получить в виде 0' = А14,1+ АЩ, (17) где 441 и 1;1Я суть функции, удовлетворяющие соответственно выра- 1КЕНИЯМ: Чав = А1С)1 и ЧЯ()Я = ЛЯ44 (18) а А, и Ая — проиавольные постоянные. В соответствии с этим значением 0' частные решения уравнений (1!) получаются путем приравннвания и, о, ш производным от вР, + вада, где А1 и Хя — корни уравнения ЬЯ вЂ” [па+ Ь ([4'+ р" + я)[), + — „[ЬЯ+ Ь(р.'+р")[ 44Я = О, (19) [гл. х~х 312 ТРЕНИЕ И ТЕПЛОПРОЗОДНОСТЬ взятым по х, у, л. Отношение постоянных В, и В. к постоянным А, и Ав получается непосредственно из (15), что дает 7Я(ВЯЕ+ ВЯ~+(Ь вЂ” ч7э)(АЯ +АЩ) = О так что, в силу (18)„ Вг = А, (ч — — ) и Вя — — Ая(ч — — ), (20) Более обшие решения можно получить путем прибавления к и, о, те соответственно и', о', я', которые удовлетворяют соотношениям: 7зи' = —, и', 7~ч' = —, о', 7зтв' = —, тв'.
Р. Таким образом, (21) и= и'+В, д +Вя д дО1 дО о=о + — +В. —, дд, дО ду ду ' а~=~+В, д, +Вя — „,, дО1 дмз (22) где В, и Вз имеют значения, данные выше. Подставляя значения и, о, те, определяемые выражениями (22), в уравнение (13), мы получим дз' ди' дге' — + — + — =О. дх ду де (23) 849. Эти результаты Кирхгофф прежде всего применил к слу- чаю плоских волн, предполагая, что они распространяются в бес- конечном пространстве в направлении +х.
Тогда о' н те' исче- зают, а и', 1;> и Я, независимы от у и е. Из (23) 9 348 следует, что и' также исчезает. Уравнения для ф, и 1,"чя суть д,," — — Лфт и — ла )чзьГз, так что можно положить и А Хгчч( — — ч)е-х~ ~ч+Ая)чвк ( — — ч~е хУ~, (3) г » гй Ь, 0'= А,е-х У" + Аве- (4) где постоянные А, и Аз можно рассматривать как определяемые аначениями а и О' при х О. р е худ и (Š— е хУч (2) где знаки при квадратных корнях следует выбрать так, чтобы действительные части были положительными. В соответствии с этим 3501 313 случАИ осевой симмзтгии Решение, выражаемое соотношениями (3) и (4), — слишком общее для нашей теперешней цели, так как предполагает произвольную теплопередачу при х= О. Из квадратного уравнения для Л (19) $ 348 мы видим, что, если считать р', р", ч малыми величинами, то одно ив значений Л, скажем Л„, приближенно равно йз/аз, а другое значение, Л, весьма велико.
Решение, которое нам нужно, это — решение, соответствующее просто Л!. Вторым приближением для Л, з силу (19) 9 348, будет йа чав йа й Оаг + на + ч) чйзйз ) ! ая+ й(и!+ Иа+ч) + йая аз так что Л! — — — — 2 э !1г!' +1! +ч(1 — — а)1!. (5) Если теперь вместо й написать си, то мы увидим, что типичное решение имеет вид: ш(! — — ) а а-хчха ', а) (6) где (7) В выражение (6) можно ввести, как обычно, произвольный множитель и произвольное слагаемое, добавляемое к !! можно также, при желании, получить еще решение, опустив мнимую часть. Эти результаты находятся в согласии с результатами, уже полученными для частных случаев.
Так, при ч = 0 выражение (7) дает в согласии с выражением (7) 9 346, где 1, ! н 1! = — 1! 3 Е х" ча(г- — ") — ° е а дг г (8) где тг имеет такое же значение (7), как и выше. 350. Теперь перейдем к более важной задаче и предположим, что воздух заключен внутри цилиндрической трубы круглого С другой стороны, если не учитывать вязкости, так что р'= =(ьх= О, то мы снова придем к выражению (18) 9 247.
Нам не приходится ничего добавлять к уже проведенному рассуждению. В случае сферических волн, распространяющихся в направлении+г, Кирхгофф находит подобным же образом выражение для радиальной скорости 314 (гл. х~х тгенив и тзплопгоеодность сечения и что движение симметричко относительно оси х. если уз+ха =ге и (2) (4) (6) '=АгФ +АМ' (10) На стенках трубы и, д, 8' должны удовлетворять известным условиям. Мы будем предполагать здесь, что на стенках как движение газа, так и изменения температуры отсутствуют; таким 'О =д —, те=д —, у г ' г о=д —, ш=4 у ~ ~ з г ' то и, и', д, д', ф, (,Ля следует рассматривать как функции от х и г. Предположим далее, что эти величины, как функции от х, пропорциональны е *, где т — комплексная постоянная, которую нужно определить. Уравнения (18) 9 348 для Яг и Яя прини- мают вид: — +- — =(л,— т')(Л.
дз!'1г 1 дЯг (1) + — (Л тв) ц,. дз! >з ! дОя дга г дг Я я. Лля и', д' уравнения (21) и (23) дают: дзи~ 1 ди~ Г й + =~ — — тя)и', (3) дга ° д. да1, ! дз 4' /й дгз ! г дг га Л и' (5) Этим трем уравнениям можно удовлетворять, если и' определять из первого уравнения, а д' выбрать так, что т ди' ~'= — й — — тз и/ Последнее соотношение получается путем вычитания из уравне- ния (4) результата дифференцирования уравнения (5) по г. Решение уравнения (3) можно записать в виде и'=АД, где А — постоян- ная, а 1,! — функция от г, удовлетворяющая уравнению дгз + г дг ~~' ) дз() 1 дЦ й Таким образом, в силу (20) и (22) 9 348, и = АЯ вЂ” А,т ( — — ~ч Я, — Аят(л — ~т Яя, (8) й й ~у= — А — — А (г — — ч) — ' — А ~ — — ч~ —, (9) й дг г(,Л, ) д.
ЯЛЛ, / дг та !гГ 3501 3!б КРУГЛАЯ ТРУБА образом, когда г принимает значение, равное радиусу трубы, и, 0' равны нулю. Следовательно, искомое условие выражается в виде исчезновения определителя уравнений (8), (9) и (10), а именно, юза (1 !) д!БО+(Л ) д!пО, иг Три функции Я, ф, ЯБ, которые должны оставаться конечными при г= О, являются функциями Бесселя нулевого порядка (э 200), так что мы можем написать в обычном обозначении (12) В уравнении (11) значения Лг и Ля не зависят от г, так как определяются выражением (19) 9 348.
В применении к воздуху при нормальных условиях р', р", ч можно рассматривать как малые; тогда приближенно будем иметь „я ЛБ ая ° Ва Взя (13) чаа Второе приближение к значению Л! уже было дано в выражении (5) 9 349. Здесь предполагается, что скорость распространения эф- фектов вязкости для рассматриваемой высоты звука, а именно 'у' 2р'а, $ 347, мала сравнительно со скоростью звука, так что ГиР'!ая, или Лр'/ая, — малая величина, При истолковании этого решения нужно отметить два крайних случая, заслуживающих особого внимания.
Первый из них, случай, рассмотренный Кирхгоффом, возникает, когда р', р", у считаются весьма малыми, настолько малыми, что слой газа, на который непосредственно действуют стенки трубы, представляет лишь не- значительную долю всего заключенного в трубе газа. Если р' н т, д. равны нулю, то мы имеем ЛБ аа — та=в аа ~ так что г у' лгэ — Лд является здесь малой величиной. С другой в стороны, г 1Г в!в †и г Ь та — Л велики. э Значение Уе(л) при малом я дается возрастающим рядом (б) $ 200; из этого ряда непосредственно следует, что д!и 1о(л) ! дз 2 [гл.
х|х 816 тгвнив и твплопеоводность Если е очень велико, и притом таково, что мнимая его часть положительна, то (10) ф 200 дает Д 1п/е(е) ( 1~ 1'е — я1 = — д Следовательно, если сохранить только члены высшего порядка, то будем иметь (14) гдв т -Ур+(- — — )У (16) причем знак при фгй следует взять таким, чтобы часть была положительной. Напишем, аллее, й= т', действительная (17) так что частота равна и/2я.
Таким образом, 1/ и= 1/ — л(1+1) и т = -+ (т'+гт"), (18) (19) где в силу (1б), еглт' е и + Тг лт' (20) )Г 2аг а уг 2аг Если мы восстановим множители, зависящие от х и г, которые мы до сих пор опускали, то будем иметь и Вйе"'+", д=Вй'ез'+", О=Вйеет+™*, где  †произвольн постоянная, а й, й', й †определенн функпии от г, исчезающие при г, равном радиусу трубы, и принимающие значения й=1, й' О, йе= —— а для точек, лежащих на конечном Расстоянии от стенок. Получаемое решение для и, применимое к точкам, расположенным на конечном Подставив зти выражения в (1!) и взяв приближенные значения Ле и Ля из (13), находим я йе г 21~ тв — 1Л1+ =), (16) ае г )Гй/ 360! случай мАлод ВязкОсти расстоянии от стенок, можно написать в виде При малом г lо (г) = 1 — ~ + 2 2З 2а. 4т ' так что приближенно и 1п У,(е) 2 ! 8 — я!1+ яа) (23) !) Бсипееье)6 Рояд.
Апп., том СХХХН1, стр. 296, 1869. я) БееЬеси, Розе. Апп., том СХХХ!Х, стр. 104, 1870. и=С,еп"' з!И(п!+тпх+8!)+С е '"' сбп(пе — тих+8), (21) где С,, С,, 8„8з обозначают четыре действительные призвольные постоянные. В соответствии с этим т' определяет ослабление, которое испытывают волны при распространении, а тп определяет скорость распространения. Эта скорость равна (22) в согласии с выражением (12) 9 347. Уменьшение скорости авука в узких трубах, обнаруживаемое по длине волны стоячих колебаний, было замечено Кундтом (9 260) и специально изучено Шнеебели ') и Зеебеком в).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
